自由電子費(fèi)米氣體詳解演示文稿

自由電子費(fèi)米氣體詳解演示文稿1當(dāng)前第1頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)（優(yōu)選）自由電子費(fèi)米氣體2當(dāng)前第2頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

許多固體具有導(dǎo)電性，這意味著在這固體內(nèi)有許多電子并沒有真正被原子所束縛住，相反的這些電子可以在固體內(nèi)遨游。具有導(dǎo)電性的固體可被區(qū)分成兩類，那便是金屬與半導(dǎo)體。在這章節(jié)內(nèi)我們將只針對金屬進(jìn)行討論。3當(dāng)前第3頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)§6.1

金屬自由電子論的物理模型4當(dāng)前第4頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)1.Drude的金屬自由電子論Drude的經(jīng)典理論建立的歷史背景:1870年前后，玻爾茲曼、麥克斯韋等建立了氣體分子運(yùn)動論和統(tǒng)計理論；1897年，發(fā)現(xiàn)電子，使得人們輕易就可以猜測出金屬導(dǎo)電的機(jī)制。在總結(jié)金屬本身總是具有高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率和高的反射率的實驗事實的基礎(chǔ)上，Drude于1900年建立了Drude模型，主要研究金屬的電導(dǎo)和熱導(dǎo)問題。

5當(dāng)前第5頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)1.Drude的金屬自由電子論Drude的經(jīng)典理論:

自由電子是經(jīng)典離子氣體，服從玻爾茲曼分布(速度分布)，與中性稀薄氣體一樣去處理，完全套用經(jīng)典氣體模型，認(rèn)為電子之間無相互作用，同時也不考慮離子實勢場的作用。這樣一個簡單的物理模型處理金屬的許多動力學(xué)問題是成功的，特別是對我們理解簡單金屬的許多性質(zhì)是有幫助的。6當(dāng)前第6頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)1）金屬晶體中的傳導(dǎo)電子只與離子實發(fā)生碰撞（后面可以看到，電子與電子之間的碰撞幾率基本可以忽略），忽略了離子實與傳導(dǎo)電子之間的庫侖相互作用，稱為自由電子近似（freeelectronapproximation）。2）忽略了電子與電子之間的庫侖排斥相互作用，成為獨(dú)立電子近似（independentelectronapproximation）。Drude經(jīng)典理論的基本假設(shè):將金屬中高濃度（1022-1023/cm3)的價電子看作理想氣體，其基本假設(shè)為：7當(dāng)前第7頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

4）一個電子與離子實兩次碰撞之間的平均時間間隔稱為弛豫時間，它與電子的速度和位置無關(guān)，稱為弛豫時間近似（relaxationapproximation）。3）傳導(dǎo)電子簡單地隨機(jī)的和正離子實相碰撞(受正離子實的散射)且碰撞是瞬時的，每次碰撞都急劇地改變傳導(dǎo)電子的速度，但碰后電子的速度只與碰撞地點(diǎn)的溫度有關(guān)，而與碰前速度無關(guān)。電子只是通過碰撞與周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡。在相繼的兩次碰撞之間，電子做直線運(yùn)動，遵循牛頓第二定律，稱為碰撞近似（collisionapproximation）。8當(dāng)前第8頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)特魯?shù)履Ｐ偷膽?yīng)用1）金屬的直流電導(dǎo)金屬晶體內(nèi)的電子運(yùn)動類似理想氣體分子的運(yùn)動，因此電流密度為

j=-nev平n——金屬導(dǎo)體內(nèi)的電子數(shù)密度v平——電子運(yùn)動的平均定向速度討論：外電場E=0時，v平=0

電子運(yùn)動是隨機(jī)的凈定向電流為零，對電流密度沒有貢獻(xiàn)9當(dāng)前第9頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)me——電子的質(zhì)量t

