求生必備知識

求生必備知識第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三第1章插值方法

插值法是一種古老的數學方法。早在1000多年前，我國歷法上已經記載了應用一次插值和二次插值的實例。 拉格朗日（Lagrange）、牛頓（Newton）、埃特金（Aitken）分別給出了不同的解決方法。

第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.1拉格朗日插值公式

1.2牛頓插值公式

1.3埃特金插值公式1.4存在惟一性定理1.5插值余項1.6分段三次埃爾米特插值

1.7三次樣條插值1.8

應用實例第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.1拉格朗日插值公式

拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下統(tǒng)稱為Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的構造問題轉化為n+1個插值基函數li(x)(i=0,1,…,n)的構造。

第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1－1插值多項式

第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

1.n=1的情況已知函數y=f(x)在點x0,x1上的值為y0,y1，要求多項式y(tǒng)=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其幾何意義，就是通過兩點A(x0,y0),B(x1,y1)的一條直線，如圖1－2所示。

第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1－2一次插值多項式

第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1

顯然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1

(1.1)其中第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三我們稱l0(x)為點x0的一次插值基函數，l1(x)為點x1的一次插值基函數。它們在對應的插值點上取值為1，而在另外的插值點上取值為0。插值函數p1(x)是這兩個插值基函數的線性組合，其組合系數就是對應點上的函數值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。

第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

2.n=2的情況線性插值只利用兩對值(x0,y0)及(x1,y1)求得y=f(x)的近似值，誤差較大。

p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2

p2(x)是x的二次函數，稱為二次插值多項式。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

3.一般情況 我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式p1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式p2(x)。當插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式pn(x)，如下所示：第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.2牛頓插值公式

xf(x)一階差商二階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)差商表第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三Newton插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,…,n。y=y0,t=1。forj=1,…,n

do t=t*(x-xj-1)for

i=0,…,n-j

doendy=y+y0*tendoutput

(x,y),(xi,yi),i=0,1,…,n。

第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

Newton插值算法中的j循環(huán)由三部分組成：計算(x-xj)的累積，存入t單元；內套一個i循環(huán)用來依次計算差商表中的各階差商，存入yi單元；y單元用于存放Newton公式中各項累加之和。

第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例3］已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的Newton插值多項式。解：

設x0=-1,x1=1,x2=2,則第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.3埃特金插值公式

埃特金(Aitken)插值公式(以下統(tǒng)稱為Aitken插值公式)的構造是基于這樣的直觀想象：平面上的兩個點可以連成一條直線,對應一個線性函數；把線性函數看作形式點,經線性組合,可構成二次函數；把二次函數再看作形式點,經線性組合,可構成三次函數。

第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三xf(x)

x0f(x0)

x1f(x1)P0,1(x)

x2f(x2)P0,2(x)P0,1,2(x)

x3f(x3)P0,3(x)P0,1,3(x)P0,1,2,3(x)Aitken插值表第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三 從Aitken插值公式向算法轉化要考慮的問題是：

(1)插值公式右端n-1次多項式應如何處理；

(2)插值表中的元素應設置多少個存儲單元；

(3)

插值表中第k列第i行元素的計算公式。

第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三 Aitken插值算法如下： input

x,(xi,yi),i=0,1,…,n 1

kL：

for

i=k,k+1,…,n

do end ifk≠nthenk+1k,gotoL ifk=n,outputyn

第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

Aitken插值算法為二重循環(huán)。外循環(huán)為k循環(huán)，用于計算Aitken插值表中的第k列；內循環(huán)為i循環(huán)，用于計算Aitken插值表中的第k列中的第i個元素。

第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

［例4］已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多項式。解：設x0=-1,x1=1,x2=2第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三xf(x)-121121例4的Aitken插值表第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.4存在惟一性定理

Lagrange插值公式、Newton和Aitken插值多項式是同一個函數。事實上,我們有以下一個定理。

定理1有惟一的n次多項式pn(x)，滿足條件：

pn(xi)=yi

(i=0,1,…,n) （1.3）

第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.5插值余項

定理2若f(x)在包含著插值節(jié)點x0,x1,…,xn的區(qū)間［a,b］上n+1次可微分,則對任意x,x∈［a,b］,有與x有關的ξ(a<ξ<b)存在,使得其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例５］設f(x)=lnx,并假定已給出值表試近似計算ln(0.6)的值，并指出精度。解：利用3次Lagrange插值公式,簡單計算過程如下：

值表x0.40.50.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三綜合上述,我們有 真值：ln(0.6)=-0.510826， 近似值：p3(0.6)=-0.509975，真誤差：ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851， 估計的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)|<0.00391第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三［例６］給定

(x∈［-5,5］)。取等距節(jié)點xi=-5+i(i=0,1,…,10),試建立插值多項式L10(x),并作圖形,觀察L10(x)對f(x)的逼近效果。第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-3例6的圖形第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.6分段三次埃爾米特插值

為了避免Runge現象的發(fā)生,我們很自然地會想到把區(qū)間［-5,5］等分為10個小區(qū)間,在每一個小區(qū)間內應用低次插值。但由于每個小區(qū)間只有兩個端點（插值節(jié)點）,按照我們已知的方法,得到的將是一個分段線性插值函數。

第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三已知xi,f(xi),f'(xi)(i=0,1,…,n),求分段三次插值函數H(x)滿足H(xi)=f(xi),H'(xi)=f'(xi) (i=0,1,…,n)

為了得到插值函數,考慮任意子區(qū)間［xi,xi+1］,i∈(0,1,…,n-1),采用Lagrange插值函數結構,在第i個子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f'(xi)h3(x)+f'(xi+1)h4(x)這樣，就把H(x)的構造問題轉化為四個插值基函數hk(x)(k=1,2,3,4)的構造問題。

第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.7三次樣條插值

“樣條”這個詞本來是指在飛機或輪船設計過程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一個具有彈性的細長木條。事實上，在作了某些近似簡化后，樣條的數學模型并不復雜，它只是分段的三次多項式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。

第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三定義

給定［a,b］的分劃：a=x0<x1<…<xn=b,如果函數s(x)在區(qū)間［a,b］上滿足以下條件：

（1）在每一個子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1)上s(x)是三次多項式；（2）

s(x)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導數；

（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n),s'(x0)=y'0,s′(xn)=y'n。我們就稱s(x)為三次樣條函數。

第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三1.8

應用實例

［例9］

要在程控銑床上加工直升飛機的旋轉機翼，外形的截面形狀見圖1-4。外形頭部有一段圓弧B1B2，圓的半徑R=6.92mm，tanα=0.305,B1,B2的坐標為B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上輪廓線18個點的坐標如表1-8所示。旋轉機翼外形截面圖如圖1-4所示。由于圖中有些點很密，所