一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 名師獲獎

2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？1111211013/213/20-5/2-5/2-525/4填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積a與b之間關(guān)系a與c之間關(guān)系猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？1111211013/213/20-5/2-5/2-525/4121113/20-525/4已知：如果一元二次方程的兩個根分別是、。求證：推導(dǎo):

如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理。韋達(dá)（1540－1603）法國數(shù)學(xué)家十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一，被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。他是第一個引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進(jìn)的數(shù)學(xué)家。

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韋達(dá)定理）提示：能用韋達(dá)定理的條件為b2-4ac≥02x2-4x+10=0X1+x2=？

X1x2=？韋達(dá)定理有用嗎（一用）：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22

＋2x1x2∴x12+x22

＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝6韋達(dá)定理有用嗎（2）設(shè)X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則

X1+X2=

___

X1X2=____，

X12+X22=

；

(X1-X2)2

=

；

基礎(chǔ)練習(xí)典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解：設(shè)方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由韋達(dá)定理，得x1●2＝3k即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。韋達(dá)定理有用嗎（3）典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解二：設(shè)方程的另一個根為x1.由韋達(dá)定理，得x1

＋2=k+1x1

●2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2答：方程的另一個根是－3,k的值是－2。例3

已知一個一元二次方程的二次項系數(shù)是3，它的兩個根分別是1/3，1.寫出這個方程。練習(xí)：已知長方形相鄰兩邊長是一元二次方程x2-12x+9＝0

的兩個根,

求這個長方形的周長和面積.

補(bǔ)充規(guī)律：兩根均為負(fù)的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2

。

兩根一正一負(fù)的條件：X1+X2

且X1X2

。

當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0

例4方程x2(m1)x2m10求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵兩根互為相反數(shù)∴兩根之和m10,m1,且0∴m1時,方程的兩根互為相反數(shù).②∵兩根互為倒數(shù)m26m5,∴兩根之積2m11m1且0,∴m1時,方程的兩根互為倒數(shù).③∵方程一根為0,∴兩根之積2m10

且0,∴時,方程有一根為零.引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0;（4）若一根為1,則abc0;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.

2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，首先要把已知方程化成一般形式.

3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)時，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么?總結(jié)歸納今天我學(xué)會了......1、韋達(dá)定理及證明2、利用韋達(dá)定理解決有關(guān)一元二次方程根與系數(shù)問題時，注意隱含條件：根的判別式b2-4ac≥0試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設(shè)方程的另一個根為x1,則x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由韋達(dá)定理，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=拓廣探索1、當(dāng)k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當(dāng)k=9或-3時，由于△≥0，∴k的值為9或-3。2、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個實數(shù)根，得即-8k+4≥0由韋達(dá)定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去?！鄈=0謝謝??！如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推論你會做嗎？你會做嗎？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根，分別根據(jù)下列條件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2(2)x1=

3,x2=-6(3)x1=

-,x2=(4)x1=

-2+,x2=-2-由韋達(dá)定理，得解：x1+x2=-,x1·x2=∴p=-3(x1+x2)q=3x1·x2

(1)p=-9q=6(2)p=9q=-54(3)p=0q=-21(4)p=12q=-3韋達(dá)定理一：思考、發(fā)現(xiàn)，

噢，是這樣哎！二：疑問，為什么會是這樣呢？能證明嗎？三：疑問，我學(xué)習(xí)它有什么用呢？1.一元二次