——傳導(dǎo)電子與離子實發(fā)生碰撞的平均自由時間歐姆定律外電場E≠0時，v平≠0——產(chǎn)生凈定向電流在外場E作用下，考慮電子每一次碰撞后其運(yùn)動方向是隨機(jī)的，所以電子的初速度對平均速度是沒有貢獻(xiàn)的。因此，電子平均速度v平起源于在外場E作用下，電子在連續(xù)兩次碰撞的平均時間間隔內(nèi)，電子附加上的一個速度：10當(dāng)前第10頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)——實驗測定金屬的電阻率r，來估計平均自由時間t2）金屬的平均自由時間和平均自由程——平均自由程l(電子在連續(xù)兩次碰撞之間的平均運(yùn)動距離)以下應(yīng)該不是用v平來表示速度——根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律，有11當(dāng)前第11頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

freeelectronapproximation

離子實（金屬原子間距）大約也就是這個量級，可以看出，與Drude模型的假設(shè)比較吻合。

——但實驗中發(fā)現(xiàn)金屬中電子的平均自由程要比以上特魯?shù)履Ｐ偷墓浪阒荡蟮枚?。Cu：T=4K，也就是Drude模型當(dāng)中的假設(shè)并不是適用于一切情況。

12當(dāng)前第12頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)問題在固定電場中，如何推導(dǎo)電子動量隨時間的變化？直流電導(dǎo)率的推導(dǎo)以及可否直接用于交流電導(dǎo)率的推導(dǎo)？為什么？怎么用此模型來考慮焦耳熱的問題？13當(dāng)前第13頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)——設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，則電子氣系統(tǒng)的內(nèi)能密度為——每個電子具有3個自由度，每個自由度具有kBT/2的平均能量特魯?shù)履Ｐ蛯⒔饘僦械碾娮右曌鹘?jīng)典粒子。根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律：3）金屬的比熱電子氣的熱容：大多數(shù)金屬高溫下與晶格振動的貢獻(xiàn)相當(dāng)，這與實驗結(jié)果不符。14當(dāng)前第14頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

1904年，洛倫茲發(fā)展了該模型，將麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律引人，認(rèn)為電子速度服從麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計分布律。4）特魯?shù)履Ｐ偷陌l(fā)展：5）特魯?shù)履Ｐ偷某晒εc失敗成功之處：經(jīng)典的特魯?shù)隆鍌惼澴杂呻娮幽Ｐ蛷奈⒂^上定性的解釋了金屬的高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率、霍爾效應(yīng)以及某些光學(xué)性質(zhì)。15當(dāng)前第15頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)獲得的平均自由程和熱容與實驗結(jié)果嚴(yán)重不符，實驗上熱容僅是理論值的1%(電子參與導(dǎo)電過程，但對熱導(dǎo)好像沒有參與，為什么？）；在處理磁化率等問題上也遇到根本性的困難。不足之處：不足之處產(chǎn)生的原因分析經(jīng)典理論在微觀世界的不適用16當(dāng)前第16頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)量子力學(xué)對金屬中電子的處理

1926年費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計理論和量子力學(xué)建立，1928年，索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上，提出應(yīng)該利用量子力學(xué)原理去計算電子氣體的能量和動量，并由此考察金屬的一些特性。索末菲提出：電子在離子產(chǎn)生的平均勢場中運(yùn)動，電子氣體服從費(fèi)米—狄拉克分布和泡利不相容原理。并成功地計算了電子的熱容，解決了經(jīng)典理論的困難。17當(dāng)前第17頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)2．Sommerfeld的自由電子論

索末菲模型的基本假設(shè)：1）freeelectronapproximation2）independentapproximation3）價電子的能量分布服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計，稱為自由電子費(fèi)米氣體（freeelectronFermigas）4）不考慮電子和離子實的碰撞（nocollision）Drude經(jīng)典理想氣體Sommerfeld量子理想氣體18當(dāng)前第18頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)傳導(dǎo)電子在金屬中自由運(yùn)動，電子與電子之間有很強(qiáng)的排斥力，電子與離子實之間有很強(qiáng)的吸引力。Sommerfeld自由電子理論認(rèn)為把離子實的電荷抹散成一個正電荷背景(這樣周期勢場就不存在了)好象“凝膠”一樣。這種“凝膠”的作用純粹是為了補(bǔ)償傳導(dǎo)電子之間的排斥作用，以至于使得這些傳導(dǎo)電子不至于因為彼此之間很強(qiáng)的排斥作用而從金屬晶體中飛濺出去，這就相當(dāng)于“凝膠”模型。19當(dāng)前第19頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)電子在運(yùn)動中存在一定的散射機(jī)制（為什么要有散射機(jī)制？）。索末菲自由電子模型總結(jié)：電子在一無限深度的方勢阱中運(yùn)動，電子間的相互作用忽略不計；電子按能量的分布遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計；電子的填充滿足泡利（Pauli）不相容原理；（即金屬中的電子可以看作是被關(guān)在一個箱體中的自由電子）20當(dāng)前第20頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)§6.2能級和軌道密度21當(dāng)前第21頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)一、運(yùn)動方程及其解Y(r)：表示電子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)。V0：電子在勢阱底部所具有的勢能，取V0

