（2019新教材）人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)同步練習(xí)

（2019新教材）人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)同步練習(xí)

6.1平面向量的概念

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都共線；

②長(zhǎng)度相等的向量都相等；

③共線的單位向量必相等；

④與非零向量a共線的單位向量是看

A.3B.2

C.1D.0

解析：選D.根據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，與非零向量〃共

線的單位向量是潦或一臺(tái)故④也是錯(cuò)誤的.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若@與力平行，力與c平行，則。與c一定平行

B.終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線

C.若⑷>的,51IJa>b

D,單位向量的長(zhǎng)度為1

解析：選D.A中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若6=0,則a與c不一定平行.B中，

兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0°或180°,則共線.C中，向量是既有大小，又有方向的量，

不可以比較大小.

3.如圖，在正六邊形ABC0E/中，點(diǎn)。為其中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.AB=OC^.AB//DE

C.\AD\^\BE\Y）.AD=FC

解析：選D.由題圖可知，|有）|=|元？I,但屈）、元?的方向不同，故通豐危，故選D.

4.設(shè)。是△A8C的外心，則啟，BO,劭是（）

A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起點(diǎn)相同的向量

解析：選B.因?yàn)槿切蔚耐庑氖侨切瓮饨訄A的圓心，所以點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)4,B,C的

距離相等，所以曲，BO,曲是模相等的向量.

5.若。是任一非零向量，6是單位向量，下列各式：①⑷＞向；②。〃岳③間＞0；④步|=

±1;⑤裾="其中正確的有（）

A.①④⑤B.③

C.①②③⑤D.②③⑤

解析：選B.①|(zhì)礎(chǔ)＞|"不正確，a是任一非零向量，模長(zhǎng)是任意的，故不正確；②不一定有

a//b,故不正確；③向量的模長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)，而向量a是非零向量，故|a|＞0正確；④步|=1,故

④不正確；端是與a同向的單位向量，不一定與》同向，故不正確.

6.如圖，已知正方形4BC。的邊長(zhǎng)為2,。為其中心，則|5X|=.

解析：因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線長(zhǎng)為2啦，所以|蘇|=41

答案：啦

7.如果在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正△ABC中，一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線段為國(guó)）（其中。在邊BC

上運(yùn)動(dòng)），則向量命長(zhǎng)度的最小值為.

解析：根據(jù)題意，在正△ABC中，有向線段AO的長(zhǎng)度最小時(shí)，應(yīng)與邊BC垂直，有

向線段A。長(zhǎng)度的最小值為正AABC的高，為乎.

較案.區(qū)叵

8.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量切與向量油是平行向量，與正是共線向量，則

m=.

解析：因?yàn)锳,B,C不共線，

所以嬴與證不共線.

又，”與后，病都共線，

所以7/1=0.

答案：0

9.在平行四邊形ABCO中，E,F分別為邊A。，BC的中點(diǎn)，如圖.,~/

（1）在每?jī)牲c(diǎn)所確定的向量中，寫出與向量后共線的向量；///

BC

（2）求證：BE=FD.

解：（1）由共線向量滿足的條件得與向量正共線的向量有：CF,BC,CB,BF,FB,ED,

DE,AE,EA,AD,DA.

（2）證明：在。A8C。中，觸BC.

又E,尸分別為A￡>,BC的中點(diǎn)，

所以EDBF,

所以四邊形是平行四邊形，

所以BE^FD,

所以由=而.

10.已知在四邊形A8CD中，AB//CD,求而與正分別滿足什么條件時(shí)，四邊形A8C￡>

滿足下列情況.

（1）四邊形ABCD是等腰梯形；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形.

解：（1）|Q）|=|的，且病與病不平行.

因?yàn)榍啊ǘ?，所以四邊形ABC￡>為梯形或平行四邊形.若四邊形A8CZ）為等腰梯形，則

|屐同時(shí)兩向量不平行.

（2）病=的（或病〃陌.

若國(guó)）=正，即四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，此時(shí)四邊形A8CQ為平行四邊形.

[B能力提升]

11.在菱形A8CZ）中，ND48=120。，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.與荏相等的向量只有一個(gè)（不含Q）

B.與誦的模相等的向量有9個(gè)（不含贏）

C.防的模恰為反模的S倍

D.油與反不共線

解析:選D.兩向量相等要求長(zhǎng)度（模）相等，方向相同.兩向量共線只要求方向相同或相反.力

中無(wú)，/立所在直線平行，向量方向相同，故共線.

12.如圖，等腰梯形ABCO中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,F4————

分別在腰A。，BC上,EF過(guò)點(diǎn)P,KEF//AB,則（）V\

DC

A.AD=BCB.AC=BD

C.PE=PFV).EP^PF

解析：選D.由平面幾何知識(shí)知，國(guó))與慶'方向不同，故病手應(yīng)；病與度)方向不同，故啟

豐前＞;能與際的模相等而方向相反，故而豐亦;分與際的模相等且方向相同，所以談=赤.

