線性代數(shù) 矩陣的運(yùn)算

線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三說明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三1、定義二、數(shù)與矩陣相乘第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三１、定義并把此乘積記作三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例１設(shè)例2第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三故解第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三但也有例外，比如設(shè)則有第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例3

計(jì)算下列乘積：解第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三解=(）第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三解例4第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三由此歸納出第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三所以對(duì)于任意的都有第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例5已知解法1第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三解法2第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三2、方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三3、對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.說明第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例6設(shè)列矩陣滿足證明第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例7證明任一階矩陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和.證明所以C為對(duì)稱矩陣.所以B為反對(duì)稱矩陣.命題得證.第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三4、共軛矩陣定義當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.故同理可得第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三運(yùn)算性質(zhì)（設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的）:第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三五、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三

（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.第三十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三思考題成立的充要條件