江蘇省常州市市第四高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

江蘇省常州市市第四高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的是 A. B. C. D.參考答案：D2.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長均相等，D為AA1的中點．M、N分別是BB1、CC1上的動點（含端點），且滿足BM=C1N．當(dāng)M，N運動時，下列結(jié)論中不正確的是(

) A．平面DMN⊥平面BCC1B1 B．三棱錐A1﹣DMN的體積為定值 C．△DMN可能為直角三角形 D．平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，]參考答案：C考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：空間位置關(guān)系與距離；簡易邏輯．分析：由BM=C1N，得線段MN必過正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面積不變，N到平面A1DM的距離不變，得到三棱錐A1﹣DMN的體積為定值；利用反證法思想說明△DMN不可能為直角三角形；平面DMN與平面ABC平行時所成角為0，當(dāng)M與B重合，N與C1重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大．解答： 解：如圖，當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運動時，若滿足BM=C1N，則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正確；當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運動時，△A1DM的面積不變，N到平面A1DM的距離不變，∴棱錐N﹣A1DM的體積不變，即三棱錐A1﹣DMN的體積為定值，B正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC1，而此時DM，DN的長大于BB1，∴△DMN不可能為直角三角形，C錯誤；當(dāng)M、N分別為BB1，CC1中點時，平面DMN與平面ABC所成的角為0，當(dāng)M與B重合，N與C1重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為∠C1BC，等于．∴平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，]，D正確．故選：C．點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．3.如圖，動點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線BD1上．過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N．設(shè)BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】只有當(dāng)P移動到正方體中心O時，MN有唯一的最大值，則淘汰選項A、C；P點移動時，x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的，則淘汰選項D．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為1，顯然，當(dāng)P移動到對角線BD1的中點O時，函數(shù)取得唯一最大值，所以排除A、C；當(dāng)P在BO上時，分別過M、N、P作底面的垂線，垂足分別為M1、N1、P1，則y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函數(shù)，所以排除D．故選B．【點評】本題考查直線與截面的位置關(guān)系、空間想象力及觀察能力，同時考查特殊點法、排除法．4.命題p：若λ=0，則=0；命題q：?x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，則下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)合命題的真假．【分析】先判斷命題p，q的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案．【解答】解：若λ=0，則=，故命題p為假命題；當(dāng)x0=1時，x0﹣1﹣lnx0=0，故命題q為真命題，故p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均為假命題；（￢p）∧q為真命題，故選：D5.某學(xué)校從高二甲、乙兩個班中各選6名同掌參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是

85，乙班學(xué)生成績的平均分為81，則x+y的值為(

)

(A)6

(B)7(C)8

(D)9參考答案：D略6.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則A.

B.

C.

D.

參考答案：D略7.函數(shù)的定義域為（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，2] C．[0，2] D．[0，2）參考答案：D【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】直接由根式內(nèi)部的對數(shù)式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式組，求解即可得答案．【解答】解：由，解得0≤x＜2．∴函數(shù)的定義域為：[0，2）．故選：D．8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則，求出z的值，再判斷復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的位置．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=|﹣i|（i是虛數(shù)單位），則z====1﹣i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z（1，﹣1）位于第四象限．故選：D．9.若函數(shù)f（x）=x3﹣3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）參考答案：A【考點】函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由函數(shù)f（x）=x3﹣3x+a求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而知道函數(shù)圖象的變化趨勢，要使函數(shù)f（x）=x3﹣3x+a有3個不同的零點，尋求實數(shù)a滿足的條件，從而求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），當(dāng)x＜﹣1時，f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，∴當(dāng)x=﹣1時f（x）有極大值．當(dāng)x=1時，f（x）有極小值，要使f（x）有3個不同的零點．只需，解得﹣2＜a＜2．故選A．【點評】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)圖象的變化趨勢，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和運動的思想方法，屬中檔題．10.過雙曲線(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A因為，所以是的中點。設(shè)右焦點為,則也是拋物線的焦點。連接,則，且,所以，設(shè)，則，則過點F作軸的垂線，點P到該垂線的距離為，由勾股定理得，即，解得，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1023個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為________．參考答案：由題意，正方形的邊長構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個正方形，則有，∴n=10，∴最小正方形的邊長為，故答案為.

12.已知向量夾角為，且=_________參考答案：13.在平面幾何里，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個正三角形的高的”.拓展到空間，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的

.參考答案：14.某高中學(xué)校三個年級共有團(tuán)干部56名，采用分層抽樣的方法從中抽取7人進(jìn)行睡眠時間調(diào)查.其中從高一年級抽取了3人，則高一年級團(tuán)干部的人數(shù)為________．參考答案：24【分析】利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論?！驹斀狻磕掣咧袑W(xué)校三個年級共有團(tuán)干部名，采用分層抽樣的方法從中抽取人進(jìn)行睡眠時間調(diào)查.其中從高一年級抽取了人，高一年級團(tuán)干部的人數(shù)為：，故答案為24?！军c睛】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題15.設(shè)向量與的夾角為，且，，則

．參考答案：16.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關(guān)系：。若三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為

.參考答案：17.由曲線與直線所圍成的圖形的面積是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。(1)若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數(shù)的值；(2)若，求方程在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.參考答案：（1）則

………5分（2)設(shè)，，令

………7分極大所以，原問題

………10分又因為設(shè)（）所以在上單調(diào)遞增，所以有兩個交點

………12分19.設(shè)f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知f（x）在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x），利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）分別討論a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行驗證即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，當(dāng)a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0，當(dāng)x＞時，g′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜，g′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，∴當(dāng)a≤0時，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1處取得極大值，∴f′（1）=0，①當(dāng)a≤0時，f′（x）單調(diào)遞增，則當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）在x=1處取得極小值，不合題意，②當(dāng)0＜a＜時，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．③當(dāng)a=時，=1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＞0時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．④當(dāng)a＞時，0＜＜1，當(dāng)＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值，滿足條件．綜上實數(shù)a的取值范圍是a＞．20.已知函數(shù)，．（1）解不等式；（2）若對于，，有，，求證：．參考答案：（1）；（2）證明見解析.試題分析：（1）解不等式即可；（2）利用絕對值三角不等式可證明.試題解析：（1）解：，即，解得．（2）證明：．考點：絕對值不等式的解法.21.（本小題滿分12分）

的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

⑴求；

⑵若，求面積的最大值．

參考答案：解：⑴由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinA

…………①又因為，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC…………②由①②和得：sinB=cosB又,所以⑵，由已知和余弦定理得：又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.的最大值為.

略22.設(shè)函數(shù)在及時取得極值．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求c的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，

因為函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f'（1）=0，f'（2）=0．

即解得a=-3，b=4．

（Ⅱ