＝0。（或者說是晶格平均場+其他電子的平均場）E：電子的本征能量令有1.自由電子定態(tài)薛定諤方程22當(dāng)前第22頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)方程的解：A：歸一化因子，由歸一化條件確定電子相應(yīng)于波函數(shù)Yk(r)的能量：V:金屬的體積

：電子平面波的波矢具有平面波的形式23當(dāng)前第23頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)因為波函數(shù)Y(r)同時也是動量算符的本征態(tài)，所以處于Y(r)態(tài)的電子有確定的動量，可以寫成相應(yīng)的速度為電子能量再現(xiàn)熟悉的經(jīng)典形式

：電子平面波的波矢，它的方向為平面波的傳播方向；它的取值需要由邊界條件確定?！?4當(dāng)前第24頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)波矢的取值問題經(jīng)典物理中平面波的波矢取值是任意的，但電子波矢的取值由邊界條件決定。固定邊界條件（駐波邊界條件）：波函數(shù)在金屬表面上任何點(diǎn)的值均為零，不利于討論輸運(yùn)性質(zhì)。周期性邊界條件（波恩—卡曼邊界條件）：首尾相接成環(huán)，既有有限尺寸又消除了邊界的存在。25當(dāng)前第25頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)2.邊界條件取整數(shù)(1)固定邊界條件方程的解應(yīng)由平面波形式改寫為：由以上邊界條件可得：26當(dāng)前第26頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)以一維情況為例，討論一下：當(dāng)波函數(shù)為正弦形式，并且從０到Ｌ的寬度是半波長的整數(shù)ｎ倍時，則以上邊界條件就能得到滿足。于是：n取正整數(shù)此邊界條件無法討論輸運(yùn)問題，故我們通常不采用27當(dāng)前第27頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)(2)周期性邊界條件以一維情況為例，28當(dāng)前第28頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

若在三個方向都用周期性邊界條件：

薛定鍔方程的解在三個方向都以L為周期重復(fù)，即：波矢取一系列分立值：此時29當(dāng)前第29頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金屬的體積有關(guān)在

空間中，波矢

的分布密度為每一個量子態(tài)在

空間中所占的體積為：每個波矢占據(jù)的體積為(2p/L)3(2π/L)330當(dāng)前第30頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)這就是電子的色散關(guān)系，能量隨波矢的變化是拋物線函數(shù)3、費(fèi)米面等概念（無限多的K，有限的電子如何填充的問題）31當(dāng)前第31頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)對于三維晶體，需要的量子數(shù)：

①波矢k（三個分量kx、ky、kz）

②自旋量子數(shù)

給定了就確定了能級，代表同能級上自旋相反的一對電子軌道。在波矢空間自由電子的等能面是一個球面，不同能量的等能面是一系列同心球面。32當(dāng)前第32頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

電子在T=0k時所能填充到的最高等能面稱為費(fèi)米面。自由電子的等能面是球面，在T=0k時，費(fèi)米面把電子填充過的軌道與電子未填充過的軌道完全分開了，即費(fèi)米面內(nèi)所有的軌道都被填充，費(fèi)米面外邊都是空軌道。這一點(diǎn)對金屬是非常重要的，因為只有費(fèi)米面附近的電子才能決定金屬的動力學(xué)性質(zhì)。33當(dāng)前第33頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)——費(fèi)米動量Fermimomentum——費(fèi)米速度Fermivelocity——費(fèi)米能Fermienergy——費(fèi)米溫度

Fermitemperature費(fèi)米球：費(fèi)米面包圍的體積，代表T=0k時電子填充

的全部軌道費(fèi)米波矢：費(fèi)米球的半徑（Fermiwavevector，kF）34當(dāng)前第34頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)三維時，每個波矢的體積為，每個波矢代表自旋相反的兩個軌道，費(fèi)米球的體積，則：(軌道數(shù)等于總電子數(shù))n：單位體積中的電子數(shù)（電子密度）

