靜力學(xué)和材料力學(xué)82彎曲剛度

dxyyyyyyyyyyyyyy

變形后位置變形后

位置qq

((xx))wwww((((xxxx))))oooooooooooooo

xxxxxxxxxxxxxxxxxx 變形前位置變形前位置變

形前位置變形前位置變形前位置變形前位置xyoxdxdwq

(x)w(x)數(shù)學(xué)工具箱tanx=

x

+

1

x3

+

2

x5

+3

157.1

彎曲變形的概念1.

梁彎曲變形的度量LaCABFq

tanq

=

dw撓曲線(deflection

curve)撓度(deflection)w

=w(x)

——撓度方程撓度以y軸正向為正。轉(zhuǎn)角(slope)q

=q(x)

——轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角以x

軸向逆時針旋轉(zhuǎn)為正。1

=

–

y

r

(1+

y￠2

)3

2當(dāng)

y

<

0

時，曲線為凸形。xyo數(shù)學(xué)工具箱曲率計算公式r(x)

EI1

=

M

(x)當(dāng)

y

>

0

時，曲線為凹形。判斷撓度曲線的大致形狀2.

撓度曲線曲率與彎矩的關(guān)系M

>

0

M

<

0y

>

0

y

<

0qqqx凹曲線2.

撓度曲線曲率與彎矩的關(guān)系凸曲線拐點注意

拐點處彎矩為零，曲率為零。注意

判斷撓度曲線的形狀時應(yīng)注意梁的約束條件。彎矩為正彎矩為零M

彎矩為負(fù)判斷撓度曲線的大致形狀r(x)

EI1

=

M

(x)LLLmmmmmmmmmm分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？r

EI1

=

MM

圖利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀LLLmmmmmm分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？斜直線mm直線直線M

圖利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀m

mmmLLLLLLmmm分析和討論兩種結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同嗎？兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線相同嗎？兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線的曲率相同嗎？兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線之間有什么關(guān)系？利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀m

m

m分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？aaPPPP利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀P分析和討論哪一種撓度曲線是正確的？PaaPPP

P利用曲率與彎矩的關(guān)系繪制撓曲線大致形狀［例5］試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。a

aBDa（a）

（b）ACaamC

ABq（c）C3aaABqD（d）CaaABDam

m解：作彎矩圖：=

0=

0x

=

2

ax

=

0ww邊界條件：aa[例5]

試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。（a）ABmCDam/2m/2x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

w=

qwq=

wx

=

2a

+x

=

2a

-x

=

2

a

+x

=

2

a

-=

qwq解：作彎矩圖：=

0=

0x

=

2

ax

=

0ww邊界條件：x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

w=

qwq（b）CaaABq9qa2/32qa2/4解：作彎矩圖：wwx

=

3

ax

=

0=

0=

-

D

l

CD邊界條件：=

wwx

=

3a

+x

=

3a

-x

=

3

a

+x

=

3

a

-=

qq（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作彎矩圖：=

0=

0x

=

0x

=

0wq邊界條件：x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

ww=

qq=

wx

=

2a

+x

=

2a

-x

=

2

a

+x

=

2

a

-=

qwq（d）CaaABDam

mm§8-3

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§8-3

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。q(F1

,

F2

,w(F1

,

F2

,+q(Fn

)+w(Fn

),

Fn)

=

q(F1

)

+

q(F2

)

+,

Fn

)

=

w(F1

)

+

w(F2

)

+CL/2L/2BF1

F2

F3Fn16梁的總長為l17B18BFFAA

BB

CCEIEI

aa

aa//22FFAA

BB

CCwwFFAA

BB

CCww11FFAA

BB

CCww11變形體

剛體FF

FFaFa 22AA

BB

Cqq

ww11FFAA

BB

CCww11FFAA

BB

CC

ww11ww22FFAA

BB

CC

ww11ww22FFAA

BB

CC

ww11ww22剛體

變形體FFAA

BB

CCww22FABCwC

點的撓度，是由AB

段變形的影響和BC段變形的影響共同構(gòu)成的。a

Fa3w1

=

q

2

=

-12EI24EI

=

-3EI

2

F

a

3

Fa3w2

=

-8EIFa3wC

=

w1

+

w2

=

-flmlFa

2)a

Fa

23EI

=

-

6EIq

=

-3EI

=

-依據(jù)：若結(jié)構(gòu)可分為若干部分，且各部分在荷載作用下的變形不是相互獨立的，那么，結(jié)構(gòu)中A

點的位移是各個部分在這一荷載作用下的變形在A

點所引起的位移的疊加。二、逐段變形效應(yīng)疊加法(逐段剛化法)FFFFFFFFFFFFFFFFw3FFFFFFFw2jFFFFFFFFFFFw1FLaABC例

求力

F

作用點處的豎向位移

w。BCFa3w1

=

-3EI2w

=

-j

a

=

-GIP

AB(Fa)

