控制工程基礎第六章

頻率特性的概念典型環(huán)節(jié)Bode圖的繪制最小相位系統(tǒng)的Bode圖繪制最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用本章小結1北京科技大學信息工程學院2021/6/12第六章

線性系統(tǒng)的頻域分析本章重點2北京科技大學信息工程學院2021/6/12頻率特性基本概念典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性系統(tǒng)頻率特性的Bode圖形表示方法最小相位系統(tǒng)由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量6.1

頻率特性的概念頻率特性法是經典控制理論中對系統(tǒng)進行分析與綜合的又一重要方法。與時域分析法和根軌跡法不同，頻率特性法是根據(jù)系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應，即系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的頻域性能指標。頻域性能指標與時域性能指標之間著內在的聯(lián)系。應用時域分析法和根軌跡法分析系統(tǒng)時，應先通過某種方法獲得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。頻率特性法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實驗的的方法測出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性。3北京科技大學信息工程學院2021/6/12系統(tǒng)或對象Xr

=

Xr

(w

)Sinw

tj

0=

Xr

(w

)eXc

=

Xc

(w

)Sin(w

t

+j(w

))jj

(w

)=

Xc

(w

)e6.1

頻率特性的概念為系統(tǒng)的幅頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻Xr

(w

)

static4北京科技大學信息工程學院2021/6/12X

(w

)稱

A(w

)

=

c１．頻率特性的定義反映系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應的性能。討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。率正弦信號作用下,輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入穩(wěn)態(tài)幅值的比值。稱j(w

)為系統(tǒng)的相頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。1

1G(s)

=

U2

(s)==RCs

+1ts

+16.1

頻率特性的概念RCu2u1求如圖RC電路的頻率特性。例6－1RC電路的傳遞函數(shù)為：解U1

(s)設輸入u1=

U

1

m

sin

w

tU

1

mw其拉氏變換為U

1

(s

)=s

2

+

w

225北京科技大學信息工程學院2021/6/121

U1mw則輸出

u2

的拉氏變換為:

U

(

s)

=ts

+

1s

2

+

w

22UuU

w

t-

t=

1m

et+

1m

sin(w

t

+

j

)1

+

t2w

21

+

t2w

2暫態(tài)分量 穩(wěn)態(tài)分量6.1

頻率特性的概念求拉氏反變換，得其中

j

=

-arctgtwＲＣ電路的穩(wěn)態(tài)頻率響應為：2U

1

mlim

u

=t

fi

￥sin(w

t

+

j

)1

+

t

2w

216北京科技大學信息工程學院2021/6/121)1

m=

Usin(w

t

+

—1

+

jw

t1

+

jw

t可見，ＲＣ電路的頻率特性為:G

(

jw

)

=

A(w

)e

jj

(w

)1式中

A(w

)

=

1

=

1

1

+

jw

tj

(w

)

=

—

(1

+

w

2t

2)

=

-

arctan

tw1

+

jw

t為幅頻特性為相頻特性6.1

頻率特性的概念ＲＣ電路的穩(wěn)態(tài)頻率響應為：2U

1

mlim

u

=t

fi

￥sin(w

t

+

j

)1

+

t

2w

217北京科技大學信息工程學院2021/6/121)1

m=

Usin(w

t

+

—1

+

jw

t1

+

jw

t6.1

頻率特性的概念1U1

(s)G(s)

=

U2

(s)

=考慮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：1s=

jwG(

jw)

=G(s)

=jwt+1如果令：ts

+1

s

=

jw可以證明：傳遞函數(shù)G(s)如果令：

G(s)s

=

jws=jw=G(jw)頻率特性注意：18北京科技大學信息工程學院2021/6/121jw

t

+

1=

1

=

A(w

)1

+

w

2t

2—

(1

+

jw

t為幅頻特性)=-arctan

w

t

=j

(w

)為相頻特性幾點說明：（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性。（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號下輸出的相位移。（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令s

=jw

，可得系統(tǒng)的頻率特性。（４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結構參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內在性質，因此也是一種數(shù)學模型描述。6.1

頻率特性的概念9北京科技大學信息工程學院2021/6/12頻率特性的數(shù)學描述形式為：G

(

jw

)

