新高考數(shù)學(xué)必會基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)44 雙曲線（學(xué)生版）

考點(diǎn)44雙曲線知識理解知識理解一．雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．二.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，焦點(diǎn)隨著正的跑”.三．雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：x軸，y軸對稱中心：(0,0)對稱軸：x軸，y軸對稱中心：(0,0)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長A1A2＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)四．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．考向分析考向一雙曲線的定義考向分析【例1-1】(2021·浙江省德清縣第三中學(xué))已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，若點(diǎn)在的右支上，且，則()A．3 B．5 C． D．【例1-2】．(2020·河北張家口市)已知，動點(diǎn)P滿足，當(dāng)分別為4和12時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為()A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【例1-3】．(2021·全國課時(shí)練習(xí))已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|·|PF2|等于________.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】雙曲線定義(1)根據(jù)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離的差判斷動點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線．(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值問題、距離問題．(3)利用雙曲線的定義解決問題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對值；②2a<|F1F2|；③焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．【舉一反三】1．(2021·上海普陀區(qū))設(shè)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則()A．4 B．5 C．8 D．102．(2021·上海市)已知兩點(diǎn)和，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線 C．一條射線 D．雙曲線的右支3．(2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考)在平面直角坐標(biāo)系中，，，()，若點(diǎn)的軌跡為雙曲線，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．(2021·全國高三專題練習(xí))已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則的面積為____________考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】(2021·福建龍巖市)“”是“方程表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2-2】．(2021·全國課時(shí)練習(xí))過點(diǎn)(1,1)，且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B．C． D．或【舉一反三】1．(2021·海原縣第一中學(xué))根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在軸上，離心率，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，，焦點(diǎn)在軸上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．(2021·浙江)已知曲線，()A．若E表示雙曲線，則 B．若，則E表示雙曲線C．若E表示橢圓，則 D．若且，則E表示橢圓3．(2021·江蘇南通市)命題“”是命題“曲線表示雙曲線”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件考向三直線與曲線的位置關(guān)系【例3】(2021·全國課時(shí)練習(xí))若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【舉一反三】1．(2021·徐匯區(qū)·上海中學(xué))已知直線與雙曲線，則為何值時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)？2．(2021·江蘇南通市)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值有()個(gè)A． B． C． D．3．(2021·陜西寶雞市)如果直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則符合條件的直線有()A．1條 B．2條 C．3條 D．4條考向四弦長【例4】(2020·全國高三專題練習(xí))直線x＋y＝1與雙曲線4x2－y2＝1相交所得弦長為()A． B． C． D．【舉一反三】1．(2020·遼寧朝陽市·高三月考)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為，，則()A．2 B． C．4 D．2．(2021·全國高三專題練習(xí))過點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝()A．2 B．2C．3 D．4考向五離心率與漸近線【例5】(2021·浙江湖州市)雙曲線的離心率是_______，漸近線方程是_______．(兩條都寫出)【舉一反三】1．(2021·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué))雙曲線的漸近線方程是___________；離心率為___________.2．(2021·湖北高三一模)已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為___________.3．(2020·河北張家口市)已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_____________.強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)1．(2021·甘肅高三一模(文))設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的面積等于()A． B． C． D．2．(2021·甘肅蘭州市·高三其他模擬(文))點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的一條漸進(jìn)方程是()A． B． C． D．3．(2021·云南高三其他模擬(理))設(shè)雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，若為右支上的一點(diǎn)，且，則()A． B． C．2 D．4．(2021·江西贛州市·高三期末(理))已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為()A．1 B． C． D．1或5．(2021·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校)已知方程的圖像是雙曲線，那么k的取值范圍是()A． B． C．或 D．6．(2021·陜西省黃陵縣中學(xué))若方程表示雙曲線，則的取值范圍是()A．或 B．C．或 D．7．(2021·全國單元測試)焦距為10，且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B．C． D．或8．(2021·江西上)已知橢圓的長軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則雙曲線的方程為()A． B．C． D．9．(2021·安徽)已知雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，則的漸近線方程為()A． B．C． D．10．(2021·安徽淮南市)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，焦距為4，且一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B． C． D．11．(2021·寧夏銀川市·銀川一中)已知兩定點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)P到的距離之差的絕對值是6，則該曲線的方程為()A． B． C． D．12．(2021·全國高三月考(理))已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且該雙曲線的離心率是，則()A． B． C． D．13．(2021·全國高三月考(文))若雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．14．(2021·浙江高三其他模擬)已知雙曲線的焦距為10，則雙曲線的漸近線方程為()A． B． C． D．15．(2021·湖北黃石市·黃石二中)已知直線的方程為，雙曲線的方程為.若直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．16．(2020·全國高三專題練習(xí))過點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()條．A．1 B．2 C．3 D．417．(多選)(2020·江蘇)關(guān)于、的方程(其中)對應(yīng)的曲線可能是()A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 D．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線18．(多選)(2021·廣東東莞市)已知曲線，則下列選項(xiàng)正確的是()A．，曲線表示橢圓B．，曲線表示橢圓C．，曲線表示雙曲線D．，曲線表示雙曲線19．(多選)(2021·福建漳州市·龍海二中高三月考)已知直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線離心率可能為()A． B． C． D．20．(多選)(2020·武岡市第二中學(xué))已知直線過點(diǎn)，且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線的方程可能為()A． B．C． D．21．(2021·全國高三專題練習(xí))已知雙曲線的離心率為，則()A．的焦點(diǎn)在軸上 B．的虛軸長為2C．直線與相交的弦長為1 D．的漸近線方程為22．(2021·廣西玉林市)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)關(guān)于，對稱的點(diǎn)分別是，，線段的中點(diǎn)在雙曲線的右支上，則___________.23．(2021·贛州市贛縣第三中學(xué))若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則的取值范圍___________.24．(2021·湖北高三月考)寫出一個(gè)漸近線的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.25．(2020·北京人大附中高三月考)若直線l：與雙曲線C：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．26．(2021·全國課時(shí)練習(xí))求雙曲線被直線截得的弦長______________．27．(2021·河南新鄉(xiāng)市)過雙曲線：的右焦點(diǎn)作圓：的切線，此切線與的右支交于，兩點(diǎn)，則___________.28．(2020·全國課時(shí)練習(xí))已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，則截得的弦長________.29．(2020·全國高三專題練習(xí))過雙曲線的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為的直線l與雙曲線的交點(diǎn)為A、B，則|AB|＝_____.30．(2020·江蘇宿遷市·宿遷中學(xué)高三期中)傾斜角為的直線過雙曲線的焦點(diǎn)，且與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，則_________.31．(2021·北京海淀區(qū)·高三期末)已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為__________；__________.32．(2021·全國課時(shí)練習(xí))已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)