橢圓方程及幾何性質

橢圓方程及幾何性質第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三基礎知識梳理

1．橢圓的定義(1)平面內一點P與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡，即

若常數等于|F1F2|，則軌跡是

.若常數小于|F1F2|，則軌跡

．

注意：一定要注意橢圓定義中限制條件“大于|F1F2|”是否滿足．|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|線段F1F2不存在第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三

(2)平面內點M與定點F的距離和它到定直線l的距離d的比是常數e(0<e<1)的點的軌跡，即

定點F為橢圓的

，定直線l為橢圓的

．該焦點對應的準線焦點第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三2．橢圓中的幾何量(1)長軸|A1A2|＝

，短軸|B1B2|＝

，焦距|F1F2|＝

，且滿足

.2a2ba2＝b2＋c22c第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三3．橢圓的幾何性質條件{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}{M|＝＝e(0<e<1)}標準方程及圖形(a>b>0)

(a>b>0)第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三頂點軸對稱軸：

，長軸長：

，短軸長：

焦點準線方程A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)x軸、y軸|A1A2|＝2a|B1B2|＝2bF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三焦半徑焦距離心率通徑|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ey0|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2e＝

(0<e<1)第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三強化訓練1．(2009年陜西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的________條件．答案：充要第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三2.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過P(－5,4)，則橢圓的方程為________．第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三3．(08年浙江)已知F1、F2為橢圓＝1(5>b>0)的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B點，若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.解：由橢圓定義知|AF1|＋|AF2|＝2a，

|BF1|＋|BF2|＝2a，所以|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴|AB|＝4a－(|F2A|＋|F2B|)＝4×5－12＝8.第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三4（2010全國卷）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且BF=2FD，則C的離心率為

.第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三5（2010湖北）:已知橢圓的兩焦點分別為,點滿足,則||+||的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點個數_____。第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三利用橢圓的定義可以將橢圓上的點到兩個焦點的距離進行轉化，一般地，解決與到焦點的距離有關的問題時，首先應考慮用定義來解題．橢圓的定義及應用考點一第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例1(09北京)橢圓＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝__；∠F1PF2的大小為____．第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三【答案】

2

120°第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三【點評】橢圓的定義具有鮮明的特點，即須是橢圓上的點與焦點的連線出現時，才會出現橢圓的定義，因此，能不能應用定義，也就應注意條件中是否出現橢圓上的點與焦點的連線這種條件．第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三橢圓中的最值問題考點二例2：求橢圓上的動點P到其中一個焦點F的距離的最大值和最小值。xyPF第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習1：已知A(-1,1),B(1,0)

點P在橢圓上運動，求PA+2PB的最小值。

練習2：求PA-PB的范圍。練習3：求PA+PB的最大值。第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習4：求橢圓上的動點P到直線的距離的最小值。第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例3：設P是橢圓在第一象限的點，A(2,0)、B(0,1)，O為原點，求四邊形OAPB的面積的最大值。xyAOPB第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習（2008全國卷）設橢圓中心在坐標原點，點是它的兩個頂點，直線與相交于點，與橢圓相交于兩點。（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．。第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三小結：橢圓中最值問題的求解策略：總方針：建立目標函數（或目標不等式）具體方法：（1）轉化成二次函數的最值問題。（2）利用三角換元，轉化成三角函數的最值問題。（3）結合圓錐曲線的定義，利用圖形的幾何特征求最值。（4）利用基本不等式放縮求最值。第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三

