第二章-邏輯函數(shù)及邏輯門課件

1、基本邏輯運(yùn)算設(shè)：開關(guān)閉合=“1”

開關(guān)不閉合=“0”

燈亮，L=1

燈不亮，L=0

與邏輯——只有當(dāng)決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會(huì)發(fā)生。1)與運(yùn)算與邏輯表達(dá)式：AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮不亮不亮亮0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表一、邏輯運(yùn)算2）或運(yùn)算或邏輯表達(dá)式：

L＝A+B

或邏輯——當(dāng)決定一件事情的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就發(fā)生。AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮亮亮亮0101BLA0011輸入0111輸出

或邏輯真值表3）非運(yùn)算非邏輯表達(dá)式：

非邏輯——某事情發(fā)生與否，僅取決于一個(gè)條件，而且是對(duì)該條件的否定。即條件具備時(shí)事情不發(fā)生；條件不具備時(shí)事情才發(fā)生。A燈L閉合不閉合不亮亮LA0110非邏輯真值表2、其他常用邏輯運(yùn)算

2）或非

——由或運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。

1）與非

——由與運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。0101BLA0011輸入1110輸出

“與非”真值表0101BLA0011輸入1000輸出

“或非”真值表3）異或異或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同時(shí)，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1。0101BLA0011輸入0110輸出

“異或”真值表異或的邏輯表達(dá)式為：4）同或（異或非）ABF101101000011邏輯表達(dá)式F=AB=AB

“⊙”同或邏輯運(yùn)算符ABF=1邏輯符號(hào)二、邏輯函數(shù)的運(yùn)算定律及規(guī)則常用公式：1）摩根公式：

AB=A+B A+B=AB 推廣：ABC=ABC=A+B+C A+B+C=A+B+C=ABCABC…=A+B+C+…A+B+C+…=ABC…2）A+AB=B+BA=A+B證明：A+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB=AB+AB+AB+AB=A+B*邏輯規(guī)則A.(BC)=A+BC=A+B+C1）代入規(guī)則：指在一個(gè)邏輯等式中，如將其中某個(gè)變量，都代之以另一個(gè)邏輯函數(shù)，則該等式依然成立在摩根律AB=A+B中用BC代替B，得：

Y=AB+BC(A+BC) Y*=(A+B )[B+C+A(B+C)]

與或互換、0和1互換,變量和反變量不變,非不變。2）對(duì)偶規(guī)則一個(gè)邏輯函數(shù)Y，如將其中的與換成或，或換成與，0換成1，1換成0，而變量及反變量本身保持不變，經(jīng)這樣置換后的新函數(shù)Y*，便是原函數(shù)Y的對(duì)偶函數(shù)。

Y=Y的反演

Y=AB+(A+B+C) Y=(A+B).ABC

與或互換、0和1互換，變量和反變量互換。3）反演規(guī)則將某邏輯函數(shù)Y中的“與”與“或”對(duì)換，0和1對(duì)換，原變量和反變量也同時(shí)對(duì)換，這樣對(duì)換后的新函數(shù)，便是原函數(shù)Y的反函數(shù)Y。Y=f(X1，X2，X3，…，Xk)=X1f(0，X2，…，Xk)+X1f(1,X2，…，Xk)=[X1+f(0，X2，…，Xk)][X1+

f(1,X2，…，Xk)]4）展開規(guī)則一個(gè)多變量函數(shù)Y=f(X1，X2，X3，…，Xk),可以將其中任意一個(gè)變量，例如X1分離出來，并展開成：三、邏輯函數(shù)的表示方法1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。2．函數(shù)表達(dá)式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運(yùn)算符所構(gòu)成的表達(dá)式。3．邏輯圖——由邏輯符號(hào)及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開，F(xiàn)滅0000C合，A、B中有一個(gè)合，F(xiàn)亮11C合，A、B均斷，F(xiàn)滅0邏輯函數(shù)式挑出函數(shù)值為1的項(xiàng)1101111101111每個(gè)函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個(gè)乘積項(xiàng)這些乘積項(xiàng)作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC解：第一步：設(shè)置自變量和因變量。第二步：狀態(tài)賦值。

對(duì)于變量A、B、C設(shè)：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。

對(duì)于函數(shù)F設(shè)：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。例1.