費(fèi)米波矢由電子氣的密度唯一地決定35當(dāng)前第35頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)費(fèi)米參量唯一決定于電子氣密度，電子氣的密度越大，各參量值越大。36當(dāng)前第36頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)如一些典型金屬的費(fèi)米面參數(shù)：

原子價金屬n(cm-3)kF(cm-1)VF(cm/s)EF(eV)

1Na2.65×10220.92×1081.07×1083.23

2Zn13.10×10221.57×1081.82×10810.90

3Al18.06×10221.75×1082.02×10811.63

37當(dāng)前第37頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)4、能態(tài)密度什么是能態(tài)密度？為什么要引入是能態(tài)密度？怎樣具體計算能態(tài)密度？能態(tài)密度說明什么物理問題？38當(dāng)前第38頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)1、什么是能態(tài)密度能量E附近，單位能量間隔內(nèi)的能態(tài)數(shù)目：單位頻率間隔內(nèi)的簡正模式的個數(shù)定義：聯(lián)想到什么？簡正模式密度：39當(dāng)前第39頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)聲子的總能量:2、為什么引入能態(tài)密度40當(dāng)前第40頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)自由電子在基態(tài)的總能量：41當(dāng)前第41頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)42E的球體中，能夠允許的電子能態(tài)總數(shù)為：對三維的金屬晶體來講:3、怎樣求解能態(tài)密度42當(dāng)前第42頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的，電子能量越高，能態(tài)密度就越大。結(jié)論:43當(dāng)前第43頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)同理：44當(dāng)前第44頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)4、能態(tài)密度說明的物理問題：一維情況：二維情況：三維情況：45當(dāng)前第45頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

納米線直徑小于1到2納米，也稱為超細(xì)納米線。制備困難，保存困難。

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)：1985年諾貝爾獎；分?jǐn)?shù)霍爾效應(yīng)：1998年諾貝爾獎；現(xiàn)在的石墨烯已經(jīng)是研究熱點(diǎn)。三維可以穩(wěn)定存在，研究的最為透徹。分析：一維不穩(wěn)定：二維性質(zhì)奇特：三維可以穩(wěn)定存在：46當(dāng)前第46頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)最主要的是費(fèi)米面附近的能態(tài)密度

將兩邊取對數(shù)得：

+常數(shù)

微商上式得：47當(dāng)前第47頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

費(fèi)米面附近的軌道密度近似等于總電子數(shù)除以費(fèi)米能：

48當(dāng)前第48頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)§6.3電子氣體的熱容49當(dāng)前第49頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)費(fèi)米-狄拉克(Fermi－Dirac)統(tǒng)計1.量子統(tǒng)計基礎(chǔ)知識經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計：量子統(tǒng)計：Fermi－Dirac統(tǒng)計和Bose－Einstein統(tǒng)計電子的分布函數(shù)費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n＋1/2）的粒子（如：電子、質(zhì)

子、中子等），費(fèi)米子遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計規(guī)

律，費(fèi)米子的填充滿足Pauli原理。玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等），

玻色子遵從Bose－Einstein統(tǒng)計規(guī)律，

玻色子不遵從Pauli原理。50當(dāng)前第50頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)電子的費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)：物理意義：理想電子氣體在溫度為T且處于熱平衡時，能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率?；瘜W(xué)勢是系統(tǒng)溫度和粒子（電子）數(shù)的函數(shù)，原則上可以由下式確定求和遍及系統(tǒng)所有可能的本征態(tài)。：電子的化學(xué)勢，其物理意義是在體積不變的情況下，系統(tǒng)增加一個電子時，系統(tǒng)自由能的增量。51當(dāng)前第51頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)2.T＝0K時電子的分布（根據(jù)泡利原理和能量最低原理）T＝0k時，電子的分布函數(shù)為f(E)={1EEF00E>EF0——費(fèi)米能52當(dāng)前第52頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為在E－E＋dE中的電子數(shù)為：T＝053當(dāng)前第53頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)——自由電子密度金屬：n：1022~1023cm－3EF0~幾個eV定義費(fèi)米溫度：物理意義：設(shè)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱振動能，相當(dāng)于多高溫度

下的振動能。54當(dāng)前第54頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)金屬：EF0~幾個eV

；

TF：

104~105K（遠(yuǎn)高于金屬熔點(diǎn)）9.988.60In16.4114.14Be12.0110.35Ga6.395.51Au13.4911.63Al6.365.48Ag8.667.46Cd8.127.00Cu10.909.39Zn1.831.58Cs4.243.65Ba2.151.85Rb4.583.95Sr2.462.12K5.434.68Ca3.753.23Na8.277.13Mg5.484.72LiTF

