總體離散程度的估計(jì)【核心素養(yǎng)提升+備課精講精研】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差，利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的離散程度.2.理解并掌握方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算和應(yīng)用3.理解掌握分層隨機(jī)抽樣的方差1知識(shí)回顧

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢(shì)的信息，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策，下面的問題就是一個(gè)例子.眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)中位數(shù)：中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數(shù)：每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和

總體集中趨勢(shì)的估計(jì)2總體離散程度的估計(jì)引例

：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲：78795491074乙：9578768677甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒有差別.思考：兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？問題1

如何評(píng)價(jià)？如何選擇？甲：44577789910乙：566777788910環(huán)數(shù)頻率456789（甲）10環(huán)數(shù)頻率456789（乙）結(jié)論2：甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7結(jié)論1：?jiǎn)栴}2：上述問題中，甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，但二者的射擊成績(jī)存在差異，還有什么數(shù)字特征能度量甲和乙的差異？甲：78795491074乙：9578768677極差甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大甲的極差=10-4=6乙的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大.方差與標(biāo)準(zhǔn)差問題3：你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎？成績(jī)很穩(wěn)定離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)波動(dòng)幅度很大離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn)通過這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.問題4：什么叫做平均成績(jī)的“平均距離”？假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn，

用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

到

的距離

平均距離我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”

想一想，為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用“總距離”行嗎？為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來代替，即方差有時(shí)為了計(jì)算方便，還把方差寫成：方差刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量=知識(shí)梳理（1）方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義

一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)的方差為

s2=____________=____________，.思考：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開平方.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s=知識(shí)梳理（2）總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為

Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差

．

加權(quán)形勢(shì)總體方差：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為知識(shí)梳理（3）樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

．

（4）特征：標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的______程度或波動(dòng)幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越穩(wěn)定．在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用_______.離散大小標(biāo)準(zhǔn)差有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？

甲甲乙成績(jī)穩(wěn)定的乙甲新知1：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義甲：44577789910乙：5667777889例：甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．

新知1：方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算新知2：分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

[練習(xí)]甲、乙兩只田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙對(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1:4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？新知3：樣本和總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.

月均用水量/t0.077頻率/組距0.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.00700.020.080.10.060.044.21.27.210.213.216.219.222.225.228.22.5914.9921.19課堂小結(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度：方差和標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差和標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.1.刻畫數(shù)據(jù)的離散程