LP

ABFa2

La

=

-GIABFL3w3=

-3EIw

=

w1

+

w2

+

w3fl例3

結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+L1

L2

PA

CCPL2f2等價等價B

xfB

xf1ff

=

f1+

f2fPL1L2A剛化AC段CL1ACBL2

PB剛化BC段L1P

L2ACMB

xf2223§7-5計算梁位移的疊加法24用疊加法求圖示外伸梁的θC和vC，梁的抗彎剛度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa解使用疊加積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。(a)將梁上的載荷分解為三種簡單載荷單獨作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACa

qaa(3)ACaaaBM=qa2(2)vC

=

vC(1)

+

vC(2)

+

vC(3)+q

+qqC

=qC(1)

C(2)

C(3)(b)而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨作用的情形。BACaaa(32)qaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqaBACaaa(32)’qa2/2+

q

C

(

32

)+

v

C

(

32

)q

C

(

3

)

=

q

C

(

31

)v

C

(

3

)

=

v

C

(

31

)(c)應(yīng)用撓度表確定三種下，梁c點處的轉(zhuǎn)角和撓度。查表：4EI4EIqa4=-(qa)·(2a)2

qa3qC(1)

=qC(P)

=qA(P)

=-，vC(1)

=vC(P)

=-qA(P)

·a=3EI6EI

3EIqa4=16EI(qa2)·2a

qa3qC(2)

=qC(M)

=qA(M)

=，vC(2)

=vC(M)

=-qA(M)

·a

=-3

EI1,qa

4qa

3v

C

(

32

)qa

32qa

4v

C

(

31

)qa

3·

a

=

-3

EI=

-3

EI=

,3

EI(

qa

)

·

2

a2==

-8

EI=6

EIqC

(

32

)qC

(

31

)而對第三種情形下二種載荷單獨作用下，應(yīng)用疊加法進(jìn)行疊加。qaqaqaqaqa11

qa444333=

-24

EI=

-

-8

EI

3

EI=

+

=6

EI

3

EI

2

EI，q

C

(

3

)

=

q

C

(

31

)

+

q

C

(

32

)v

C

(

3

)

=

v

C

(

31

)

+

v

C

(

32

)(d)應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。vC13

qa

4=

-24

EIqa

4

qa4

11qa

4=

-

-4

EI

3

EI

24

EI=

vC

(1)

+

vC

(

2

)

+

vC

(

3

)qa

3

qa

3

qa

3

7

qa

3=

-

+

+

=4

EI

3

EI

2

EI

12

EI=

qC

(1)

+

qC

(

2

)

+

qC

(

3

)\

qC(已知AB段和BC段的長度都為a)29A30BCB’C’例6.5

已知：P1

,

P2

,

a,l,

EI

=常數(shù)。求：yC

,qB。解：簡化為外伸梁如圖。ADBCl

/2l

/2aFF1ABF2Cl/2Dl/2F1aABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMByC2CF1將AC梁分為兩個部分。將AC梁分為兩個部分。簡支梁在B處的內(nèi)力:s

1F

=

FMlB

M3EI(q

)

=F

al33EI=

1

由p.

188

表6.1中的6

由表6.1中的8B

F2F

l

216EI(q

)=

-

2

所以2qB

=

(qB

)M

+

(qB

)F3EIF

al3

F

l

216EI=

1

-

2

M

=

F1a求

qB

Fs不引起變形。ABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMBF1yC2C由表6.1中的2求yCC點的位移由兩部分組成：由B截面轉(zhuǎn)角引起的位移和由懸臂梁BC的變形By

=

aqC

1F

a2l33EI=

1

F

al

216EI-

2

C

2F

a3y3EI=

1

引起的位移。ABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMBF1yC2CC

2y

=

y

+

yC

C

1F

a23EIF

al

216EI=

1

(a

+

l)

-

2

34§7-5計算梁位移的疊加法根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承BB處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。

1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B

處的轉(zhuǎn)角為：B3EI=

Flaq解§7-5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計例5

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20

kN，a＝l

m，l＝2

m，E=206

GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角[θ]=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。35目錄例6

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20

kN，a＝l

m，l＝2

m，E=206

GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角[θ]=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：qB

￡

q]264

·

20

·103

·

2

·1·180=

4=

111·10-3

m

=

111mm3

·

206

·109

·p

·0.53Ep[q]p64Fla

·180d

?