=

A(w

)e

jj

(w

)其中：A(w

)是系統(tǒng)的幅頻特性。j

(w

)是系統(tǒng)的相頻特性。6.1

頻率特性的概念0.5

1

1.5

2

2.5

3-20-1.5-1-0.500.511.52線性系統(tǒng)2.53-50

0.5

1

1.5

2-4-3-2-1012345頻率特性是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應特性。輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化。10北京科技大學信息工程學院2021/6/12j

(w

)。11北京科技大學信息工程學院2021/6/12特定情況下的傳遞函數(shù)。它頻率特性

G(

jw

)

是s

=

jw一、解析法求G(s)

令G(s)|s=jw

G(jw

)6.1

頻率特性的概念獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑:和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內在聯(lián)系。二、實驗法在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號ui

(t

)=ASinw

t，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅uo和相移j

，便可得到它的幅頻特性

A

w

)和相頻特性三、定義法對已知系統(tǒng)的微分方程，在正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復數(shù)比即可得到。頻率特性的表示方法:（一）解析表示

G(

jw

)

—

G(

jw

)12北京科技大學信息工程學院2021/6/12

A(w

)e

jj

(w

)G(

jw

)

=

A(w

)

cosj

(w

)

+

jA(w

)

sinj

(w

)幅頻

—

相頻形式

指數(shù)（極坐標）形式三角函數(shù)形式實頻

—

虛頻形式

X

(w

)

+

jY

(w

)（二）圖示（幾何）表示1、極坐標圖——

Nyquist圖（又叫幅相頻率特性、或奈奎斯特圖，簡稱奈氏圖）2、對數(shù)坐標圖——Bode圖（伯德圖）3、復合坐標圖——Nichocls圖（尼柯爾斯圖，或尼氏圖），一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。6.1

頻率特性的概念1.

極坐標圖—奈奎斯特圖（Nyqusit）—幅相特性曲線系統(tǒng)頻率特性為幅頻-相頻形式G(jw

)=G(jw

)—G(jw

)當w在0～￥變化時,向量G(jw)的幅值和相角隨w而變化,與此對應的向量G(jw)的端點在復平面G(jw

)上的運動軌跡就稱為幅相頻率特性或Nyqusit曲線。畫有Nyqusit曲線的坐標圖稱為w121w

=

0

ReImw

=

+￥0極坐標圖或Nyqusit圖。慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)的Nyqusit圖1G(jω

)=ωT13北京科技大學信息工程學院2021/6/121

11+ω2T2-

j=1+

jωT

1+ω2T2G(jω)=1

+ω

2

T

2—

G(

jw

)

=

-arctan

wT6.1

頻率特性的概念2.對坐標數(shù)后數(shù)性分稱-

180

-605

6

7

8

10w為圖進后度為對對d)數(shù)坐標圖——伯德圖（Bode圖）

G(

jw

)

=

G(

jw

)

—

G(

jw

)將系統(tǒng)頻率特性G(jw)的幅值和相角分別繪在半對數(shù)上，分別得到對數(shù)幅頻特性曲線（縱軸：對幅值取分貝行線性分度20lg|G(jw)|；橫軸：對頻率取以10為底的對進行分度:lgω）和相頻特性曲線（縱軸：對相角進行線；橫軸：對頻率取以10為底的對數(shù)后進行分度lgω），合伯德圖(Bode圖)。數(shù)幅頻特性記為

單位為分貝（dB)數(shù)相頻特性記

單位為度或弧度（raj

(w

)

L

(w

)

dB60180

4090

200

0.1

1

2 3

4-20-

90

-40Bode

Diagram

of

G(jw

)=1/(jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-20-15-10-501001011014北京科技大學信息工程學院2021/6/122-90-45-2506.1

頻率特性的概念0o180o-20dB-180o15北京科技大學信息工程學院2021/6/123.復合坐標圖——Nichocls圖（將Bode圖的兩張圖合二為一）將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對數(shù)幅值作縱坐標（單位為分貝）、以相位移作橫坐標（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅—相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。20

lg

G(

jw

)20dB0ω6.1

頻率特性的概念H.W.Bode（1905-1982）美國Bell實驗室著名科學家，他的工作為數(shù)據(jù)傳輸、通信工程，火炮控制及經典控制中的反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎，他于1969獲得IEEE