(104K)EF0

(eV)元素TF

(104K)EF0

(eV)元素一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度的計算值55當(dāng)前第55頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)T=0K時系統(tǒng)的總能量：T＝0能態(tài)密度56當(dāng)前第56頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)T=0時系統(tǒng)中每個電子的平均能量：上式表明，在絕對零度T=0時，自由電子氣系統(tǒng)中每個電子的平均能量與費(fèi)米能量EF0具有相同的量級，約為幾個電子伏特。而按照經(jīng)典自由電子氣體理論（特魯?shù)履Ｐ停?，金屬電子氣的平均能量可以根?jù)能量均分原理得到，應(yīng)該是3kBT/2，在絕對零度T=0時，電子的平均能量應(yīng)為0。之所以得到平均能量不為0的結(jié)果，是因為在索末菲自由電子模型中金屬電子氣必須服從費(fèi)米-狄拉克分布和滿足泡利不相容原理，即每個能級上只能容納兩個自旋方向相反的電子。因此，即使在絕對零度T=0時，所有的電子不可能都處在最低能級E=0上。57當(dāng)前第57頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)3.T>0K時電子的分布一般所謂基態(tài)是指N個電子的系統(tǒng)在絕對零度時的狀態(tài)。然而，隨著溫度的升高會發(fā)生什么情況呢？——Fermi－Dirac分布函數(shù)當(dāng)溫度升高時，電子氣的動能增加。這時，某些在絕對零度時原本空著的能級將被占據(jù)，而某些在絕對零度時被占據(jù)的能級將空出來。當(dāng)理想電子氣處于熱平衡時，由費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計分布得到的能量E的軌道被占據(jù)的概率為：58當(dāng)前第58頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)——Fermi－Dirac分布函數(shù)對于特定的問題，化學(xué)勢m應(yīng)該這樣選擇，使得能正確地算出系統(tǒng)中的電子的總數(shù)N。在T=0時，m=EF0，因為在T→0的極限下，化學(xué)勢m是占據(jù)態(tài)和非占據(jù)態(tài)的清晰分界面，如圖。1，當(dāng)E<時0,當(dāng)E>時在一切溫度下，當(dāng)E＝時，f()＝1/2，代表填充概率為1/2的能態(tài)。59當(dāng)前第59頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)以上條件下

，f(E)迅速趨于零當(dāng)E－

>幾個kBT時，exp{(E－)/kBT}>>1，F(xiàn)ermi－Dirac分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布E－

>幾個kBT的能態(tài)基本上是沒有電子占據(jù)的空態(tài)60當(dāng)前第60頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)－

E>幾個kBT時，exp{(E－)/kBT}<<1，f(E)1。

這表明，－

E>幾個kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。在室溫附近，kBT/

或kBT/EF0

0.01，分布函數(shù)和T=0K時的情形的差別，僅出現(xiàn)在與m非常接近的能級上的電子的分布：——一些電子被激發(fā)到E>m能級上;——在E<m的能級上留下一些空態(tài)。從以上分析中我們還可以知道，化學(xué)勢與T=0K時自由電子氣的費(fèi)米能級EF0

很接近，因此一般地，把化學(xué)勢m也稱為T≠0K時自由電子氣的費(fèi)米能級EF，所以在以下的討論中，我們將認(rèn)為EF=m。61當(dāng)前第61頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)對于金屬而言，T<<TF（或kBT<<EF

）總是成立的。雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米面附近的那一小部分。從下面的討論中，我們將可以看到正是這一小部分電子，對金屬比熱容有貢獻(xiàn)。62當(dāng)前第62頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)只有在費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子能夠吸收能量，因此只有這層電子對比熱有貢獻(xiàn)。由于泡利不相容原理，處于費(fèi)米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。63當(dāng)前第63頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

在T=0k時，電子氣充滿了費(fèi)米球內(nèi)的所有軌道，當(dāng)溫度T上升時，并不是費(fèi)米球內(nèi)的電子都受到熱激發(fā)。這是因為在每個k值上只能有自旋相反的兩個電子，由于泡利原理限制，熱激發(fā)(kBT)是低能激發(fā)，遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子不可能被激發(fā)(因為附近無空軌道)，只有費(fèi)米面以外才有空軌道，因此只有費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)，要激發(fā)遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子必須用高能激發(fā)(如光激發(fā)等)，而kBT?F，所以遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子是凍結(jié)的。

