2021-2022學(xué)年河北省石家莊市杜固中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市杜固中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若變量x，y滿足則z=3x+2y的最大值是（）A．90 B．80 C．70 D．40參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫(huà)出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，進(jìn)一步求出目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值．【解答】解：滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖示：由圖可知，當(dāng)x=10，y=20時(shí)，z=3x+2y有最大值70故選C．2.直線和圓的關(guān)系是（

）A.相離

B.相交

C.相交或相切

D.相切參考答案：B略3.已知點(diǎn)是的外心，是三個(gè)單位向量，且，如圖所示，的頂點(diǎn)分別在軸的非負(fù)半軸和軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為A． B． C．

D．參考答案：C4.若命題，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B特稱命題的否定為全稱命題，修改量詞，否定結(jié)論，故若命題：，則為.本題選擇B選項(xiàng).

5.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：,所以,故選C.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算6.設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，，，，則（

）A．2

B． C．3

D．參考答案：C由于,所以,故,由于,解得,故選C.

7.下列區(qū)間中，函數(shù)=在其上為增函數(shù)的是（A）（-

（B）

（C）

（D）參考答案：D本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象的作法及應(yīng)用，同時(shí)考查函數(shù)的數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想．難度較?。痜(x)為分段函數(shù)f(x)＝，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象知f(x)在[1，2）上為增函數(shù)．8.函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）.

A.B.0C.－1D.參考答案：A略9.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（A）若且，則（B）若且，則（C）若且，則（D）若且，則參考答案：B10.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是參考答案：12.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝600，E是線段AD上靠近A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是線段DC的中點(diǎn)，若AB＝2，AD＝，則＝參考答案：13.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為

。參考答案：14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線過(guò)點(diǎn)且與極軸所成的角為，則直線的極坐標(biāo)方程為

．參考答案：或或或略15.已知滿足，則的最大值為 。參考答案：2設(shè)，則。作出可行域如圖作直線，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線的截距最下，此時(shí)最大，把代入直線得，所以的最大值為2.16.在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則.推廣到空間幾何體中可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則=___________.參考答案：內(nèi)切球半徑與外接球半徑之比為，所以體積之比為.17.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則其目標(biāo)函數(shù)z＝mx＋y僅在點(diǎn)（3,1）處取得最大值，則m的取值范圍是＿＿＿參考答案：（－1,1）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=aexx﹣2aex﹣x2+x．（1）求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x﹣1）（aex﹣1），對(duì)a討論，分a≤0時(shí)，a=時(shí)，a＞時(shí)，0＜a＜時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=aexx﹣2aex﹣x2+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（ex+xex）﹣2aex﹣x+1=（x﹣1）（aex﹣1），可得f（x）在（2，f（2））處切線斜率為ae2﹣1，切點(diǎn)為（2，0），即有切線的方程為y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即為y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x﹣1）（aex﹣1），①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣（x﹣1），當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；③當(dāng)a＞0時(shí)，若a=，則f′（x）=（x﹣1）（ex﹣1﹣1），f（x）在R上遞增；若a＞，則f′（x）＞0即為（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即為（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，則f′（x）＞0即為（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即為（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．綜上可得，a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，1），減區(qū)間為（1，+∞）；a=時(shí)，f（x）的增區(qū)間為R；a＞時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（﹣∞，ln），減區(qū)間為（ln，1）；0＜a＜時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（ln，+∞），（﹣∞，1），減區(qū)間為（1，ln）．19.設(shè)函數(shù)圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)為A，其相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為B，且|AB|=．(I)求的值；(II)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b+c=2，，求的值域．參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).

解析：(Ⅰ)，由條件得，.(Ⅱ)由余弦定理：又，故，又，故由，，所以的值域?yàn)?略20.

記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)锳，g(x)＝lg(x－a－1)(2a－x)(a<1)的定義域?yàn)锽.(1)求A；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)由2－≥0，得≥0.解上式得x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪1，＋∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0.由a<1，得a＋1>2a.所以g(x)的定義域B＝(2a，a＋1)．又因?yàn)锽?A，則可得2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2.因?yàn)閍<1，所以≤a<1或a≤－2.故當(dāng)B?A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2∪．21.（本小題滿分13分）

在△ABC中，內(nèi)角A，B，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=a·cosB

（?。┣蠼荁的大小；

（II）若b=3,，sinC=2sinA，分別求a和c的值，參考答案：22.某校對(duì)參加高校自主招生測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人．（1）求N的值并估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)；參考答案：解答： 解：（1）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的頻率為0.005×10=0.05，所以，利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．所以，估計(jì)這次考試的平均分是7．由頻率分布直方圖可知，成績(jī)分布在間的頻率最大，所以眾數(shù)的估計(jì)值為區(qū)間的中點(diǎn)值7…（注：這里的眾數(shù)、平均值為估計(jì)量，若遺漏估計(jì)或大約等詞語(yǔ)扣一分）【題文】己知f（x）=ex﹣alnx﹣a，其中常數(shù)a＞0．（1）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（0＜x1＜x2），求證：＜a；（3）求證：e2x﹣2﹣ex﹣1lnx﹣x≥0．【答案】【解析】考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）求出a=e的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可求得極值；（2）先證明：當(dāng)f（x）≥0恒成立時(shí)，有0＜a≤e成立．若，則f（x）=ex﹣a（lnx+1）≥0顯然成立；若，運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得證；（3）討論當(dāng)a=e時(shí)，顯然成立，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間可得最大值，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），（1）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=ex﹣elnx﹣e，，而在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f′（1）=0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜f'（1）=0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞f'（1）=0，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）有極小值f（1）=0，沒(méi)有極大值；

（2）先證明：當(dāng)f（x）≥0恒成立時(shí)，有0＜a≤e成立．若，則f（x）=ex﹣a（lnx+1）≥0顯然成立；若，由f（x）≥0得，令，則，令，由得g（x）在上單調(diào)遞增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上為負(fù)，在（1，+∞）上為正，因此φ（x）在上遞減，在（1，+∞）上遞增，即有φ（x）min=φ（1）=e，從而0＜a≤e．因而函數(shù)y=f（x）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＞e，即有f（1）=e﹣a＜0，由f（a）=ea﹣alna﹣a（a＞e）得f'（a）=ea﹣lna﹣2，則，則f′（a）=ea﹣lna﹣2在（e，+∞）上單調(diào)遞增，即有f′（a）＞f'（e）=ee﹣3＞e2﹣3＞0，則有f（a）=ea﹣alna﹣a在（e，+∞）上單調(diào)遞增，則f（a）＞f（e）=ee﹣2e＞e2﹣2e＞0，則f（1）f（a）＜0，則有1＜x2＜a；由a＞e得，則，所以，綜上得．

（3）證明：由（2）知當(dāng)a=e時(shí)，f（x）