Medal

of

Honor。16北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制17北京科技大學信息工程學院2021/6/12j

(w

)=—

G

(jw

)對數(shù)刻度的橫坐標w坐標系構成對數(shù)幅頻特性的縱坐標L

(w

)=20

lg

G

(jw

)dB

(分貝)

對數(shù)相頻特性的縱坐標一、(半)對數(shù)坐標圖(Bode圖)定義：伯德（Bode）圖又叫對數(shù)頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個不同的坐標平面上，前者叫對數(shù)幅頻特性，后者叫對數(shù)相頻特性，統(tǒng)稱為對數(shù)頻率特性。兩個坐標平面橫軸（ω軸）用對數(shù)分度。坐標系：6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制-1800-

90(j

(wlg

wwlg

ww200-

10-

2010L

(w

dB-

10120

.1110100-10120.1110100-10.1lgw

(分度值w

(標出值210012

4

6

8

102001rad

/

s一個十倍頻程一個十倍頻程dec一個倍頻程oct

w

的數(shù)值變化10倍在對數(shù)坐標上

所變化的一個單位間隔距離對數(shù)幅頻特性的縱

軸按下式線性分度:

L(w

)=20

lg

G(jw

)(dB18北京科技大學信息工程學院2021/6/12對數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度：j(w

)=—G(jw

)度)半對數(shù)坐標系。6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點：將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的幅值和相角與頻率之間的關系更加清晰；幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\算，簡化計算；用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡單方便；橫軸（ω軸）用對數(shù)分度，擴展了低頻段，同時也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。19北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制幅頻特性是A(w

=

G(

jw

)

=

K對數(shù)幅頻特性為L

w

)=

20

lg

K放大環(huán)節(jié)的相頻特性是j

(w

)=00wj

w0(b)Bode圖L(w

dB20lgkw20北京科技大學信息工程學院2021/6/12(a0K>1，20lgK>0,橫軸上方；

K=1，20lgK=0,與橫軸重合;

K<1，20lgK<0,橫軸下方。6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制二、典型環(huán)節(jié)的Bode圖繪制

1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)的頻率特性為：G(jw

)=K

(K>0,常數(shù)）2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性是1G(

jw

)

=

jww幅頻特性為A(w

)=1

1L(w

)=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lg

w

=

-20

lgw對數(shù)幅頻特性是相頻特性是j

(w

)=

-900j

(w0lg

ww-90-

2

-10.01

0.10111021北京科技大學信息工程學院2021/6/12lg

ww-20dB

/

decL(w

(dB6040200-

206.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制當w

=

0.1

時,

L

0.1)=

-20

lg

0.1

=

20(dB)22北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制當

w

=1

時,

L

1)=

-20

lg

1

=

0(dB)當w

=10

時,

L

10)=

-20

lg

10

=

-20(dB)積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條在ω=1（弧度/秒）處穿過零分貝線（ω軸），且以每增加十倍

頻降低20分貝的速度（-20dB/dec.）變化的直線。積分環(huán)節(jié)的相頻特性是一條值為-90°且平行于

ω軸的直線。幅頻特性穿越0分貝線（ω軸）時的頻率，稱為穿越頻率或剪切頻率(用

w

c

表示)j

w900lg

ww1-

2

-10.01

0.10110-

20-

4020dB

/

declgww相頻特性是L

(w

(dB4020023北京科技大學信息工程學院2021/6/12j

(w

)=

9006.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制3.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性是

G(

jw

)

=

jw幅頻特性為A

(w

)=w對數(shù)幅頻特性是

L(w

)=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lgw積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)的比較1jwG(

jw

)

=1jwL(w

)

=

20

log=

-20

log

w

(dB)j

(w

)

=

-90L(w

)

=

20

log

jw

=

20

log

w

(dB)G(

jw

)

=

jwj

(w

)

=

90(1

/

jw

)n(

jw

)n1(

jw

)nL(w

)

=

20

log=

-20n

log

w

(dB)j

(w

)

=

-90

·

nL(w

)

=

20

log

(

jw

)n

=

20n

log

w

(dB)j

(w

)

=

90

·

n這些幅頻特性曲線將通過點（

0dB,w

=1）。類推相差一個符號24北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制14.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是：G(jw

)=jTw

+

11對數(shù)幅頻特性是：L(w

)=20

lg=

-20

lg1

+

T

2w

21

+

T

2w

21

+

T

2w

2

?