按Sommerfeld的自由電子模型，電子氣服從費(fèi)米統(tǒng)計規(guī)律及泡利原理。64當(dāng)前第64頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)四、結(jié)果與討論（粗略的數(shù)量級估算）1.電子熱容量對于金屬，當(dāng)T>0K時，只有在費(fèi)米面附近幾個kBT的電子受熱激發(fā)，對電子熱容量的貢獻(xiàn)主要來自費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子。在E－EF2kBT中的電子數(shù)為這里，考慮T>0K時費(fèi)米能級EF與T=0K時的費(fèi)米能級EF0之間存在一定的差異，但從下面的討論結(jié)果我們將會看到EF≈EF0。65當(dāng)前第65頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)根據(jù)能量均分定律，每個電子熱運(yùn)動的平均能量：由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得（或增加）的能量為66當(dāng)前第66頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)電子熱容量為：我們知道常溫下，CL3NkB；由于T<<TF，所以Ce<<CL，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻(xiàn)。67當(dāng)前第67頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)考慮自由電子的費(fèi)米分布與泡利不相容原理后，用這樣一個定性的模型解釋了熱容與經(jīng)典理論的差別與矛盾，由此可看到費(fèi)米面的重要性。經(jīng)典理論中（特魯?shù)履Ｐ?考慮量子效應(yīng)后，從結(jié)果分析：68當(dāng)前第68頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

下面再從定量的角度來計算電子氣的熱容，在T=0k時：

能量ε＜εF時，f(ε.T)=1

ε＞εF時，f(ε.T)=0

基態(tài)下電子氣的總能量：

當(dāng)溫度升高到TK時電子氣的總能量：

這兩個能量之差就是電子氣溫度升高時的熱能。

69當(dāng)前第69頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

當(dāng)溫度T升高時，隨溫度變化比較大是在費(fèi)米面附近，在遠(yuǎn)離費(fèi)米面的地方，隨溫度的變化很小。

總電子數(shù)：dε=常數(shù)

（不隨溫度變化）

dε=常數(shù)70當(dāng)前第70頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)即：

又

再加上一項等于零的積分對Cel無影響

則：

71當(dāng)前第71頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

上式表示只在費(fèi)米面附近求積分，若把D(ε)換成D(εF)，即只考慮費(fèi)米面附近的軌道密度，則：

又

μ是溫度的函數(shù)，當(dāng)T?TF時，μ近似等于εF，由此引起的誤差在T/TF的二次方的數(shù)量級。

72當(dāng)前第72頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)73當(dāng)前第73頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)74當(dāng)前第74頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)金屬的熱容應(yīng)是兩部分熱容之和，既自由電子費(fèi)米氣與點(diǎn)陣對熱容的貢獻(xiàn)之和，低溫下電子氣的熱容Cel∝T，

而點(diǎn)陣對Cv的貢獻(xiàn)為：

75當(dāng)前第75頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

在室溫下電子氣對熱容的貢獻(xiàn)小的可以忽略，但在低溫下電子氣的熱容就顯示出來了，低溫下C=γT+AT3或C/T=γ+AT2，由C/TT2的直線關(guān)系，由截距可求出γ，斜率可決定A，由實驗直線可定出這兩個常數(shù)。

而

由此可求出γ理論值，但γ理論值與γ觀測值的差別很大。

76當(dāng)前第76頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)實驗值77當(dāng)前第77頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

按照近代固體理論，晶體中的電子與真空中的自由電子不同，不再是一個基本粒子，而是一個準(zhǔn)粒子，把晶體中的電子與周圍的互作用看作一個整體，晶體中的電子就好象一個穿了衣服的電子一樣。78當(dāng)前第78頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

電子與周圍環(huán)境的互作用主要有：

<1>電子與原子實周期點(diǎn)陣的互作用。

電子在周期勢場中運(yùn)動，周期勢場的作用改變了電子的質(zhì)量，稱有能帶有效質(zhì)量。

79當(dāng)前第79頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)<2>電子與聲子的互作用

原子實在平衡位置作小振動，電子運(yùn)動到原子實附近時，由于電子與原子實之間的庫侖作用要干擾原子實的振動，這種互作用可用一種畸變勢來描寫，電子要改變離子實的勢場而運(yùn)動。