三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表。000001010011100101110111ABC00010111

F三人表決電路真值表由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式。由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達(dá)式：解：該函數(shù)有兩個(gè)變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。

反之，由函數(shù)表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。例2

列出下列函數(shù)的真值表：真值表00011011AB1001

L000001010011100101110111ABC00010111

F三人表決電路真值表例4

寫出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達(dá)式。由函數(shù)表達(dá)式可以畫出邏輯圖。解：可用兩個(gè)非門、兩個(gè)與門和一個(gè)或門組成。例3

畫出函數(shù)

的邏輯圖：

由邏輯圖也可以寫出表達(dá)式。解：等式右邊由此可以看出：與或表達(dá)式中，兩個(gè)乘積項(xiàng)分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項(xiàng)的剩余因子包含在第三個(gè)乘積項(xiàng)中，則第三項(xiàng)是多余的公式可推廣：例5：證明包含律成立利用基本定律證明方法利用真值表例6：用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=AB例7、試用真值表證明010100011101010001101001010010000100AB+ABAB+ABAB+ABABABABABBA函數(shù)的簡化依據(jù)

邏輯電路所用門的數(shù)量少

每個(gè)門的輸入端個(gè)數(shù)少

邏輯電路構(gòu)成級(jí)數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性四、邏輯函數(shù)的簡化返回最簡式的標(biāo)準(zhǔn)

首先是式中乘積項(xiàng)最少

乘積項(xiàng)中含的變量少

與或表達(dá)式的簡化1、代數(shù)法化簡函數(shù)與門的輸入端個(gè)數(shù)少實(shí)現(xiàn)電路的與門少下級(jí)或門輸入端個(gè)數(shù)少方法：并項(xiàng)：利用將兩項(xiàng)并為一項(xiàng)，且消去一個(gè)變量B消項(xiàng)：利用A+AB=A消去多余的項(xiàng)AB配項(xiàng)：利用和互補(bǔ)律、重疊律先增添項(xiàng)，再消去多余項(xiàng)BC消元：利用消去多余變量A代數(shù)法化簡函數(shù)例8：試簡化函數(shù)解：利用反演律配項(xiàng)加AB消因律消項(xiàng)AB或與表達(dá)式的簡化F（或與式）求對(duì)偶式F（與或式）簡化F（最簡與或式）求對(duì)偶式F（最簡或與式）1）、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)2、用卡諾圖化簡函數(shù)最小項(xiàng)：n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，記作mi3個(gè)變量有23（8）個(gè)最小項(xiàng)m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的乘積項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）乘積項(xiàng)和項(xiàng)最小項(xiàng)二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)i-各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項(xiàng)

最小項(xiàng)的性質(zhì)：同一組變量取值任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0。即mimj=0(i≠j)全部最小項(xiàng)之和為1，即任意一組變量取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，其它最小項(xiàng)的值均為0最大項(xiàng)n個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作in個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的和項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）最大項(xiàng)：M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最大項(xiàng)二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)同一組變量取值任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項(xiàng)之積為0，即任意一組變量取值，只有一個(gè)最大

項(xiàng)的值為0，其它最大項(xiàng)的值均為1最大項(xiàng)的性質(zhì)：M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最大項(xiàng)二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)F可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。

例：m1m3m5m7==2）、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)（標(biāo)準(zhǔn)積）之和表達(dá)式式中的每一個(gè)乘積項(xiàng)均為最小項(xiàng)F(A、B、C、D)例9：求函數(shù)F(A、B、C)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補(bǔ)律，補(bǔ)上所缺變量C解:ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例10：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式

從真值表找出F為1的對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)解:011331101551110661111771然后將這些項(xiàng)邏輯加F(A、B、C)最大項(xiàng)（標(biāo)準(zhǔn)和）之積表達(dá)式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例11：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式

