線性代數(shù) 特征值與特征向量

線性代數(shù)課件特征值與特征向量1第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、特征值與特征向量的概念第二節(jié)

方陣的特征值與特征向量定義

設(shè)是階矩陣，如果數(shù)和維非零列向量使關(guān)系式成立，那么這樣的數(shù)稱為方陣的特征值；非零向量稱為方陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.注意：關(guān)系式是特征值與特征向量滿足的條件式，由此可知必須為方陣.零向量顯然滿足關(guān)系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.2第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、特征值與特征向量的求法1.結(jié)論的引入若是的特征值，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有方程有非零解，且是它的一個(gè)非零解是代數(shù)方程的根.3第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三以為未知數(shù)的一元次方程稱為方陣的特征方程.以為變?cè)拇味囗?xiàng)式，即稱為方陣的特征多項(xiàng)式.4第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.

結(jié)論⑴矩陣的特征方程的根就是的特征值.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)階矩陣有個(gè)特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).⑵設(shè)是方陣的一個(gè)特征值，則齊次方程的全體非零解就是的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量；齊次方程的基礎(chǔ)解系就是對(duì)應(yīng)于特征值的全體特征向量的最大無(wú)關(guān)組.5第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1求矩陣的特征值和特征向量.解

析：這是一道非常簡(jiǎn)單的求特征值和特征向量的題目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步驟.的特征多項(xiàng)式所以的特征值為6第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即解得得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為7第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即解得得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為8第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三例2求矩陣的特征值和特征向量.解

的特征多項(xiàng)式所以的特征值為9第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為10第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，解齊次方程，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為11第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三例3求矩陣的特征值和特征向量.解

的特征多項(xiàng)式所以的特征值為12第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為13第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，解齊次方程，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(不同時(shí)為0).14第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三說明例2和例3屬于同一類型，解題方法和步驟也完全一致.但是，要注意它們的區(qū)別，在例2中，對(duì)應(yīng)于2重特征值僅有一個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量；在例3中，對(duì)應(yīng)于2重特征值有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量.15第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、特征值與特征向量的性質(zhì)⑴設(shè)階矩陣的個(gè)(在復(fù)數(shù)范圍內(nèi))特征值為則①②(的跡)1.特征值的性質(zhì)⑵若是的特征值，且，則是矩陣的特征值.證明舉例證明舉例16第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑶若是的特征值，則是矩陣的特征值.一般地，若是的特征值，且則是矩陣的特征值.說明如果，則上述結(jié)論中的冪指數(shù)可取任意實(shí)數(shù).證明⑷若是的特征值，且，則是的特征值.證明特征值的性質(zhì)17第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑸若階矩陣的秩為，則0一定是的特征值.但是必須注意0不一定是重特征值.證明⑹設(shè)為階矩陣，則與的特征值相同.證明特征值的性質(zhì)18第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑵若是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則也是的對(duì)應(yīng)于的特征向量.⑴若是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則也是的對(duì)應(yīng)于的特征向量.2.特征向量的性質(zhì)⑶

設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果互不相等，則線性無(wú)關(guān).證明舉例19第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4設(shè)3階矩陣的特征值為求解析：此例的目的是熟悉特征值的性質(zhì)(1)(2)(3),根據(jù)性質(zhì)(1)知，求得的全部特征值，就可求得.此方法提供了求行列式的一個(gè)方法，即方陣的行列式=的全部特征值之積.因?yàn)榈奶卣髦禐?，全不?，所以可逆，且則有故的特征值為20第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三因此21第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三例5設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和，證

根據(jù)題設(shè)，有析：要證明一個(gè)向量不是特征向量，通常用反證法.用反證法，假設(shè)是的特征向量，則存在數(shù)，使證明不是的特征向量.22第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三因?yàn)?，所以線性無(wú)關(guān)，故即有與題設(shè)矛盾.因此不是的特征向量.23第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三四、小結(jié)設(shè)是階矩陣，若有數(shù)和非零列向量，使則稱是的特征值，為的對(duì)應(yīng)于的特征向量.矩陣的特征值是特征方程的根.矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是齊次方程的非零解.特征值和特征向量的性質(zhì).24第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明⑴證因?yàn)槭堑膫€(gè)特征向量，則有即令，即得另一方面，根據(jù)行列式的定義知，上述行列式的展開式中，只有對(duì)角元之積含有25第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三這些項(xiàng)中不含比較兩端的的系數(shù)，可得即證畢特征值的性質(zhì)的證明26第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明因?yàn)槭堑奶卣髦?，⑵證所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以這表明是矩陣的特征向量.證畢27第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明⑶證因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以存在非零向量使用左乘上式兩端得這表明是矩陣的特征向量.類似地，可以證是矩陣的特征向量.證畢28第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明⑷證因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以存在非零向量使又因?yàn)?，所以這表明是矩陣的特征向量.證畢29第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明⑸

證因?yàn)樗远蟹橇憬庖虼舜嬖诜橇阆蛄?，使這表明0是的特征值.證畢30第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征值的性質(zhì)的證明⑹證根據(jù)特征值滿足的條件：是特征方程的根，所以要證與的特征值相同，只需證它們的特征方程相同，也即只需證它們的特征多項(xiàng)式相同.因?yàn)樗耘c的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值相同.證畢31第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期三特征向量的性質(zhì)的證明證

設(shè)存在使是方陣的特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，即有因?yàn)樗约醇?1)(2)(3)32第三十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