0(dB)Tw

<<

1時，L(w

)=-20

lg1

+

T

2w

2

?

-20

lgTw

(dB)T當w

>>1時，L(w

)=-20

lg2

?

-3(dB)T25北京科技大學信息工程學院2021/6/12當

w

=

1時，L(w

)=-20

lg6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制dB0j

(w)0-45-90Tw

=

1w-20dB

/

decwj

(w

)=

-arctgw

T

=

00慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為：j

w

)=

-arctgwT1w

<<

T時，T當

w

>>

1時，當1w

=

T時，j

(w

)=

-arctgw

T

=

-450j

(w

)=

-arctgwT

=

-9006.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制生了變化,兩條近似直線交接于T在w

=1

時近似幅頻特性曲線的斜率發(fā)T

,w

=

1TL

(w26北京科技大學信息工程學院2021/6/12w

=1稱為交接頻率。對數(shù)幅頻特性是：L

(w

)=20

lg1+T

2w

21+T

2w

2

?

0(dB)Tw

<<

1時，L

(w

)=20

lgT當w

>>1時，

L

(w

)=

20

lg

1+T

2w

2

?

20

lgTw

(dB)=

20

lg 2

?

3(dB)T27北京科技大學信息工程學院2021/6/12當

w

=

1時，

L

(w6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是：G(jw

)=jTw

+190dBj

(w04501w

=

T20dB

/

decww一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性為：L

(wj

(w

=

arctgwT

=

-00Tw

<<

1j

(w

=

arctgwT時，T當w

>>1T28北京科技大學信息工程學院2021/6/12當

w

=

1j

(w

=

arctgwT

=

450時，j

(w

=

arctgwT

=

900時，6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制一階因子(1

+

jwT

)–1L(w

)

=

20lg(1+

jwT

)–1

=

–20lg [1+(wT)2

](dB)j

(w

)

=

–arctg(wT

)T在低頻時，即

wT

<<1,

w

<<

1低頻時的對數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線L(w

)

=

–20

lg

[1

+

(w

T

)2

]

?

–20

lg

1

=

0(dB)Tw

>>

1

L(w

)

=

–20

lg

[1

+

(w

T

)2

]

?

–20

lg

w

T

(dB)下兩頁的圖中表示了一階因子的精確對數(shù)幅頻特性曲線及漸近線，以及精確(Exact

curve)的相角曲線。在高頻時，即wT

>>1,高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為–20分貝/十倍頻程的直線對數(shù)幅頻特性相頻特性29北京科技大學信息工程學院2021/6/12一階慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)的比較6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制Bode

Diagram

of

G(jw

)=1/(jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-20-15-10-50100101102-90-45-250漸近線Asymptote漸近線精確曲線Exact

curve精確曲線Exact

curve—階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性L(w

)

=

-20

lg30北京科技大學信息工程學院2021/6/12[1

+

(wT

)2

]

?

-20

lg

wT

(dB)漸近線精確曲線Bode

Diagram

of

G(jw

)=jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)510152025100101102045090j

(w

)

=

arctg

(w

T

)L(w

)

=

20

lg[1

+

(w

T

)2

]

?

20

lg

w

T

(dB)20

log

w

T

(dB)0(dB)31北京科技大學信息工程學院2021/6/12—階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是1G(

jw

)

=(1-T

2w

2

)

+

j2xTw對數(shù)幅頻特性為(1

-T

2w

2

)2

+

4x

2T

2w

2L(w

)=

-20

lgT當

w

1

時，L

(w

)=

-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

?

0(dB)T當w

1

時，L

(w

)=-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

?

-40

lgTwT當w

=1

時，L

(w

)=-20

lg32北京科技大學信息工程學院2021/6/12(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

-20

lg

2x6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制6.二階振蕩環(huán)節(jié)(0

<x

<1T當w

TT對數(shù)相頻特性為2j

(w

)=

-arctg

2xwT

1-

(wT

)當

w

1

時，j

(w=

-00當w

=1

時，j

(w=

-9001

時，j

(w=

-1800-180L(wdBj

(w00-90Tw

=

1w-40dB/

decw33北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是G(

jw

)

=

(1-T

2w

2

)

+

j2xTw對數(shù)幅頻特性為L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2T當

w

1

時，

L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

?