從真值表找出F為0

的對(duì)應(yīng)最大項(xiàng)解:然后將這些項(xiàng)邏輯乘F(A、B、C)完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中各行的輸出都是明確的，非0即1非完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中有些行的輸出是明確的，還有些行的輸出是未加規(guī)定的，稱為無關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)3）、未完全描述函數(shù)的真值表及表達(dá)式例、試寫出表中所示真值表的邏輯函數(shù)ABCY000100100100011-10011011110-1110解：表中有兩行是任意項(xiàng)將任意項(xiàng)作1看待，函數(shù)的最小項(xiàng)之和表達(dá)式為將任意項(xiàng)作0看待，函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式為4）卡諾圖化簡函數(shù)卡諾圖（K圖）圖中的一小格對(duì)應(yīng)真值表中的一行，即對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖K圖的特點(diǎn)圖形法化簡函數(shù)

k圖為方形圖。n個(gè)變量的函數(shù)--k圖有2n個(gè)小方格，分別對(duì)應(yīng)2n個(gè)最小項(xiàng)；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項(xiàng)之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個(gè)因子不同有三種幾何相鄰：鄰接、相對(duì)（行列兩端）和對(duì)稱（圖中以0、1分割線為對(duì)稱軸）方格均屬相鄰0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個(gè)變量ABDADA1四個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個(gè)變量八個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個(gè)變量十六個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果mi=1卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則：幾何相鄰的2i（i=1、2、3…n）個(gè)小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個(gè)變量，而用含（n-i）個(gè)變量的積項(xiàng)標(biāo)注該圈。圖形法化簡函數(shù)

與或表達(dá)式的簡化步驟先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填1，其它填0。合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必須有新的最小項(xiàng)。每個(gè)圈寫出一個(gè)乘積項(xiàng)。按取同去異原則最后將全部積項(xiàng)邏輯加即得最簡與或表達(dá)式根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖1、已知函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式，存在的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格填1，其余格均填0。2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填1，其余格均填0。3、函數(shù)為一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。作圈的步驟1、孤立的單格單獨(dú)畫圈2、圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必須有新的最小項(xiàng)3、含1的格都應(yīng)被圈入，以防止遺漏積項(xiàng)圖形法化簡函數(shù)含有無關(guān)項(xiàng)的函數(shù)的化簡

填函數(shù)的卡諾圖時(shí)只在無關(guān)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格內(nèi)填任意符號(hào)“-”、“Φ”、“d或“×”。處理方法：無關(guān)項(xiàng)對(duì)于變量的某些取值組合，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是不定。通常約束項(xiàng)和任意項(xiàng)在邏輯函數(shù)中統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)化簡時(shí)可根據(jù)需要視為“1”也可視為“0”，使函數(shù)化到最簡。圖形法化簡函數(shù)F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC =Σm(3,5,6,7)紅圈：BC藍(lán)圈：AC綠圈:ABF(A,B,C)=BC+AC+AB圈1法四變量卡諾圖：例1畫出函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡諾圖例2畫出函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=Σm(2,5,8,10,12,14,15)的卡諾圖化簡：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)化簡：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=Σm(2,5,8,10,12,14,15)圈0法Y=BC+AC+ABCY=BC+AC+ABC=(B+C)(A+C)(A+B+C)5）多輸出函數(shù)的化簡用卡諾圖對(duì)變量相同的多個(gè)輸出函數(shù)進(jìn)行化簡時(shí)，應(yīng)圈出盡量多的公共項(xiàng)例：試用卡諾圖化簡多輸出函數(shù)：解：先畫出相應(yīng)的卡諾圖按盡量圈公共項(xiàng)的原則，可得：6）禁止邏輯設(shè)有函數(shù)，其卡諾圖如圖所示：用圈1法，可得：若將圖中原為0的3號(hào)小格打上陰影線，它應(yīng)為禁止項(xiàng)現(xiàn)在先將該禁止項(xiàng)圈進(jìn)，得新函數(shù)，再乘上禁止項(xiàng)之非，便得：任何函數(shù)乘上不屬于它的最小項(xiàng)之非，其邏輯功能不變。則：這種利用禁止項(xiàng)化簡函數(shù)的方法，稱為禁止法或阻塞法例：試用阻塞法化簡函數(shù)解：將函數(shù)畫成卡諾圖發(fā)現(xiàn)如按圈1法，已是最簡的積之和表達(dá)式若令為禁止項(xiàng)，則可寫出：該表達(dá)式具有較少的門電路和連線與:相應(yīng)格的值相與或:相應(yīng)格的值相或反函數(shù):每個(gè)格的值取反對(duì)偶函數(shù):每個(gè)格填上對(duì)偶項(xiàng)值的非

