積分第一中值定理及其推廣證明_第1頁(yè)
積分第一中值定理及其推廣證明_第2頁(yè)
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積分第一中值定理及其推廣證明_第4頁(yè)
積分第一中值定理及其推廣證明_第5頁(yè)
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積分第一中值定理:aa乘以g(x)可以推出,此時(shí)對(duì)于任意的x[a,b]都會(huì)有mg(x)f(x)g(x)Mg(x)aaaaaaa命題得證.aa成立.FxjxftgtdtGxjxgtdtF(x),G(x)在[a,b]上連續(xù)。aaaaF(b)-F(a)ajbgtdtg(飛),aaa于函數(shù)g(x)在[a,b]上可積且不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x)>0。而F,(x)=f(x),x=[a,b]。我們就可以得到下面等式mjbg(x)dx共jbf(x)g(x)dx共Mjbg(x)dx(2.2.1)aaaa(1)。如果jbg(x)dx=0，由等式(2.2。1)可得出jbf(x)g(x)dx=0,那么aaaa(2)。如果jbg(x)dx>0，將(2.2。1)除以jbg(x)dx可得aajbf(x)g(x)dxjm共ajbg(x)dx共M，(2.2.2)aaa12xxab12121222aa成立,從而結(jié)論成立.(Ⅱ)如果(2.2.2)式中僅有一個(gè)等號(hào)成立時(shí),我們不妨假設(shè)山=M，因?yàn)?11111a恒有g(shù)(x)>0成立，我們可以將(2.2.3)式進(jìn)行簡(jiǎn)化aajjafxgxyajxMfxgxdx=0(2.2。5)y1在式子(2。2。5)下必定存在=[a,b]仁(a,b),使得f()==M.111MfxgxMfxg(x)>0。jbMfxgxdxab]上有[Mf(x)

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