80當(dāng)前第80頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)<3>電子與電子的互作用

在稠密電子氣中，電子間有很強(qiáng)的庫侖排斥作用，不論電子運(yùn)動到什么地方都存在這種互作用，這樣一種互作用也可考慮到電子質(zhì)量的改變中。

81當(dāng)前第81頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)§6.4電導(dǎo)與歐姆定律82當(dāng)前第82頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

1.電導(dǎo)率

在基態(tài)下，自由電子填充了費(fèi)米球的所有軌道，即邊界條件允許的每個k值上都分布了自旋相反的兩個電子，當(dāng)溫度升高時，費(fèi)米面附近的電子要被熱激發(fā)，在無外電場時，在波矢空間費(fèi)米球內(nèi)的k的分布是對稱的，有一個波矢為k的電子，就有一個波矢為-k的電子，或者說有一個速度為V的電子，就有一個速度為-V的電子(有中心反演對稱性),所以整個費(fèi)米球內(nèi)的電子的平均速度為零，對電流無貢獻(xiàn),無外電場時就沒有電流。

83當(dāng)前第83頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)在恒定電場作用下，費(fèi)米球中的所有軌道上的電子都會受到電場力的作用，這個力會使波矢發(fā)生變化，，由于費(fèi)米球內(nèi)的所有電子的波矢都發(fā)生了變化，而且由于外加恒定電場，變化率都相同，因而費(fèi)米球就以一定的速度在波矢空間漂移，其運(yùn)動方向與電子運(yùn)動方向相反，球心離開了原點(diǎn)，在恒定電場下，費(fèi)米球就以恒定速度漂移下去。84當(dāng)前第84頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)85當(dāng)前第85頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

反映在真實空間中，是每個電子的動量發(fā)生了變化,但是恒定的，電子是作勻加速運(yùn)動，即單位時間內(nèi)電子的速度變化率是相同的，電子的運(yùn)動速度越來越快。在恒定電場作用下就不會有恒定電流，而是電流就會越來越大，這是與事實不符合的。86當(dāng)前第86頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

我們必須考慮碰撞機(jī)制，電子與聲子及雜質(zhì)缺陷的碰撞。正是由于這種碰撞使得電子的附加動量有所減小，才能抑制費(fèi)米球的漂移，當(dāng)這種碰撞消耗的動量與費(fèi)米球漂移速度增大的積累相平衡時，費(fèi)米球?qū)⒉辉倨啤?/p>

87當(dāng)前第87頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

即

（等號右邊為單位時間內(nèi)耗散的動量）

τ---弛豫時間，-eE為定向運(yùn)動動量的積累(相當(dāng)于球心的位移),單位時間內(nèi)耗散的動量為hδk/τ,當(dāng)兩項動量變化相等時,費(fèi)米球就不動了。

88當(dāng)前第88頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)電子的漂移速度為：

電子對電流的貢獻(xiàn)：

（n是電子氣密度）

（這就是歐姆定律），相應(yīng)的電子氣的電導(dǎo)率：

（此處的m*為電子的有效質(zhì)量）。89當(dāng)前第89頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

從這里我們可以看到在其它條件不變的情況下σ隨n增大而增大，這是合理的，因為濃度n增大，載流子的數(shù)目就增多。電導(dǎo)率σ與m*成反比也在預(yù)料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越難于加速。σ與τ成正比，是因為τ實際是連續(xù)兩次碰撞的時間間隔，即平均自由壽命，所以τ越大，電子在兩次碰撞間被電場加速的時間越長，因而漂移速度越大，σ也就越大。

90當(dāng)前第90頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

電子有兩種不同性質(zhì)的速度，一種是電子在外加電場中的定向運(yùn)動速度，稱為漂移速度，另一個是無規(guī)運(yùn)動速度，是由于電子的無規(guī)運(yùn)動引起的，即使沒有外電場，電子也仍象普通氣體分子那樣作無規(guī)則運(yùn)動，電子到處亂動，并不斷被散射而改變運(yùn)動方向，這種運(yùn)動在電場中也照樣存在，它不會對電流有所貢獻(xiàn)，但有外場存在時，有一個與外電場反向的凈附加速度，這個速度是疊加在無規(guī)運(yùn)動速度之上的，電子無規(guī)運(yùn)動的速度比漂移速度要大。91當(dāng)前第91頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