m0---M15m1---M14m2---M13……五、卡諾圖運(yùn)算五變量卡諾圖六、降維卡諾圖一個(gè)五變量函數(shù)，可以填入四變量的卡諾圖中，小格中除常量0、1及任意項(xiàng)“－”外，還會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)變量，后者就稱為圖記變量，而這種卡諾圖就成為降維卡諾圖。將A選作圖記變量，合并卡諾圖選B為圖記變量，降成三變量式的卡諾圖降維卡諾圖的圈法：降維圖畫圈的原則：（1）圈1時(shí)不能將含有變量的小格圈進(jìn)，但可將任意項(xiàng)圈進(jìn)（2）圈變量或函數(shù)時(shí)，只能將相同變量或函數(shù)的相鄰格圈在一起，并乘上該變量或函數(shù)，這樣才能得出該圈之函數(shù)（3）圈變量或函數(shù)時(shí)，若有相鄰的1，則也可像相鄰的任意項(xiàng)那樣圈進(jìn)（4）將上述各類圈之函數(shù)相加，才得化簡函數(shù)例：對(duì)下圖圈出函數(shù)f的最簡與或式畫出4個(gè)圈，故：也畫出4個(gè)圈，故：五、邏輯門、符號(hào)和變換1、邏輯符號(hào)（GB4728.12-85）1〉邏輯單元符號(hào)：2〉輸入輸出記號(hào)：狀態(tài)記號(hào)電平記號(hào)非門邏輯符號(hào)：（GB4728.12-85）1〉圖形符號(hào)的三種形式2、門電路符號(hào)：3、表達(dá)式→電路圖：1〉用與非門實(shí)現(xiàn)（Y=AB）與：Y=AB=AB非：Y=A=AA或：Y=A+B=A+B=AB2〉用或非門實(shí)現(xiàn)（Y=A+B）或：Y=A+B=A+B非：Y=A=A+A與：Y=AB=AB=A+B例1：分別用與非門和或非門表示異或Y=A⊕B=AB+AB=ABABY=A⊕B=AB+AB=A+B+A+B例1：多輸入與或非門4、電路圖→表達(dá)式分析下列電路寫出邏輯表達(dá)式5、其他表示法（了解）1〉開關(guān)網(wǎng)絡(luò)（p54）2〉文氏圖 (p55 ) 3〉表格法化簡(p56)0V工作原理A、B中有一個(gè)或一個(gè)以上為低電平0V只有A、B全為高電平3V，二極管與門電路0V3V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V六、正邏輯與負(fù)邏輯則輸出F就為低電平0V則輸出F才為高電平3VABFVLVLVLVLVHVL111ABF1001000000ABF01001011111VLVHVHVLVHVH電平關(guān)系正邏輯負(fù)邏輯正與=負(fù)或正或=負(fù)與正與非=負(fù)或非正或非=負(fù)與非正、負(fù)邏輯間關(guān)系邏輯符號(hào)等效在一種邏輯符號(hào)的所有入、出端同時(shí)加上或者去掉小圈，當(dāng)一根線上有兩個(gè)小圈，則無需畫圈原來的符號(hào)互換（與←→或、同或←→異或）高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示

正邏輯與負(fù)邏輯（與門）（或門）高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示邏輯約定：函數(shù)表達(dá)式的常用形式五種常用表達(dá)式F(A、B、C)“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式表達(dá)式形式轉(zhuǎn)換利用還原律利用反演律邏輯函數(shù)簡化中的幾個(gè)實(shí)際問題具有多輸出端電路的簡化只允許原變量輸入的邏輯電路的簡化小結(jié)