高中數(shù)學-數(shù)學歸納法教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

數(shù)學歸納法的課標分析一、教學目標1.通過對具體問題的解決思路探尋，了解數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上歸納概括出數(shù)學歸納法證題的兩個步驟.2.體會數(shù)學歸納法的思想，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的恒等式.3.了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.二、難點或疑點：但數(shù)學歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結(jié)構(gòu)形式，運用技巧，就是對其自身的可靠性，學生都有一定的疑慮，具體可能會體現(xiàn)在以下一些方面：1.數(shù)學歸納法所要解決的是無窮多個命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學生在理解上的兩點困難：（1）對“無窮”的模糊認知和神秘感；（2）對于一個關(guān)于正整數(shù)n的命題P(n)，會難以將其看作是一個隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.2.為什么要引進數(shù)學歸納法？驗證為何不可行？3.數(shù)學歸納法的兩步驟中，對第二步的認識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實性.由此造成對證明中何以用“假設(shè)”的不理解.4.數(shù)學歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應(yīng)保證k從第一個值時的任意一個整數(shù)都能成立,由此只要第一個值成立，就能確保可以一直遞推下去.5.數(shù)學歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學生對于不斷反復地運用步驟二來進行推理的模式缺乏清晰的認知.數(shù)學歸納法運用時對起點可作適當?shù)钠?，對第二步的證明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進行深入分析，本課側(cè)重解決對數(shù)學歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.突破的關(guān)鍵：由于中學階段對數(shù)學歸納法的教學缺乏理論基礎(chǔ)，因此學習的關(guān)鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數(shù)學歸納法原理的理解?！稊?shù)學歸納法》教材分析一．數(shù)學歸納法的本質(zhì)、地位、作用分析《數(shù)學歸納法》是人教社全日制普通高級中學教科書數(shù)學第選修II第二章第三節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共三課時，這是第一課時,主要內(nèi)容是數(shù)學歸納法理解與簡單應(yīng)用。數(shù)學歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。1．數(shù)學歸納法在教材中的地位與作用數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，通過對數(shù)學歸納法的學習，可對中學數(shù)學中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、二項式定理以及中小學很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進行很好地證明，使很多數(shù)學結(jié)論更加嚴密，也為后繼學習打下了良好的基礎(chǔ)。2．數(shù)學歸納法對思維發(fā)展的地位與作用人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對不對，證明是尤為關(guān)鍵的。運用數(shù)學歸納法解題時，有助于學生對等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識加強訓練與掌握。對數(shù)學歸納法原理的理解，蘊含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學思想和方法，對思維的發(fā)展起到了完善與推動的作用。二．教學目標分析知識與技能：1.了解由歸納法得出的結(jié)論具有不可靠性,理解數(shù)學歸納法的原理與本質(zhì);2.掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應(yīng)用；3.培養(yǎng)學生觀察、探究、分析、論證的能力,體會類比的數(shù)學思想．過程與方法:1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生學習興趣，讓學生體驗知識的發(fā)生與發(fā)展過程;2.通過對數(shù)學歸納法的學習、應(yīng)用，逐步體驗觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评硪庾R，并初步掌握論證方法;3.通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力.情感、態(tài)度與價值觀:1.通過對數(shù)學歸納法原理的探究，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的精神；2.通過對數(shù)學歸納法原理和本質(zhì)的討論，培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作的精神；3.通過置疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；數(shù)學歸納法的學情分析學生已有的認知基礎(chǔ)（1）對正整數(shù)的特點的有一定的感性認識；（2）對“無窮”的概念有一定的認識和興趣；（3）在數(shù)列的學習中對遞推思想有一定的體會；（4）在生活經(jīng)驗中接觸到一些具有遞推性質(zhì)的事實；（5）了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎(chǔ).學生在學習中的疑惑：運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時，學生疑慮重重．為什么必須是兩步呢？假設(shè)成立有依據(jù)嗎？學生學習數(shù)學歸納法時對這兩點不能完全理解，只能依葫蘆畫瓢，在教學設(shè)計中，應(yīng)設(shè)法進行強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，由學生對多米諾骨牌游戲的原理進行討論并自己提煉概括，然后由多米諾骨牌游戲的原理類比到數(shù)學歸納法的兩步，并對數(shù)學歸納法的兩步進行理論上的證明，加深了學生對數(shù)學歸納法的兩步的理解，使學生對數(shù)學歸納法的理解更有深度和廣度．由此不難確定本課教學重點為數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析,初步理解數(shù)學歸納法的原理;教學難點是數(shù)學歸納法中遞推思想的理解,及用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟的理解.運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，兩個步驟缺缺一不可．數(shù)學歸納法【教材分析】1、教學內(nèi)容：數(shù)學歸納法是人教社全日制普通高級中學教科書數(shù)學選修2-2第二章第3節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)課標要求，本書該節(jié)共2課時，這是第一課時，其主要內(nèi)容是數(shù)學歸納法的原理及其應(yīng)用。2、地位作用：在已經(jīng)學習了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過剖析生活實例中蘊含的思維過程揭示數(shù)學思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計思想，揭示數(shù)學歸納法依據(jù)的兩個條件及它們之間的關(guān)系。【教學目標】1、知識與技能：（1）了解歸納法，理解數(shù)學歸納法的原理與實質(zhì)，掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟。（2）會證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。2、過程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學生學習興趣和課堂效率，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會類比的數(shù)學思想。