第現(xiàn)代控制理論4章3

第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性

分析第現(xiàn)代控制理論4章34.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。討論的主要問(wèn)題有:基本方法:線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程的求解線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分析第現(xiàn)代控制理論4章3由上節(jié)知,李雅普諾夫第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時(shí),難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。目前的處理方法是,針對(duì)系統(tǒng)的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。第現(xiàn)代控制理論4章3設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=Ax這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):1)

當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時(shí),系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點(diǎn);2)若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;3)對(duì)于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。第現(xiàn)代控制理論4章3本節(jié)將討論對(duì)線性系統(tǒng),包括線性定常連續(xù)系統(tǒng)、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng),如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第現(xiàn)代控制理論4章3定理4-7

線性定常連續(xù)系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為:對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q,都存在一個(gè)正定矩陣P為矩陣方程PA+AP=-Q的解,并且正定函數(shù)V(x)=xPx即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。□4.3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第現(xiàn)代控制理論4章3證明過(guò)程為：已知滿足矩陣方程PA+AP=-Q的正定矩陣P存在,故令V(x)=xPx.由于V(x)為正定函數(shù),而且V(x)沿軌線對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)為V’(x)=(xPx)’=x’Px+xPx’=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q為正定矩陣,故V’(x)為負(fù)定函數(shù)第現(xiàn)代控制理論4章3上述定理給出了一個(gè)判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡(jiǎn)便方法,該方法不需尋找李雅普諾夫函數(shù),不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值,只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可,計(jì)算簡(jiǎn)便。該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。第現(xiàn)代控制理論4章3在實(shí)際應(yīng)用中:如果V’(x,t)=-xQx沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么Q可取為非負(fù)定矩陣,而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件為:存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。Q矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的,那么最終的判定結(jié)果將與Q的不同選擇無(wú)關(guān)。由定理4-7可知,運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),最方便的是選取Q為單位矩陣,即Q=I。于是,矩陣P的元素可按如下李雅普諾夫代數(shù)方程:PA+AP=-I求解,然后根據(jù)P的正定性來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。第現(xiàn)代控制理論4章3下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程來(lái)判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4-9

試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。解

設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為V(x)=xPx由定理4-7可知,上式中的正定矩陣P滿足李雅普諾夫方程PA+AP=-I.第現(xiàn)代控制理論4章3于是,令對(duì)稱矩陣P為將P代入李雅普諾夫方程,可得展開(kāi)后得,有:第現(xiàn)代控制理論4章3因此,得如下聯(lián)立方程組:解出p11,p12和p22,得第現(xiàn)代控制理論4章3為了驗(yàn)證對(duì)稱矩陣P的正定性,用合同變換法檢驗(yàn)如下:由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零,故矩陣P為正定的。因此,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。此時(shí),系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)分別為第現(xiàn)代控制理論4章3例4-10

控制系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,試確定增益的取值范圍。解由圖可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為第現(xiàn)代控制理論4章3不難看出,原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選取Q為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱矩陣,則只在原點(diǎn)處才恒為零,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。因此,對(duì)上述非負(fù)定的Q,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。第現(xiàn)代控制理論4章3設(shè)P為實(shí)對(duì)稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,可得求得為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,矩陣P須為正定。第現(xiàn)代控制理論4章3采用合同變換法,有從而得到P為正定矩陣的條件即0<k<6由上例可知,選擇Q為某些非負(fù)定矩陣，也可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,益處是可使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。第現(xiàn)代控制理論4章34.3.2線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=A(t)x(t)

xe=0則有判定線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定性的定理如下。第現(xiàn)代控制理論4章3定理4-8

線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定的充分必要條件為:對(duì)有限的t和任意給定的正定矩陣Q(t),都存在一個(gè)正定矩陣P(t)為李雅普諾夫矩陣微分方程的解,并且正定函數(shù)即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。第現(xiàn)代控制理論4章3第現(xiàn)代控制理論4章3在實(shí)際應(yīng)用上述判別線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),可令Q(t)=I,則相應(yīng)的李雅普諾夫矩陣微分方程為并且其解為第現(xiàn)代控制理論4章34.3.3線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析前兩節(jié)討論的為連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義和穩(wěn)定性判據(jù)定理,其穩(wěn)定性定義可延伸至離散系統(tǒng),但其穩(wěn)定性判據(jù)則有較大差別。下面先給出一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的判據(jù)。第現(xiàn)代控制理論4章3定理4-9

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(k+1)=f(x(k),k)其中xe=0為其平衡態(tài)。如果存在一個(gè)連續(xù)的標(biāo)量函數(shù)V[x(k),k]且正定,則有:1)

若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]為負(fù)定的,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;2)

若V[x(k),k]為非正定的,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是穩(wěn)定的;更進(jìn)一步,若V[x(k),k]對(duì)任意初始狀態(tài)的解序列x(k),V[x(k),k]不恒為零,那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;第現(xiàn)代控制理論4章33)

更進(jìn)一步,若||x(k)||→,有V[x(k),k]→,那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的?！醯诂F(xiàn)代控制理論4章3類似于連續(xù)系統(tǒng),亦可得到關(guān)于離散系統(tǒng)不穩(wěn)定性的定理。離散系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性的判據(jù)也可總結(jié)如下:V[x(k),k]V[x(k),k]結(jié)論正定(>0)負(fù)定(<0)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)半負(fù)定(0)且恒為0(對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(>0)正定(>0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(>0)半正定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定第現(xiàn)代控制理論4章3上述定理討論的是一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的充分判據(jù)。類似于線性定常連續(xù)系統(tǒng),對(duì)線性定常離散系統(tǒng),有如下簡(jiǎn)單實(shí)用的漸近穩(wěn)定判據(jù)。定理4-10

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(k+1)=Gx(k)其中xe=0為其平衡態(tài)。則其平衡態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件為:對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q,都存在一個(gè)正定矩陣P為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程GPG-P=-Q

的解,并且正定函數(shù)V[x(k)]=x(k)Px(k)即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。第現(xiàn)代控制理論4章3且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是：推導(dǎo)：第現(xiàn)代控制理論4章3與連續(xù)系統(tǒng)類似,有如下討論:1)

如果對(duì)于某個(gè)非負(fù)定矩陣Q,V[x(k),k]=-x(k)Qx(k)沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么,系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條件為:存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。2)

可令正定矩陣Q=I,則判定線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性只需解如下李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程即可:GPG-P=-I第現(xiàn)代控制理論4章3試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定的k值范圍。根據(jù)