4§7-5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計￡

[q]3EI

pFla

180Fla

·180I

?3Ep

[q]pd

4

Fla

·18036目錄?64

3Ep[q]§7-6簡單靜不定梁37§7-6簡單靜不定梁38§7-6簡單靜不定梁39§7-6簡單靜不定梁402a(a)aBFCMAAFAy解例6

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。(c)(b)BACFCBAFBy1）判定超靜定次數(shù)2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)(d)ABCABFCyB

=

(

yB

)F

+(

yB

)F

=

0By§7-6簡單靜不定梁3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件FBy41目錄4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程6EIF

(2a)2

14Fa3(9a

-

2a)

=

-3EI(

yB

)F

=

-ByBFBy3EI8F

a3(

y

)

==

0+-8F

a33EI

3EI14Fa3By所以By4F

=

7

F4）由整體平衡條件求其他約束反力M

=

Fa

(

),

F

=

-

3

F

(

)A

2

Ay

4§7-6簡單靜不定梁2a(a)aBFCMAAFAy(c)(b)A

B

CFCBAFBy(d)ABCABFCM

AFBy42目錄FAyP2=2kNACL=400mm

a=0.1mP例4

下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的

E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f/L]=0.00001,B點的[q]=0.001弧度,試校核此桿的剛度。=++=ACP2BCDAP2=2kNCD

B200mm

P1=1kND

BP1=1kND

BABCaP2BCDAP2MP2BCa=++圖1圖216EIP

L2a11C

1Bf

=q

a=16EIP

L211Bq

=3B=-

ML

=-LaP23EI

3EIq3

EIP La

2f

3

C

=q

3

B

a

=-

2

解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單載荷變形。2

Bq

=03EIP

a32f2C

=-P2=2kNa=0.1mP1P

=1kNCP2BCDAMxC圖3L=400mmA

D

Bf

200mm

P1=1kNA

D

BP2BCa=++圖1圖2P2=2kNa=0.1mP1L=400mmA

D

B1P

=1kNA

D

BCP2BCDAMxCf

200mm

P

=1kNPL2a P

a3

P

a2

L16EI3EI

3EIfC

=

1

-

2

-

2

P

L2

P

La16EI

3EIqB

=

1

-

2

疊加求復(fù)雜載荷下的變形64圖3643.14-12=188·10-8

m4=

(804

-404

)·10I

=

p

(D4

-d

4

)2-

=-5.19·10-6

m1

-

2P

a2

L16EI

3EI

3EIP

L2a P

a3f

=C0.4

400

200(

-

)=-0.423·10-4

(弧度)210·1880

16

3=1

-

216EI

3EIP

L2

P

LaBq

=qmax

=0.423·10

<[q

]=0.001-4

L

￡

f

Lf

max-

5

m=

5

.

19

·10

-

6

m

<[f

]=10f

max校核剛度M1

(x1

)

=

qax12(0

￡

x1

￡

a)2222

2(xq2(a

￡

x

￡

2a)-

a)M

(x

)

=

qax

-q112222q2EIyEIy

?

=

qax?=

qax

-(

x

-

a)q21112qax￠EIy

=+

CEIy

?

=

qax1

12222q2EIy?=

qax

-(

x

-

a)3111

1

16qaxEIy

=+

C

x

+

D已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。解：由對稱性，只考慮半跨梁ACDayACB

xaaaDEx2AF

=

qaFB

=

qayx1aACB

xaaaDE12

12￠

￠=

yy

=

y

,

y2

1D

=

D得C1

=C2由連續(xù)條件：x1

=x2

=a由邊界條件：x1

=0y1

=

0得D1

=022由對稱條件：x

=

2a26y

￠=

0

得C

=

-11

qa32322222qa￠EIy

=x

-(

x

-

a)+

C342222

226

24qaq6qEIy

=

x

-(

x

-

a)+

C

x

+

D10

￡

x￡

a11q

=

-qa(11

a

2

-

3

x

2

)2a

￡

x

￡

2

a22q

=

-6

EIq6

EI[

-3ax22

+

(

x-

a

)

3

+

11

a

311qa

3q

max

=

q

A

=

q1

x1

=0

=

-

6EI19qa4ymax

=

y2

x

=2a

=

-

8EI210

￡

x￡

a2a

￡

x

￡

2a111yqa=

-6

EI(11a

2

x-

x

3

)222

2=

-yq24

EI[-4ax

3

+

(

x

-

a

)4

+

44

a3x

]目錄例6.39圖示的結(jié)構(gòu)中,梁為16號工字鋼,拉桿的截面為圓形d=10mm,兩者的材料相同均為Q235鋼,E=200Gpa試求梁及拉桿內(nèi)的最大的正應(yīng)力.解：FBCq=10KN/mL=4mABq=10KN/mL=4m5mABCBC桿是二力桿,作用在鉸接BC點B有力F

如圖所示.BC桿的變形為:BCBCEADLF

L=

BC

BC4103p5·103

F

F=

BC

=

BC

3

p

·102200

·10FFl3

F

(4

·103

)3y

==

BC

由于:3EI

3·

200

·103

·1.13·107DLBC

=

yBq

-

yBFl3Fql

4

F8EI

3EI-+

BC

=

-

BC

p

·103AB梁的截面慣性矩查表4為:I=1130Cm4

WZ=141cm3AB梁在B的變形查表為:ql

4

10

·(4

·103

)4yBq

=

-

8EI

=

-

8·

200

·