等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)

第二章數(shù)列§2.3

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一數(shù)列前n項(xiàng)和的概念把a(bǔ)1＋a2＋…＋an叫數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記做

.a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝

(n≥2).思考由Sn與Sn－1的表達(dá)式可以得出an＝答案Sn－1Sn

答案

2.若首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn可以表示為Sn＝

.

4.從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)公式的變形(2)從函數(shù)角度認(rèn)識公式①當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；②當(dāng)d＝0時(shí)，Sn＝na1，不是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù).(3)結(jié)論及其應(yīng)用已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn＋C，若C＝0，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列；若C≠0，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.

解析答案解析S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝6，∴a2＝2，又a1＝4，∴d＝－2.A2.若Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為

.知識點(diǎn)三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)答案m2d4.若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，5.若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，思考等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和是________.解析答案解析設(shè){an}的前3m項(xiàng)和是S，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m分別為30,70，S－100.由性質(zhì)知30,70，S－100成等差數(shù)列.∴2×70＝30＋(S－100)，∴S＝210.210返回題型探究重點(diǎn)突破題型一與等差數(shù)列Sn有關(guān)的基本量的計(jì)算例1

在等差數(shù)列{an}中.解析答案(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解析答案反思與感悟解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運(yùn)用.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

在等差數(shù)列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；解析答案∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a3＋a15＝40，求S17.解析答案題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例2

(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于(

)A.13 B.35C.49 D.63解析答案C解析答案D解析答案反思與感悟75

反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(

)A.63 B.45C.36 D.27解析答案解析由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45.B

解析答案方法二∵數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，∴Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.∴令Sn＝tn(2n＋1)，Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.解析答案∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)＝t(4n－1)(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)＝t(6n－5)(n≥2).題型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際中的應(yīng)用例3

某人用分期付款的方式購買一件家電，價(jià)格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢？解析答案反思與感悟

反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米.解析假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程都組成以20為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為2000返回當(dāng)堂檢測123451.在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(

)A.12 B.24 C.36 D.48

B解析答案123452.在等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，則a10等于(

)A.27 B.24 C.29 D.48∴a10＝2＋9×3＝29.C解析答案解析易知(a3＋a8)2＝9.12345A.－1 B.－11 C.－13 D.－15D解析答案∵an<0，∴a3＋a8＝－3.12345解析答案4.等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)之和為124，后四項(xiàng)之和為156，各項(xiàng)和為210，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8解析由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.B12345解析答案5.在等差數(shù)列{an}中，an＝2n＋3，則等差數(shù)列{an}從第100項(xiàng)到第200項(xiàng)之和S的值為________.解析a100＝203，30603課堂小結(jié)1.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也