高考創(chuàng)新題的解法(續(xù))2

高考創(chuàng)新題的解法（續(xù)）以此類推f(n)=f(n1)+,于是累加得f(n)===。所以答案應(yīng)填10；.點(diǎn)評(píng)將數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和融合到2006年4月24至5月1日舉行的世乒賽這一實(shí)際情景當(dāng)中，重點(diǎn)考察累加法求通項(xiàng)公式和常規(guī)數(shù)列的求和，此外觀察分析數(shù)據(jù)的能力也是本題考查的一個(gè)重要方面。當(dāng)然要順利解出此題，個(gè)人的空間想象能力也是一個(gè)非常重要的方面，要求考生在頭腦中能清晰建立起“堆成正三棱錐”這一空間模型，并要注意相鄰兩堆個(gè)數(shù)變化的根本原因.2.若、，(1)求證：；(2)令，寫(xiě)出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.講解(1)采用反證法.若，即,解得從而與題設(shè),相矛盾，故成立.(2)、、、、,.（3）因?yàn)橛?所以,因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、.3.觀察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，寫(xiě)出一個(gè)與以上兩式規(guī)律相同的一個(gè)等式.答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=四、類比型類比在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的作用。類比推理可用如下圖式描述：根據(jù)其中分別與相同或相似，推論：B類對(duì)象也具有與d相同或相似的屬性d'。這種題目的特點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)學(xué)情境或一個(gè)數(shù)學(xué)命題，要求解題者發(fā)散思維去聯(lián)想，類比，推廣，轉(zhuǎn)化，找出類似的命題，推廣的命題，深入的命題.常用的類比有：1、平面與空間的類比1.（2002年上海春季高考）如下圖．若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)與點(diǎn)，則三角形面積之比．若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，則類似的結(jié)論為：______________________________．把立體幾何知識(shí)與相關(guān)的平面幾何知識(shí)類比，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。如，關(guān)于勾股定理，可有幾個(gè)類比：勾股定理：在直角邊長(zhǎng)為a,b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形中，有類比1：長(zhǎng)、寬、高分別為p,q,r,對(duì)角線長(zhǎng)為d的長(zhǎng)方體中，有類比2：長(zhǎng)方體交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)長(zhǎng)方形面的對(duì)角線長(zhǎng)分別為p,q,r,長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為d，則有類比3：四面體交于一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個(gè)面的面積分別為A，B，C，與O相對(duì)的面的面積為D，則有：我們知道正三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)。分別從三條邊相等與三個(gè)角相等類比，“在各邊相同的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”和“在各角相等的凸多邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到各邊距離之和為常數(shù)”?？梢宰C明這兩個(gè)命題都是正確的（利用面積法證明）。在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.”提醒：關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比：多面體多邊形；面邊體積面積；二面角平面角面積線段長(zhǎng)；……2.同類之間類比（橢圓與雙曲線類比）2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=，則{bn}也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn>0，數(shù)列{dn}滿足dn=，則數(shù)列{dn}也為等比數(shù)列.答案：dn=（n∈N*）3.（2000年上海市高考試題）在等差數(shù)列{an}中，若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N+)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式__________________成立．4.有對(duì)稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線.過(guò)有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）. 定理：過(guò)圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1.（Ⅰ）寫(xiě)出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明； （Ⅱ）寫(xiě)出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論.解：（Ⅰ）設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B,由橢圓的對(duì)稱性可得,A、B關(guān)于中心O（0,0）對(duì)稱,所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（,B（.P（上橢圓上任意一點(diǎn),顯然,因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)都在橢圓上,所以有,①,②.而,由①－②得：，使成等比數(shù)列. 等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類,極易忘記公比4.已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值； (3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試問(wèn):是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫(xiě)出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說(shuō)明理由. 故存在關(guān)于n的整式使等式對(duì)于一切不小2的自然數(shù)n恒成立. 事實(shí)上,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,你知道嗎？六、解題策略開(kāi)放型1．（2006上海）三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路．甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”．丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù),作出函數(shù)圖像”．參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論,即a的取值范圍是．思路分析:采用乙說(shuō)的思路.∵x∈[1,12],∴原題等價(jià)于x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恒成立.下面求函數(shù)y=x++|x2－5x|的最小值.∵x+≥10(當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈[1,12]時(shí),取最小值10)且∵|x2－5x|≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),取最小值0),∴當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí),函數(shù)y=x++|x2－5x|取最小值10.從而原題所求a的取值范圍是(－∞,10].點(diǎn)評(píng)在傳統(tǒng)的求參數(shù)的取值范圍的基礎(chǔ)上糅合三位同學(xué)的說(shuō)法，貼近生活，既考查了明辨是非的能力，也為該題本身降低了難度。知道為什么不采用另外兩條思路嗎？就甲說(shuō)的而言,能否在x取同一值時(shí)取得最值值得討論；就丙說(shuō)的而言,要準(zhǔn)確無(wú)誤作出函數(shù)y=x2＋25＋|x3－5x2|的圖像比較困難；只有乙說(shuō)的是常規(guī)思路,但如果觀察不出x+與|x2－5x|在同一處取得最小值這一細(xì)節(jié),求解過(guò)程也會(huì)很復(fù)雜.2.若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是___________________（只需寫(xiě)出一個(gè)可能的值）． 講解：本題為策略開(kāi)放題，過(guò)程需學(xué)生自己設(shè)計(jì)．由于四面體的棱長(zhǎng)未一一給出，首先需探求和設(shè)計(jì)符合題意的幾何圖形，再按圖索驥，得出結(jié)論．本題只要求寫(xiě)出一個(gè)可能的值，所以，我們可以盡量構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單、易求值的圖形．如：底面為邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2．不難算得，此時(shí)體積為．作為本題的延伸，我們可以考慮所有符合題意的圖形．由于三角形的兩邊之長(zhǎng)大于第三邊，所以，組成四面體各個(gè)面的三角形中，或者只有一邊長(zhǎng)為1，或者3邊長(zhǎng)全為1．如果這些三角形中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則將其作為