皮亞諾曲線等基本分形課件

分形幾何的數(shù)學(xué)探究二、分形的數(shù)學(xué)研究研究結(jié)論拓展學(xué)習(xí)附錄一、分形的相關(guān)資料目錄什么是分形幾何？分形幾何的誕生分形幾何向傳統(tǒng)歐氏幾何提出的挑戰(zhàn)分形的藝術(shù)欣賞科赫雪花曲線（包括數(shù)學(xué)研究結(jié)果）朱利亞集曼德爾布羅特集三、我們的研究謝爾斯基三角形的探究自創(chuàng)分形并加以研究高二（2）分形幾何課題小組組長：林文成組員：姚瀟華（記錄員）薛文鴻（電腦操作員）黃昱霖（資料搜集整理）楊康煒（資料搜集整理）陳敏捷（資料搜集整理）指導(dǎo)老師：鄭天宇、周靈、孫世健什么是分形幾何？

“分形幾何”通俗一點說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。所謂“自相似”，例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；例如高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何的誕生“分形”一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有"破碎"、"不規(guī)則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)。Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。（見圖1）圖2、圖3將圖1中兩個矩形框區(qū)域放大后的圖形。你會驚奇地發(fā)現(xiàn)：當(dāng)你放大某個區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素。無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統(tǒng)幾何學(xué)的挑戰(zhàn)。他開創(chuàng)了一個全新的幾何學(xué)的分支！分形幾何向傳統(tǒng)歐氏幾何提出的挑戰(zhàn)多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和概念（諸如點、線、平面、空間、正方形、圓……）來描述我們這個生存的世界。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，引進了描畫宇宙現(xiàn)象的新的對象。分形就是這樣一種對象?？梢哉f分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。

可能有人感到，只有歐幾里得幾何的正規(guī)形狀才能應(yīng)用在科學(xué)中，然而分形的形式卻從不同的透視角度向我們提供了認(rèn)識自然的觀點。

分形是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、生姜根、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在天文、經(jīng)濟、氣象、電影制片等方面也有廣泛應(yīng)用。所以說，分形幾何突破了傳統(tǒng)歐氏幾何的局限，開創(chuàng)了前所未有的研究領(lǐng)域。

分形的藝術(shù)欣賞

分形圖可以體現(xiàn)出許多傳統(tǒng)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，如平衡、和諧、對稱等等，但更多的是超越這些標(biāo)準(zhǔn)的新的表現(xiàn)。比如，分形圖中的平衡，是一種動態(tài)的平衡，一種畫面各個部分在變化過程中相互制約的平衡；分形圖的和諧是一種數(shù)學(xué)上的和諧，每一個形狀的變化，每一塊顏色的過渡都是一種自然的流動，毫無生硬之感；而最特別的是分形的對稱，它既不是左右對稱也不是上下對稱，而是畫面的局部與更大范圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。在分形圖中更多的是分叉、纏繞、不規(guī)整的邊緣和豐富的變換，它給我們一種純真的追求野性的美感，一種未開化的，未馴養(yǎng)過的天然情趣。

（圖庫）圖1圖2圖3分形的數(shù)學(xué)探究（1）通過分形圖的欣賞，體會分形的思想，初步認(rèn)識分形；感悟數(shù)學(xué)與藝術(shù)在審美上的統(tǒng)一，提高審美情趣；認(rèn)識事物在簡單中孕育著復(fù)雜的辯證觀點，發(fā)展辯證思維；體會計算機圖形技術(shù)和迭代思想在分形研究中的重要作用。（2）認(rèn)識康托爾三分集、科赫曲線與科赫雪花曲線、朱利亞集、曼德爾布羅特集、謝爾賓斯基墊片與地毯、門杰海綿、皮亞諾曲線等基本分形，掌握其構(gòu)造方法，能能用《幾何畫板》作出生成它們的頭幾步圖形，并對曲線的“生長”規(guī)律進行研究?？坪昭┗ㄇ€從它的任何一個局部經(jīng)過放大,都可以得到一個和整體全等的圖形.

經(jīng)過n次曲線“生長”的規(guī)律（1）邊數(shù)：

（2）邊長：

（3）周長：

（4）尖角：

（5）面積：朱利亞集按照一定的數(shù)學(xué)原理在平面上構(gòu)造的點集。朱利亞集具有異常美麗的形狀,并且利用他可以模擬出山峰,云彩,湖泊等等自然景觀,以下四個圖形都是朱利亞集的圖形。

曼德爾布羅特集原始圖形如下,從它出發(fā),每個細(xì)部都可以演繹出美麗無比的夢幻般的仙境似的圖形。

前人研究的并發(fā)現(xiàn)的分形是豐富多彩的，他們?yōu)楹笕说难芯块_辟了道路，指導(dǎo)了方向，這些前人的探究成果是我們初步了解到什么是分形，并且認(rèn)識到分形幾何所蘊涵的知識的探究價值。這深深的激發(fā)了我們對分形幾何的興趣。我們的研究我們用課本學(xué)過的方法如如累積法、累加法等，對簡單分形幾何圖形展開研究。1.曲線“生長”過程中的有哪些數(shù)量特征可以研究？邊數(shù)、邊長、周長、頂點數(shù)、尖角的個數(shù)、面積等變化規(guī)律。2.應(yīng)用的知識與方法：（1）公式法（適合于等差、等比數(shù)列）；（2）差項法；（2）觀察、歸納、猜想、證明（數(shù)學(xué)歸納法）；經(jīng)過n次1.謝爾斯基三角形的探究三角形形狀：邊長（l）面積：底X高/2相差倍數(shù)值每個三角形分離的圖形總數(shù)新增圖形與初始三角形比2.自創(chuàng)分形并加以研究總結(jié)：在對分形的初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，我們進一步利用自己所學(xué)到的知識（如：數(shù)列.數(shù)學(xué)歸納法等）著重對謝爾斯基三角形進行探究，并得到了它的漸變規(guī)律等結(jié)論。在對已知分形的基礎(chǔ)上，我們自己創(chuàng)造出了一個分形圖形，并再次運用所學(xué)的知識探究了它“生長”的規(guī)律，其結(jié)果符合我們對分形的認(rèn)識。這次成功既是我們研究的收獲，也奠定了我們繼續(xù)研究的信心。1.圖片舉例2.英國海岸線中的分形3結(jié)論拓展學(xué)習(xí)結(jié)論開展研究性學(xué)習(xí)的目的之一就是尋求課本之外的知識來充實自己。因此我們離開書本，把目光移向周圍的事物，這才發(fā)現(xiàn)原來分形就存在于我們身邊，故我們探究了現(xiàn)實中最具價值的英國海岸線問題。結(jié)果著實令人滿意。我們學(xué)會了利用分形知識來分析身邊的事物，這樣鍛煉了我們的分析，語言，組織等能力，真是收益非淺。1.心得體會2.收獲3.結(jié)論分形幾何：/subject/maths/html/040601/2002_11/20021130_2055.html數(shù)學(xué)、分形與龍：/subject/maths/html/040601/2002_07/20020730_1577.html分形——自然幾何：/subject/maths/html/040601/2002_03/20020302_1198.html分形幾何與分形藝術(shù)：.cn/fractal/aboutfractal/aboutfractal_c.htm分形--真實還是想象？：/subject/maths/html/040601/2002_12/20021201_2056.html分形頻道：.cn/net/index.asp分形的世界：http://www.ymjhs.tyc.edu.tw/~microwei/currinstruc/fractal/fractalword.htm分形－－科學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)姻：http://www.colorbird.com/art