0(dB)T當w

1

時，L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

?

40

lgTw7.二階微分環(huán)節(jié)T當

w

=

1

時，

L

(w

)=

20

lg34北京科技大學信息工程學院2021/6/12(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

20

lg

2x(0

<

x

<16.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制對數(shù)相頻特性為

j

(w

)=

arctg

2xwT

1-

(wT

)2T當w

1

時，j

(wT當w

=1

時，j

(wT當w

1

時，j

(w=

00=

450=

900思考題：1、二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖是怎樣的？

2、二階振蕩與微分環(huán)節(jié)的比較與前述相比怎樣？請同學們課下完成。6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制35北京科技大學信息工程學院2021/6/12L

(wdBj

w00-90-180Tw

=

1w-

40dB

/

decw36北京科技大學信息工程學院2021/6/12諧振頻率wr

諧振峰值Mr22)nnwww

2w

2)

+

(2xg(w

)

=

(1

-令12n2nnndw

2wwdw

wwwwg(w

)

=

2(1-)(-2)

+

2(2x)2x

=

0nw

2w

2

-w

2

(1-

2x2

)

2g(w

)

=

n

+

4x2

(1-x2

)1

122g(wr

)Mr

=

=0

￡x

￡?0.7072x

1-x2當x

>0.707

時，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會有諧振w

=w

1-2x2r

n諧振頻率wr諧振頻率wr

諧振峰值MrG(

jw

)

=(1

-w

2w

2n1)2

+

(2xww

n)2諧振峰值Mr37北京科技大學信息工程學院2021/6/126.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制10-110138北京科技大學信息工程學院2021/6/12-40-30-20-1001020dBx

=

0.1幅頻特性與x關系100二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線-30-20-1001020dB-4010-1011010二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線北京科技大學信息工程學院392021/6/12x

=

0.1x

=

0.2幅頻特性與x關系-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3-40-101101010二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線北京科技大學信息工程學院402021/6/12幅頻特性與x關系-30-40-101101010二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線北京科技大學信息工程學院412021/6/12-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5幅頻特性與x關系10-110010二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線北京科技大學信息工程學院422021/6/121-40-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x=

0.7幅頻特性與x關系10-1100101二階因子的對數(shù)幅頻特性曲線北京科技大學信息工程學院432021/6/12-40-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x=

0.7x

=

1.0幅頻特性與x關系-160-140-120-100-80-60-400-20deg-18010-1100二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院110442021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1相頻特性與x關系-160-140-120-100-80-60-400-20deg-18010-1011010二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院452021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2相頻特性與x關系-160-180-140-120-100-80-60-400-20deg10-1100二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院101462021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3相頻特性與x關系10-110010二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院472021/6/121-160-180-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5相頻特性與x關系10-1100101二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院482021/6/12-180-160-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0x.5=

0.7相頻特性與x關系10-110010二階因子的對數(shù)相頻特性曲線北京科技大學信息工程學院492021/6/121-180-160-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0x.5=

0.7x

=

1.0相頻特性與x關系當w

=1

時，二階振蕩系統(tǒng)的準確的對數(shù)幅頻特性：T1L

(w

)=

-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

-20

lg

2x幅值誤差與

x

關系二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是1G(

jw

)

=(1-T

2w

2

)

+

j2xTw(1

-T

2w

2

)2

+

4x

2T

2w

2對數(shù)幅頻特性為

L(w

)=

-20

lgT50北京科技大學信息工程學院2021/6/12當w

=1

時，二階振蕩系統(tǒng)的近似折線的對數(shù)幅頻特性：L2

(w

=

0由此得幅值誤差與x關系DL(w

)=

L1

(w

)-

L2

(w

)=

-20

lg

2x6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制10-1100110-4-6-202468101412dB51北京科技大學信息工程學院2021/6/12x

=

0.1幅值誤差與x關系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差-4-202468101412dB-610-1100101二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差52北京科技大學信息工程學院2021/6/12x