3、情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的教學，使學生領(lǐng)悟數(shù)學思想和辯證唯物主義觀點，激發(fā)學生學習熱情，提高學生數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見和數(shù)學交流能力?！窘虒W重點】借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題?！窘虒W難點】（1）學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。（2）運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。(3)“歸納——猜想——證明”的方法技巧【教學方法】運用類比啟發(fā)探究的數(shù)學方法進行教學；【教學手段】借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學；【教學程序】第一階段：創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學生思維情境1、數(shù)列通過對前4項歸納，猜想——可以讓學生通過數(shù)列的知識加以驗證——“不完全歸納有時是正確的”。通過對上述情況的探究可以發(fā)現(xiàn)用“不完全歸納法”得到的結(jié)論不一定可靠。為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題的方法，從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學歸納法。第二階段：搜索生活實例，激發(fā)學習興趣1、“多米諾骨牌”游戲動畫演示：探究“多米諾骨牌”全部倒下的條件引導學生思考并分析“多米諾骨牌”全部倒下的兩個條件；①第一塊骨牌倒下；②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。強調(diào)條件②的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。2、類比“多米諾骨牌”的原理來驗證情境1中對于通項公式的猜想。“多米諾骨牌”原理①第一塊骨牌倒下；②若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下驗證猜想↓↓①驗證猜想成立②如果時，猜想成立。即，則當時，即時猜想成立3、引導學生概括,形成科學方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1)證明當n取第一個值時結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當n＝k(k∈，k≥)時結(jié)論正確,證明當n＝k＋1時結(jié)論也正確．（歸納遞推）完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．第三階段：鞏固認知結(jié)構(gòu)，充實認知過程例1.用數(shù)學歸納法證明證明：（1）當n=1時，左邊，右邊，等式成立。（2）假設(shè)當n=k時，等式成立，即則當n=k+1時，左邊=即當n=k+1時等式也成立。=右邊即當n=k+1時等式也成立。由（1）、（2）可知，n∈時，等式成立。師生共同總結(jié)：1、數(shù)學歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題。2、兩個步驟、一個結(jié)論缺一不可3、在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，進行恒等變換。例2:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項和，計算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明。解:可以看到，上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)一致，分母可用項數(shù)n表示為3n+1,可以猜想證明過程由學生自主完成。方法反思：利用歸納--猜想---證明的模式去探索問題鞏固練習:已知每個小正方形的邊長為1,觀察圖像你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論？歸納猜想：1+3+5+…+(2n–1)=n21+3+5+…+(2n–1)=n2(n∈N*)證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=12=1，等式成立.假設(shè)n=k時等式成立，即1+3+5+…+(2k–1)=k2=k2=k2+2k+1根據(jù)（1）,（2）知等式對一切n∈N根據(jù)（1）,（2）知等式對一切n∈N*都成立.【課堂小結(jié)】（1）數(shù)學歸納法只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。（2）用數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟（3）本節(jié)課通過從“多米諾骨牌”講起，借助這個游戲的設(shè)計理念，揭示了數(shù)學歸納法依據(jù)的兩個條件及它們之間的關(guān)系。（4）本節(jié)課使用數(shù)學歸納法只證明了與正整數(shù)有關(guān)的等式成立的問題，在以后的學習中，我們將會遇到使用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式及幾何問題，也會遇到n0的取值不是1的情況。在下一節(jié)課我們還將通過具體的例子使同學們明白為什么在使用數(shù)學歸納法證明時兩個步驟缺一不可。【作業(yè)】1基礎(chǔ)作業(yè)：課本96頁A組1,22提高作業(yè)：已知數(shù)列滿足，(1)求(2)由(1)猜想的通項公式;(3)【板書設(shè)計】§2·3數(shù)學歸納法(1)證明當n取第一個值n0時結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當n＝k時結(jié)論正確,證明當n＝k＋1時結(jié)論也正確．（歸納遞推）由1°和2°對任意的n≥n0,n∈N*命題成立猜想證明過程：1)學生板演2)例題：數(shù)學歸納法評測練習1．用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是()A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立2．用數(shù)學歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋13．對于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n＝1時，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當n＝k＋1時，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法()A．過程全部正確B．n＝1驗得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確4．用數(shù)學歸納法證明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)35．用數(shù)學歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊()A．增加了一項eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中兩項但減少了一項eq\f(1,k＋1)D．以上各種情況均不對6若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_____．7．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比列(n∈N*)，求a2，a3，a4與b2，b3，b4的值，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論．效果分析本節(jié)課，教學設(shè)計充分考慮了學生主體地位和教師的主導地位相結(jié)合的原則，力求嘗試讓學生主動學習，嘗試探究。取得了較好的效果，具體表現(xiàn)如下：學生對知識目標的達成非常好：大部分同學通過學案上素材及課件中的輔助材料掌握了本節(jié)課知識目標：掌握數(shù)學歸納法的證明步驟，理解歸納遞推的思想培養(yǎng)了學生的合作探究和表達能力：為了突出在本節(jié)課中突出學生的主題地位，設(shè)計時充分考慮了學生活動環(huán)節(jié)。比如學生較好的完成了學案上設(shè)置的問題，預(yù)習效果不錯。更難能可貴的是，在小組合作探究的基礎(chǔ)上，學生掌握了數(shù)學歸納法的證明步驟，并能用歸納假設(shè)作條件運用運算技巧證明n=k+1時的命題，順利的突破了本節(jié)課的