決定金屬中電子運(yùn)動平均自由程的有三種機(jī)制：

（1）樣品中雜質(zhì)缺陷對電子的散射。

（2）電子與聲子的碰撞，既電子受格波的散射，嚴(yán)格的周期勢場是不散射電子的，只有周期場遭到破壞時才產(chǎn)生對電子的散射，這種碰撞依賴于溫度，隨溫度的升高，碰撞幾率增大。

（3）電子與電子的碰撞，由于泡利原理的限制，這種幾率較小。

92當(dāng)前第92頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

2.弛豫時間的起源

我們曾引入τ作為兩次碰撞之間的弛豫時間，但未曾討論過它的起源，由周期結(jié)構(gòu)中的波動理論，當(dāng)電子波通過周期性的晶格時，將沒有散射，除非周期性遭到破壞，布喇格條件被滿足，因此規(guī)則晶格內(nèi)電子波是不會被散射的，電子在晶體中的碰撞只能是同聲子與雜質(zhì)原子或缺陷之間的碰撞，正因為如此，弛豫時間τ也就是電子與聲子等碰撞的時間間隔。

93當(dāng)前第93頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)3.金屬的實驗電阻率

引入電子與雜質(zhì)碰撞的弛豫時間τi，電子與熱聲子的碰撞弛豫時間τl,則1/τi與1/τl分別表示電子與雜質(zhì)、電子與熱聲子碰撞的幾率，那么電子與雜質(zhì)碰撞、電子與熱聲子碰撞對電阻率的貢獻(xiàn)分別為：

兩種機(jī)制彼此獨(dú)立時總的散射幾率為：

對電阻率的總貢獻(xiàn)為：ρ=ρi+ρl

這就是馬提生（Matthissen`srule）定則。94當(dāng)前第94頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)根據(jù)馬提生定則，金屬的電阻率應(yīng)是溫度T的函數(shù)：ρ(T)=ρi+ρl

作ρ-T曲線，外推到T=0K，此時ρl=0，則可得純粹由樣品的雜質(zhì)決定的電阻率，稱為剩余電阻率，它是一個結(jié)構(gòu)敏感量，是表征著樣品純度(或完美性)的特征量。

95當(dāng)前第95頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

通常對金屬來說由于熱聲子散射導(dǎo)致的電阻率有一個經(jīng)驗公式：

當(dāng)T?θR時，f1，ρl

T，即ρl與溫度成正比，溫度升高時，聲子密度增加，碰撞幾率增加，∴ρ增加。

但當(dāng)T?θR時，，熱聲子的電阻率ρl

T5。

96當(dāng)前第96頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)§6.5電子在電磁場中的運(yùn)動97當(dāng)前第97頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

1.漂移速度方程

由于外力，使電子獲得定向運(yùn)動的動量，，電子與聲子及雜質(zhì)原子間的碰撞可考慮成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使單位時間內(nèi)定向運(yùn)動動量的改變(摩擦力為f=p/τ)：

而在外加電磁場作用下：

這就是外加電磁場作用下電子的漂移速度方程。98當(dāng)前第98頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

若設(shè)磁場B的方向沿Z軸方向，漂移速度方程的三個分量的方程式為：

99當(dāng)前第99頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)

若外電場是一個靜電場E，外磁場是一個靜磁場B，E、B不隨時間而變化，則dv/dt=0，既過程達(dá)到穩(wěn)定時，電子的速度也不隨時間變化，則：

其中稱為回旋頻率。

100當(dāng)前第100頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)2.霍耳效應(yīng)

由上面的漂移速度方程我們能討論霍耳效應(yīng)，如下圖：若一晶體上沿x方向有一電流，此時在z方向加一磁場電子受洛侖磁力作用而向-y方向偏移，偏移的結(jié)果使樣品邊界上有電荷積累，產(chǎn)生了一個－y方向的電場，這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)，產(chǎn)生的這個電場稱為霍耳電場，它阻止電子向-y方向偏移，若霍耳電場力與洛侖磁力達(dá)到平衡時，電子就不再偏移，達(dá)到平衡時Vy=0(在金屬中不形成電流),此時：

101當(dāng)前第101頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)102當(dāng)前第102頁\共有116頁\編于星期日\13點(diǎn)由此可