軸對稱專題-婆羅摩笈多模型 中考數(shù)學復(fù)習

2/2軸對稱專題—婆羅摩笈多模型中考數(shù)學復(fù)習1．向外作正方形與，過作的垂線，為垂足，與交于點．求證：．2．如圖：分別以的邊、為邊，向三角形的外側(cè)作正方形和正方形，為上的高，延長交于點，求證：為的中點．

3．【感知】如圖1，在四邊形中，，點在邊上，且滿足是等腰直角三角形，．求證：．【探究】如圖2，在四邊形中，，點在邊上，且滿足是等腰直角三角形，，點在邊的延長線上，連接，以為直角邊作等腰，過點作，垂足為，連接交于點．求證：．【拓展】如圖3，點在四邊形內(nèi)，，且，，過點作交于點，使，延長交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

4．（1）如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，，，垂足分別為點、．證明：①；②．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點，求證：是的中點．

5．以的兩邊、為邊，向外作正方形和正方形，連接，過點作于，延長交于點．（1）如圖①，若，，易證：；（2）如圖②，；如圖③，，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

6．我們定義：如圖1、圖2、圖3，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當時，我們稱△是的“旋補三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補中線”，點叫做“旋補中心”．圖1、圖2、圖3中的△均是的“旋補三角形”．（1）①如圖2，當為等邊三角形時，“旋補中線”與的數(shù)量關(guān)系為：；②如圖3，當，時，則“旋補中線”長為．（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想“旋補中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

7．我們定義：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當時，我們稱△是的“旋補三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補中線”．特例感知（1）在圖2，圖3中，△是的“旋補三角形”，是的“旋補中線”．①如圖2，當為等邊三角形，且時，則長為．②如圖3，當，且時，則長為．猜想論證（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長或延長，拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊，連接，．若是的“旋補三角形”，請直接寫出的“旋補中線”長及四邊形的邊長．

8．已知：和均為等腰直角三角形，．連接，，點為中點，連接．（1）如圖1所示，易證：且（2）將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2，圖3所示位置時，線段與又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個圖形證明你的結(jié)論．

9．小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當時，請問△邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗證：（1）①如圖2，當為等邊三角形時，與的數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，當，時，則長為．猜想論證：（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請畫出點的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．

10．我們定義：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)并縮短一半得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)并縮短一半得到，連接．當時，我們稱△是的“旋半三角形”，△邊上的中線叫做的“旋半中線”，點叫做“旋半中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△是的“旋半三角形”，是的“旋半中線”．①如圖2，當為等邊三角形時，與的數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，當，時，則長為．猜想論證：（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在平面直角坐標系中，的坐標分別是，，，△是的“旋半三角形”，是的“旋半中線”，連接，求的最大值是多少？并請直接寫出當最大時點的坐標．答案版：1．【解答】證明：作交延長線于，連接，，，，，，，，在和中，，，，，，，，是平行四邊形，，．2．【解答】解：過點作的延長線于，過點作于，如圖所示：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，，為的中點．3．【解答】【感知】證明：是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；【探究】證明：由感知可知，，，，，，，，在和中，，，；【拓展】解：，理由如下：在的延長線上取點，使，在上取點，使，連接、，，，，，在和中，，，，，同理可得，，，，，，，，在和中，，，，．4．【解答】（1）證明：①直線，直線，，，，，；②在和中，，，，，；（2）解：成立：．證明如下：，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，過作于，的延長線于，，由（1）和（2）的結(jié)論可知，，在和中，，，，是的中點．5．【解答】解：（1）證明：，，，，，，同理，，四邊形和四邊形為正方形，，．（2）如圖1，時，（1）中結(jié)論成立．理由：過點作交的延長線于，過點作于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，．如圖2，時，（1）中結(jié)論成立．理由：過點作交的延長線于，過點作于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，在和中，，，．6．【解答】解：（1）①如圖2中，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為．②如圖3中，，，，，，△，，，，故答案為4．（2）結(jié)論：．理由：如圖1中，延長到，使得，連接，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，△，，．7．【解答】解：（1）①如圖2中，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為3．②如圖3中，，，，，，△，，，，故答案為3.5．（2）結(jié)論：．理由：如圖1中，延長到，使得，連接，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，△，，．（3）如圖4中，過點作于，取的中點，連接．是等邊三角形，，，，，是的“旋補三角形”，，，，，，，，，，的“旋補中線”長，，，也是的“旋補三角形”，．8．【解答】（1）證明：如圖1中，與為等腰直角三角形，，，，在與中，，，，，點為線段的中點，，，又因為，所以，所以（2）解：①結(jié)論：，，如圖2中，延長到，使得，連接，，，，，，，，，，在和中，，由，知，．②如圖3中，結(jié)論不變．延長到，使得，連接，延長交于．，，，，，，，，，，，在和中，由，知，．9．【解答】解：（1）①是等邊三角形，，，，，，，，，，故答案為：；②，，，，在和△中，，△，，，，故答案為：4；（2）與的數(shù)量關(guān)系：；理由如下：延長到，使得，連接、，如圖1所示：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在和△中，，△，，；（3）存在；作于，作線段的垂直平分線交于，即為點的位置；理由如下：延長交的延長線于，線段的垂直平分線交于，連接、、，作的中線，連接交于，如圖4所示：，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，是線段的垂直平分線，，，在中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，，，，與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系；在中，，，，．10．【解答】解：（1）①如圖2中，是等邊三角