=0.1x

=

0.2幅值誤差與x關系-4-610-1100101二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差53北京科技大學信息工程學院2021/6/12-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3幅值誤差與x關系10

10

1054北京科技大學信息工程學院2021/6/12-1

0

1-4-6-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5幅值誤差與x關系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差10-1100

10155北京科技大學信息工程學院2021/6/12-4-6-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x

=0.7幅值誤差與x關系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差10-1100

101-6-4-202468101214dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x

=

0.756北京科技大學信息工程學院2021/6/12x

=

1.0二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差幅值誤差與x關系0L(w

dBww1tj

(w0-57.3L

(w

=

20

lg

G(

jw

)

=

057北京科技大學信息工程學院2021/6/12純滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)

=

e-ts純滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是：G(

jw

)

=

e-

jtw對數(shù)幅頻特性是：對數(shù)相頻特性為：j

(w

=

-57.3tw6.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制8.純滯后環(huán)節(jié)6.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制58北京科技大學信息工程學院2021/6/12本節(jié)將通過一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(Bode圖)的繪制方法和步驟。將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性（伯德圖）的步驟

1、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積形式；2、如存在交接頻率，在ω軸上標出交接頻率的坐標位置；3、各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線；4、修正誤差，畫出比較精確的對數(shù)幅頻特性；5、畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。1

21

2

21

1G(s)

=

K

(T

>

T

)T

s

+1 (T

s)2

+

2xT

s

+11、由一個放大環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應的頻率特性是1

1G(

jw

)

=

KT

w

j

+1

(T

w

j)2

+

2xT

w

j

+11

2

2幅頻特性和相頻特性分別為11

1A(w

)=

KT

2w

2

+1

(1-T

2w

2

)2

+(2xT

w

)2(

)1222

22xwT2j

(w

)=

-arctgTw

-

arctg1-

wT6.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制例6-2

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:解59北京科技大學信息工程學院2021/6/123、各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加；4、修正誤差；5、畫出各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性，相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性;2、存在交接頻率，在ω軸上標出；1

1,T1

T211T1T2dB

φ(ω)4020-45o-90o-180o-270o20lgKω-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅頻特性的繪制1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、振蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加相頻特性的繪制

1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、振蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加60北京科技大學信息工程學院2021/6/126.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制某反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=10(1+

0.1s)s(1+

0.5s)試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線表示）開環(huán)頻率特性為)w2wjw

(1

+

j10(1

+

j

)G(jw

)

=

10

+

20

lg 1

+

10

w

2

w

2L(w

)

=

20

lg10

-

20

lgw

-

20

lg 1

+

2

j

(w

)

=

-90

-

arctg

w

+

arctg

w2

10例6-36.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制解61北京科技大學信息工程學院2021/6/12Frequency

(rad/sec)Phase(deg)Magnitude

(dB)02040-110010110210-150-120-20-40-90-20dB/decBode

Diagram-40dB/dec-20dB/dec6.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制62北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用63北京科技大學信息工程學院2021/6/12一、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)二、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、穩(wěn)態(tài)誤差的分析——系統(tǒng)類型和系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)四、由Bode圖求GK(S)五、由Bode進行動態(tài)分析——瞬態(tài)計算2!

3!64北京科技大學信息工程學院2021/6/12

e

-t

S=

1

-

t

S

+

1

t2

S

2

-

1

t3

S

3

+6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用一、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)定義：在S右半平面上，若沒有系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點，則稱此系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。相反，若在S右半平面有開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點，則稱之為非最小相位系統(tǒng)。注：（1）在穩(wěn)定系統(tǒng)中，若幅頻特性相同，對于任意給定頻率，最小相位系統(tǒng)的相位滯后最??；（2）延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也屬于非最小相位系統(tǒng)；（3）最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性具有一一對應的關系，即對于給定的對數(shù)幅頻特性只有唯一的對數(shù)相頻特性與之對應。（4）判定最小相位系統(tǒng)的方法：a、對于最小相位系統(tǒng)，當ω→∞時，其相位為-(n-m)X90°。（其中m，n分別為傳遞函數(shù)分子和分母多項式的最高階次）b、對于非最小相位系統(tǒng)，當ω→∞時，其相位不等于-(n-m)X90°。c、當ω→∞時，這兩類系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線斜率都等于-20X(n-m)dB/dec。65北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用111

