二重積分習題課26934

章習題課（一）

一、二重積分基本概念二、直角坐標下計算二重積分三、極坐標下計算二重積分二重積分概念與計算2021/5/91內容小結(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形

:

若積分區(qū)域為X型則

若積分區(qū)域為Y型則2021/5/92則﹡(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下2021/5/93(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式(先找兩端點，后積一條線

)充分利用對稱性應用換元公式2021/5/94

設函數(上下對稱)

D位于

x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱（左右對稱）,函數（看x)關于在

D上在閉區(qū)域D上連續(xù),區(qū)域D關于x軸對稱則（變量看y)則變量

x有奇偶性時,仍有類似結果.二重積分的對稱性2021/5/95在第一象限部分,則有二重積分的對稱性特別重要！如，D1為2021/5/96典型例題例1.設且則分析:交換積分順序后,x,y互換

等于（）2021/5/97例2

．設f(x)為連續(xù)函數，，則等于（）.

B.

C.

D.0

A.分析：.交換積分次序，變成定積分積分上限函數選B.BO.

x.

y.

t.1.

y=x.1.2021/5/98例3.設是由曲線和圍成的平面區(qū)域，則A.等于0B.符號與有關，與C.符號與有關，與無關

D.

符號與、都有關.（）無關分析：.如圖：.

x.

y.

o.由積分區(qū)域的對稱性選C.C2021/5/99例4.設連續(xù),且是由圍成,則（）A.B.C.D.分析：.注意到二重積分是數，故設.則.

o.

u.

v.選C.C

.2021/5/910例5.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,在上在上(-1,0)(1,0)2021/5/911例6則分析:如圖,由對稱性知在上是關于y的奇函數在上是關于

x

的偶函數A2021/5/912，其中為圓周

所圍成的閉區(qū)域。.例7解：如圖由積分區(qū)域的對稱性，有2021/5/913例8.計算其中是由及所圍成的區(qū)域，是上的連續(xù)函數.解：如圖做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D22021/5/914例9.計算其中D是直線

所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數可知,因此取D為X-

型域

:先對

x

積分不行,2021/5/915例10.交換積分順序解:

積分域如圖2021/5/916解：原式例11.

給定改變積分的次序.2021/5/917,其中例12.計算解：如圖為去掉絕對值，做輔助線將區(qū)域分成兩部分D1，D2，D1D2由積分區(qū)域的對稱性，有2021/5/918例13.解:2021/5/919.例14.計算解：如圖124（2,2）（1,1）2021/5/920例15.設區(qū)域是中心在原點，半徑為的圓盤，求解：如圖由積分中值定理，存在使于是=12021/5/921或者由洛必達法則=12021/5/922例16.設二元函數解：當時，計算其中

由對稱性當時，于是2021/5/923，其中為圓周

所圍成的閉區(qū)域。.例17.解：如圖由積分區(qū)域的對稱性，有2021/5/924例18.設f(x)是在[0,1]上連續(xù)，單調減少的正值函數，證明:證明:∵x∈[0,1]且f(x)>0,∴上述四個積分都大于零令變成二重積分交換變量符號2021/5/925于是，將上兩式相加，得因f(x)單調遞減，所以當時當于是總有從而有2021/5/926例19.設f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明:證明:因為D關于x=y對稱，所以設所以(交換變量符號)2021/5/927例20.設為可微函數且證明：證明：2021/