東莞市四校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四校聯(lián)考2013—2014學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)科理科試卷第Ⅰ部分選擇題（共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.每小題各有四個(gè)選擇支，僅有一個(gè)選擇支正確。請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡中所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑。）1．復(fù)數(shù)=（)A． B． C．0 D．2。一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體，在秒末的瞬時(shí)速度是（）米/秒A．2B．4C.63。函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是(）A．B．C．D．4.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A。B。C.D。5．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)是（)A．B．C．D．。6。等于（）A．B．C．D．7.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間關(guān)系為，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間［1，2］內(nèi)的位移是（）A. B。 C。 D。8.已知，觀察下列各式：，，，．．．,類比有(），則（）A．B． C． D．9．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量(單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量為（)A.7萬(wàn)件B.9萬(wàn)件C。11萬(wàn)件D。13萬(wàn)件10。對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心。設(shè)函數(shù)，則=（)A。B.C.D.第Ⅱ部分非選擇題（共100分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)的位置上。）11。若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______12。觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律，第7個(gè)等式為.O-241-1-21213、如右圖，是定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象,是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)O-241-1-21214。已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時(shí)，函數(shù)取極值1；若對(duì)任意的,均有成立，則s的最小值為_(kāi)_________三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15．（本小題12分)已知復(fù)數(shù),試求為何值時(shí)，（1）為實(shí)數(shù)？（2）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第三象限？16。（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若在處有極值,求的值；（2)在(1)的條件下,求在區(qū)間上的最大值.17．(本小題14分)設(shè)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,且.求的表達(dá)式；求函數(shù)的圖像與直線x+y-1=0所圍成的圖形的面積。18.某地區(qū)預(yù)計(jì)從2013年初開(kāi)始的第月，商品A的價(jià)格（，價(jià)格單位：元），且第月該商品的銷售量（單位：萬(wàn)件）.（1）2013年的最低價(jià)格是多少？（2）2013年的哪一個(gè)月的銷售收入最少？19、數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且．（Ⅰ）求，，;（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．20．（本小題滿分14分)已知,，，其中是無(wú)理數(shù)且,.（1）若,求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2）求證：在（1）的條件下，；（3)是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.2013—2014學(xué)年度第二學(xué)期四校聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)科理科參考答案一、選擇題:（本大題共8小題，每小題5分,滿分40分．)題號(hào)12345678910答案ACCBDCADBB二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分）11。___1__12.13.14。三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15。（本小題滿分12分）已知復(fù)數(shù)，試求為何值時(shí),（1）為實(shí)數(shù)?（2）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第三象限？解：（1）Z為實(shí)數(shù)，則虛部為0，即，解得或……5分（2）……………7分解得：…………………11分，故………………………12分16.(本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若在處有極值，求的值；（2）在（1）的條件下,求在區(qū)間上的最大值.解：（1）.……………1分在處有極值,，……………3分即.……………4分.當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，……………5分∴在處取得極值時(shí)，。……………6分（2）在（1）的條件下，，，令，得或,……………7分由(1）知函數(shù)在和處有極值。……………8分又,，，……………11分∴在區(qū)間上的最大值為?！?2分17．（本小題14分)設(shè)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且.求的表達(dá)式；求函數(shù)的圖像與直線x+y—1=0所圍成的圖形的面積.解：（1）……………………1分由題知，……………………4分解得…………………6分…………………7分(2）…………9分所以………………11分…………14分18、某地區(qū)預(yù)計(jì)從2013年初開(kāi)始的第月，商品A的價(jià)格（，價(jià)格單位:元），且第月該商品的銷售量（單位:萬(wàn)件）.（1)2013年的最低價(jià)格是多少?（2）2013年的哪一個(gè)月的銷售收入最少？解：（1）當(dāng)時(shí),取得最小值，即第6月的價(jià)格最低,最低價(jià)格為元;………4分（2）設(shè)第月的銷售收入為(萬(wàn)元）,依題意有,………6分，……7分所以當(dāng)時(shí),遞減；…………9分當(dāng)時(shí)，遞增，……………11分所以當(dāng)時(shí)，最小，即第5個(gè)月銷售收入最少.……13分答：2013年在第5月的銷售收入最低?！?4分19、數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足,且．（Ⅰ）求，，;（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．解：（Ⅰ);；……3分(Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為……6分下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，,猜想成立．………………7分假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，…………8分則當(dāng)時(shí),由，得由，得………………10分兩式作差得：即……………11分,所以猜想成立．…………………………13分綜上所述，對(duì)一切正的自然數(shù)都有．……14分20．（本小題滿分14分）已知，，,其中是無(wú)理數(shù)且，。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求證：在（1）的條件下，；(3）是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是？若存在,求出的值;若不存在，說(shuō)明理由。解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，，（1分）令,得x=1。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減;（2分)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.（3分）所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e),的極小值為。（4分）(2）由(1）知在上的最小值為1。（5分）令，，所以。（6分）當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，（7分）所以.故在(1）的條件下,。(8分）（3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使（）有最小值-1。因?yàn)?