+

jwT1

+

jwTG

(

jw

)

=1120

<

T

<

T1

+

jwTG

(

jw

)

=

1

-

jwT

,jωσT-

1-

1T1-

1T1jωσ1T最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點分布圖例6-4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：試分別繪制其零極點分布圖和Bode圖。解66北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用Bode

DiagramFrequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-5010-210-1100101102-180-135-90-45-10-15-200非最小相位系統(tǒng)相同的幅值特性1最小相位系統(tǒng)

1+

jwT1+

jwT1+

jwT167北京科技大學信息工程學院2021/6/121-

jwT6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用以上結論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。關于最小相位系統(tǒng)的幾個結論：在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相角特性之間具有唯一的對應關系。即，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定。反之亦然。以上結論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。非最小相位系統(tǒng)高頻時相角遲后大，起動性能差，響應緩慢。因此對響應要求快的系統(tǒng)不宜采用非最小相位元件。68北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用二、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定裕量是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量，是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應指標有密切的關系。這里討論由

Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定裕量，并判斷穩(wěn)定性的方法。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕量g

和增益裕度KM

來表示．G

(

jw

)H

(

jw

)

=

1

的頻率，記為

wc剪切頻率wc

—對應于要附加的相角遲后量。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值g

=180

+j

(wc

)6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用系增統(tǒng)益裕穩(wěn)度定G的M充—在要相條頻件特是性：j在(w剪)等切于角-頻18率0

ω的頻處率的w

g處cφ(ωc)G>M-1=80-2。0

l反gG之(j為w

g不)H穩(wěn)(jw定g

)系=統(tǒng)-L(w

g

)相角裕量g

—在剪切頻率w

c處，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所|G(jωg)H(jωg)|<1系統(tǒng)不穩(wěn)定,|G(jωg)H(jωg)|=1．系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,|G(jωg)H(jωg)|>1系統(tǒng)穩(wěn)定69北京科技大學信息工程學院2021/6/12w

CwgGM

>

0g

>

0-180j(w

)ww

Cg

<

0j(w

)70北京科技大學信息工程學院2021/6/12wwwgGM

<

0w-1806.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用如果

g

>

0,

GM

>

0

，則系統(tǒng)穩(wěn)定。L(w

)

L(w

)例6-5解已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：10G(s)

=(2s

+1)((0.2s)2

+

0.2s

+1)(1)繪制折線Bode圖；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定穩(wěn)定性。(1)繪制Bode圖6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用ω4020-45o-90odB

φ(ω)20lg10-60dB/dec0.5

-20dB/dec571北京科技大學信息工程學院2021/6/12(2)求ωc、γ、GM、ωg；10c=1(2

jw

+1)((0.2

jw

)2

+0.2

jw

+1)c

c

c由G(jw

)=c得w

?4.99由g

=1800

+G(jw

)c得到：g

?6.030?

5.240由G(

jwg

)

=

-180

得wg由GM

=-20lg

G(jwg

)得GM

?

0.91(3)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性因為系統(tǒng)是最小相位的，并且g

?

6.030

>

00

,

GM

?

0.91

>

00系統(tǒng)穩(wěn)定72北京科技大學信息工程學院2021/6/12三、穩(wěn)態(tài)誤差的分析——系統(tǒng)類型和系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)系統(tǒng)類型與對數(shù)幅值之間的關系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。73北京科技大學信息工程學院2021/6/12趨近于零時，回路增益越高，靜態(tài)誤差值就越小。當w6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定假設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1n-nG(s)

=

K(T1s

+1)(Tm

s

+1)sn

(T

s

+1)(T

s

+1)1n-nG(

jw)

=

1

m

K(T

jw

+1)(T

jw

+1)(

jw)n

(T

jw

+1)(T

jw

+1)lim

G(

jw

)

=

K

pw

fi

0當ν=0時，

Kp

=

K由于此時最低頻段的幅頻特性斜率為0，其與縱軸的交點是20lgK，可以利用此值確定K。ω-45o-90o-20dB/dec-60dB/decω1ω2dB

φ(ω)40

20lgK206.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用74北京科技大學信息工程學院2021/6/12靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定jw1型系統(tǒng)中G(

jw)

