中考數學二輪復習重難點復習題型05 圓的相關證明與計算（復習講義）（解析版）

題型五圓的相關證明與計算（復習講義）【考點總結|典例分析】考點01圓的有關概念1．與圓有關的概念和性質（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦．（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．（6）弦心距：圓心到弦的距離．考點02垂徑定理及其推論1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形．2．推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．考點03圓心角、弧、弦的關系1．定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓等式中才成立．2．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．考點04圓周角定理及其推論1．定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2．推論（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．（2）直徑所對的圓周角是直角．考點05與圓有關的位置關系1．點與圓的位置關系設點到圓心的距離為d．(1)d<r?點在⊙O內；(2)d=r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．2．直線和圓的位置關系位置關系相離相切相交圖形公共點個數0個1個2個數量關系d>rd=rd<r考點06切線的性質與判定1．切線的性質（1）切線與圓只有一個公共點．（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．（3）切線垂直于經過切點的半徑．利用切線的性質解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質來解決問題．2．切線的判定（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）．（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．（3）經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．考點07三角形與圓1.三角形外接圓外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．2．三角形的內切圓內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．1.如圖，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先證明SKIPIF1<0再利用等弧的性質及圓周角定理可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<0【點睛】本題考查的兩條弧，兩個圓心角，兩條弦之間的關系，圓周角定理，等弧的概念與性質，掌握同弧或等弧的概念與性質是解題的關鍵．2.如圖，A，B，C是半徑為1的⊙O上的三個點，若AB＝SKIPIF1<0，∠CAB＝30°，則∠ABC的度數為（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】C【分析】連接OB，OC，根據勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根據圓周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB＝SKIPIF1<0，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解決本題的關鍵．3.如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數為（）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】A【分析】直接根據直徑所對的圓周角為直角進行求解即可．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角為直角，理解基本定理是解題關鍵．4.如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內一點，且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0的長度最小時，SKIPIF1<0的面積是（）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題意知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0長度一定，則點P的運動軌跡是以SKIPIF1<0中點O為圓心，SKIPIF1<0長為半徑的圓弧，所以當B、P、O三點共線時，BP最短；在SKIPIF1<0中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點P是BO的中點，由線段長度即可得到SKIPIF1<0是等邊三角形，利用特殊SKIPIF1<0三邊關系即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點O，并以O為圓心，SKIPIF1<0長為半徑畫圓由題意知：當B、P、O三點共線時，BP最短SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0點P是BO的中點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等邊三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考察動點的線段最值問題、點與圓的位置關系和隱形圓問題，屬于動態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關鍵是找到動點P的運動軌跡，即隱形圓．5.如圖，已知在⊙O中，SKIPIF1<0，OC與AD相交于點E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接BD，根據圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據平行線的判定可得結論；（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據SKIPIF1<0得到BC=CD，從而證明菱形．【詳解】解：（1）連接BD，∵SKIPIF1<0，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）連接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵SKIPIF1<0，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系，全等三角形的判定和性質，菱形的判定，解題的關鍵是合理運用垂徑定理得到BF=DF．6.如圖，A，B是SKIPIF1<0上兩點，且SKIPIF1<0，連接OB并延長到點C，使SKIPIF1<0，連接AC．（1）求證：AC是SKIPIF1<0的切線．（2）點D，E分別是AC，OA的中點，DE所在直線交SKIPIF1<0于點F，G，SKIPIF1<0，求GF的長．【答案】（1）見解析；（2）2SKIPIF1<0【分析】（1）先證得△AOB為等邊三角形，從而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性質得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出結論；（2）過O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=SKIPIF1<0，根據含30°的直角三角形的性質得出DN=SKIPIF1<0，再根據垂徑定理和勾股定理即可求出GF的長．【詳解】（1）證明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB為等邊三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切線；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∵D、E分別為AC、OA的中點，∴OE//BC，DC=SKIPIF1<0過O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N則四邊形OMDN為矩形∴DN=OM在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=SKIPIF1<0DC=SKIPIF1<0∴OM=SKIPIF1<0連接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0【點睛】本題考查了切線的判定、垂徑定理、等邊三角形的性質和判定，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．7.如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以點C為圓心，SKIPIF1<0為半徑作SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）延長SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于點E，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）利用SAS證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得證；（2）由已知條件可得SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，進而得出SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0；【詳解】（1）∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【點睛】此題考查了切線的判定與性質，正切的性質，以及相似三角形的性質判定，熟練掌握基礎知識是解本題的關鍵．8.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直徑，弦SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0延長線上一點，連接SKIPIF1<0并延長交直徑SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）若SKIPIF1<0的半徑為8，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由SKIPIF1<0證得SKIPIF1<0，運用正弦的概念可得結論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是SKIPIF1<0的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴SKIPIF1<0是直角三角形∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由勾股定理得，SKIPIF1<0由（1）得，SKIPIF1<0是直角三角形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0【點睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定是解答此題的關鍵．9.如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內接三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．（1）求證：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切；（2）若SKIPIF1<0的直徑是10，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）連接OD，由點D是SKIPIF1<0的中點得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半徑可得DE是切線；（2）證明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的長，從而可求得結論．【詳解】解：（1）連接OD交BC于點F，如圖，∵點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是SKIPIF1<0的半徑∴直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切；（2）∵AC是SKIPIF1<0的直徑，且AB=10,∴∠ABC=90°，SKIPIF1<0∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//ABSKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由勾股定理得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查了切線的判定與性質的綜合運用，熟練掌握切線的判定與性質是解答此題的關鍵．10.如圖，已知點SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直徑的圓上一點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延長線上一點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據已知條件證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得解；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根據正切的定義列式求解即可；【詳解】解：（1）證明：連結SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了圓的綜合運用，結合相似三角形的判定與性質、正切的定義求解是解題的關鍵．11.如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，CE⊥AB于點E，D是直徑AB延長線上一點，且∠BCE＝∠BCD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝8，BECE【分析】（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據余角的性質得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結論；（2）設BC＝k，AC＝2k，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解析】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BCAC=tan∠設BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BCAC∵AD＝8，∴CD＝4．12.如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F，其中點E是AD的中點．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長．【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可．（2）證明△AEC∽△BCA，推出CEAC【解析】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，∴AC=∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC∴CE6∴CE＝3.6，∵OC=1∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．13.如圖，⊙O的半徑OA＝6，過點A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長，與⊙O交于點B、D，過點B作BC∥OA，并與⊙O交于點C，連接AC、CD．（1）求證：DC∥AP；（2）求AC的長．【分析】（1）根據切線的性質得到∠OAP＝90°，根據圓周角定理得到∠BCD＝90°，根據平行線的性質和判定定理即可得到結論；（2）根據勾股定理和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解析】（1）證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延長AO交DC于點E，則AE⊥DC，OE=12BC，CE在Rt△AOP中，OP=62+82由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DBOP即1210∴BC=365，DC∴OE=185，CE在Rt△AEC中，AC=A14.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個點，AC=CD=（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長．【分析】（1）連接OD，根據已知條件得到∠BOD=13×180°＝60°，根據等腰三角形的性質得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°（2）連接BD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結論．【解析】（1）證明：連接OD，∵AC=∴∠BOD=13×180°∵CD=∴∠EAD＝∠DAB=12∠∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=1∴AD=62?15.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點，AD＝BC，AC與BD相交于點F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．【分析】（1）根據圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據等腰三角形的性質得到∠E＝∠BFE，根據切線的