橢圓標準方程的求法(1)定義法；(2)待定系數法．若已知焦點的位置可惟一確定標準方程；若焦點位置不確定，可采用分類討論法來確定方程的形式，也可以直接設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1，其中A，B為不相等的正常數或由已知條件設橢圓系(如＝λ，λ>0)來求解，以避免討論和繁瑣的計算．橢圓的標準方程考點三第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例4第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三(2)由題意，可知直線l的斜率存在，設直線斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋1)，則有M(0，k)．設Q(x1，y1)，由于Q、F、M三點共線，且根據題意得(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三據題意得(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，解得k＝0，k＝±4，所以直線l的斜率為0或±4.第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三【點評】求橢圓的方程，關鍵在于尋找到能求a2，b2的關系式或條件，觀察圖形，由條件轉化是常用到的解題辦法．第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習1(09年廣東)已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12.圓Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圓心為點Ak.(1)求橢圓G的方程；(2)求△AkF1F2的面積；(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G？請說明理由．第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三(3)∵橢圓G與圓心Ak所在直線y＝2均關于y軸對稱．∴不妨考慮k≥0的情形，此時，圓心Ak(－k,2)到橢圓G的右頂點N(6,0)的距離為∴點N(6,0)總在圓外；若k<0，由(－6)2＋0－12k－0－2＝15－12k>0，可知點(－6,0)在圓Ck外．所以任何圓Ck都不能包圍橢圓．第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習2、（2010安徽理數）已知橢圓E經過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，離心率0.5。(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)求角F1AF2的角平分線所在直線的方程；(Ⅲ)在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三1．直線方程與橢圓方程聯立，消元后得到一元二次方程，然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交、相切或相離．2．消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎．直線與橢圓的關系考點四第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三本類問題中主要是直線與橢圓相交的問題，可以分為兩類：①直線過橢圓焦點（可以聯想定義或焦半徑等；②直線不過橢圓焦點．處理的辦法也分為兩種：①設而不求(點差法，涉及中點）；②直線與橢圓聯立方程組，運用韋達定理處理．第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例5設F1、F2為橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，若橢圓C上點A(1，)到F1、F2兩點的距離之和等于4.(1)求出橢圓C的方程和焦點坐標；(2)過點P(0，)的直線與橢圓交于兩點M、N，若以M、N為直徑的圓通過原點，求直線MN的方程．第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三【解】

(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三總結：直線與橢圓相交往往是聯立方程組，利用韋達定理等知識，但某些條件的轉化應用往往是解題的突破口和關鍵，如本題中向量數量積的應用，這就要求解題過程中對條件的分析要準確，與其它知識點的轉化要熟練．第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習1．已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且∠F1PF2＝60°.(1)求橢圓的離心率的范圍；(2)求證：△F1PF2的面積與橢圓的長軸無關．第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習2第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三(1)求橢圓的方程；(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0，c)(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；(3)試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三征服畏懼、建立自信的最快最確實的方法，就是去做你害怕的事，直到你獲得成功的經驗。第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三試卷18題第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三主要問題有兩類，第一類根據橢圓方程研究橢圓的幾何性質，第二類根據橢圓的幾何性質，綜合其他知識求橢圓方程或者研究其他問題，這一類利用性質是關鍵．橢圓的幾何性質考點五第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三例6(1)求橢圓C的方程．(2)橢圓C上任一動點M(x0，y0)關于直線y＝2x的對稱點為M1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范圍．第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三∴3x1－4y1＝－5x0.∵點P(x0，y0)在橢圓C：＝1上，∴－2≤x0≤2，∴－10≤－5x0≤10.即3x1－4y1的取值范圍為[－10,10]．第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三總結：橢圓的幾何性質如離心率題，范圍問題都是常考的內容，本題中是利用橢圓上點的橫縱坐標的范圍來轉化的，這是解決有關范圍問題常用的一個方法，但并不是惟一的方法，題目設置的條件不同，采用的方法也會隨之不同，因此，需要在平時總結不同的題型，以便歸納規(guī)律和方法．第五十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三練習：(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點E(3,0)，設點P、Q是橢圓C的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求的取值范圍．第六十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第六十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第六十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三第六十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期三規(guī)律方法總結1．橢圓的定義有兩種形式，習慣上稱為第一定義和第二定義．在第一定義中，描述橢圓為“到兩定點的距離之