=

Kv

,

w

<<1-

20

dB

/

decw

=1

的直線的交點具有的幅值為20

lg

Kv定理1：斜率為

的起始線段/或其延長線與證明vKjww

=120

lg

v

=

20

lg

Kω＝1時的幅頻特性為：起始線段/或其延長線過（

w

=1,20

lg

Kv

)這一點。dB

φ(ω)ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgK)ω=120lgK75北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用jw-

20dB

/

decw軸的交點為Kv

。定理2：斜率為

的起始線段/或其延長線與證明v20

lg

v

Kjww

=w=

0K

v

jwv=1Kv

=

wv故其延長線與0分貝線的交點的頻率在數(shù)值上等于Kv在與Bode圖的橫軸交點處有：dB

φ(ω)ω201型系統(tǒng)中

G(jw)

=

Kv

,

w

<<1

40-45o-90o-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv76北京科技大學信息工程學院2021/6/126.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用,

w

<<1G(

jw)

=Ka(

jw)220

lgaKa(

jw

)2w

=1=

20

lg

K證明:20

lg

Ka靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定定理3：斜率為-40dB

/dec的起始線段/或其延長線與的直線

w

=1

的交點具有的幅值為6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用77北京科技大學信息工程學院2021/6/12II型系統(tǒng)中Ka(

jw

)2G(

jw

)

=,

w

<<1w軸的交點為

Ka

。定理4：斜率為

-40dB

/

dec的起始線段/或其延長線與證明20

lgKa(

jw

)2w

=wa=

0故，其延長線與0分貝線的交點的頻率在數(shù)值上等于

KaaKa(

jw

)2=1a

aw

=

K在與Bode圖的橫軸交點處有：6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用78北京科技大學信息工程學院2021/6/12Ⅰ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過(w1

=1,

20

lg

Kv

)，四、由Bode圖求GK(S)這里只要求對最小相位系統(tǒng)會從Bode圖求得GK(S)。1、根據(jù)最低頻段的斜率確定系統(tǒng)的類型ν。2、根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。0型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性與縱軸的交點是20lgK。Ka通過橫軸。79北京科技大學信息工程學院2021/6/12最低頻段的幅頻特性在wc

=最低頻段的幅頻特性在wc

=

Kv

通過橫軸。

Ⅱ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過

(w1

=1,

20

lg

Ka

)，3、根據(jù)交接頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用4、根據(jù)二階環(huán)節(jié)的修正情況確定ξ。DL

(w

=

L1

(w

-

L2

(w

=

-20

lg

2x例6-6ω-45o-90o-180o-60dB/dec0.540

-20dB/dec20

52580北京科技大學信息工程學院2021/6/12下圖是一最小相位系統(tǒng)的Bode圖，試寫出其傳遞函數(shù)。dB

φ(ω)6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用dB

φ(ω)ω4020-45o-90o-180o-20dB/dec-60dB/dec0.5525解1、系統(tǒng)的類型ν=0。2、根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。因為20lgK=20，所以K=10。3、根據(jù)交接頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。1081北京科技大學信息工程學院2021/6/12G(s)

=(2s

+1)(0.2s)2

+2x0.2s

+1)4、確定ξ。DL

(w=

-20

lg

2x

=

25x

0.0286.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用ω2040-45o-90o-40dB/dec-60dB/dec(ω=1,30)ω=1例6-7下圖是一最小相位系統(tǒng)的Bode

dB

φ(ω)圖，試寫出其傳遞函數(shù)。1、系統(tǒng)的類型ν=2。3、根據(jù)交接頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。131.620

lg

G(

jw

)w

=Tw

=T=

20

lg=

20(

jw

)2

(Tjw

+1)

1解2、根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。(w

=1,

20lg

Ka

=

30),\

Ka

=

31.631.682北京科技大學信息工程學院2021/6/12=

7.08

w

?1.776jw

2

(

j

+1)6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用最低頻段的直線方程：y

=

-40

lg

w

+

b過點(ω=1,30)，所以30

=

-40

lg1+

b

b

=

30y

y

=20

=

-40

lg

w

+

30w

?1.779

T

=

0.56231.683北京科技大學信息工程學院2021/6/12G(s)

=s2

(0.562s

+1)6.4 最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應用