13.如圖，在aABC中，/AC8的平分線CO交AB于點(diǎn)D若啟的模為2,病的模為3,

Q)的模為1,則加的模為.

C

上

ADR

解析：如圖，延長(zhǎng)CD,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡Q

因?yàn)閆ACD=ZBCD=ZAED,fV\

所以的=|成I\\

4'、加、、B

因?yàn)椤鰾OC,'、、\

、、?＜

國(guó)西函M3E

所以七1二尊二七「，故|Z)BI=5.

\DB\13clIfid

3

答案：;

14.某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)8點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)

C點(diǎn),到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)0點(diǎn).

(1)作出向量麗，BC,CD-,

(2)求向量而的模.

解：(1)作出向量b，BC,CD,

如圖所示.

(2)由題意得，

△BCD是直角三角形，其中NBQC=90°,8c=1帖米，8=10米，所以B￡＞=10

米.ZvlB。是直角三角形，其中NABO=90°,AB=5米，BD=10米，所以AD=\/?不F=

5小(米).

所以瓜bl=5小.

［C拓展探究］

15.如圖，A|,4，…，4是。o上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以A|，A2，…，4及圓心0九

個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，模等于半徑的向量有多少個(gè)？模等于半徑的啦倍的

向量有多少個(gè)？

解：模等于半徑的向量只有兩類，一類是忌口=1,2,8）,共8個(gè)；另一類是鼠（i

=1,2,…，8）,也有8個(gè).兩類共計(jì)有16個(gè).以Ai,42,…，4中四點(diǎn)為頂點(diǎn)的。0的內(nèi)

接正方形有兩個(gè)，一個(gè)是正方形A1A?5A7,另一個(gè)是正方形A2A.在題中所述的向量中，

只有這兩個(gè)正方形的邊（看成有向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量）的長(zhǎng)度為半徑的啦倍，故模為半

徑的啦倍的向量共有4X2X2=16（個(gè)）.

6.2向量的運(yùn)算

［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.在三角形A8C中，BA=a,CA=b,則為=（）

A.a——bB.b——a

C.a+bD.-a-b

解析：選B.為=E+贏=8+（一蕩）=b-a

2.若O,E,尸是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（）

\.EF=OF+OEB.EF^OF-OE

C.EF^-OF+OE\）.EF^-OF-OE

解析：選B.加=或）+稱=稱一況：=的一日）=一麗一］.故選B.

3.如圖，在四邊形ABCZ）中，設(shè)油=a,AD=b,BC^c,則比=（）

D

/

b

AR

A.a-b+cB.6—（a+c）

C.a+Z＞+cD.b-a+c

解析：選A.反=5X+矗+&?="一〃+c.

4.給出下列各式：

①祐+8+淤

@AB-cb+BD-AC^

③Ab—db一私

@NQ-MP+QP+MN.

對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為0的式子的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：選A.①贏+3+於=啟+以=0;

②矗一而+礪一元=Q+應(yīng)）一（危+而）=病一病=（）；

③而一而—?dú)v=廢＞+而+d=Ab+5i=o；

@i^-MP+^+MN=l^+^+MN-MP=NP+PN=（）.

5.對(duì)于菱形ABC。，給出下列各式：

①誦二正；②而1=1的；③I初一無(wú)|=|疝+匠|；?\AD+CD\^\cb-cii\.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C.由菱形的圖形，可知向量矗與病的方向是不同的，但它們的模是相等的，所

以②正確，①錯(cuò)誤；因?yàn)橐欢鴟=|矗+成1=2|巍|,|由）+的=2|就］,且|矗|=|的，所以

\AB-CD\=\AD+BC\,即③正確；因?yàn)辂?歷|=|病+而|=|而|比一瓦|=|比+就］=|麗

|,所以④正確.綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為3,故選C.

6.若a,b為相反向量，且|a|=l,|。|=1,則|。+臼=,\a-b\=.

解析：若a,b為相反向量，則Q+》=0,所以|a+》|=0,又.a=-b,所以⑷=|一b|=l,

因?yàn)閍與一Z＞共線，所以|。一臼=2.

答案：02

7.已知的對(duì)角線AC和80相交于O,且d=a,OB=b,則比=,BC

=.（用a，b表示）

解析：如圖，DC^AB^OB-OA=b~a,BC=OC~OB^~OA-OB

=-a~b.

答案：b-a—a-b

8.給出下列命題：

①若沆)+無(wú)=而則痂一麗=麗；

②若db+5k=而,則而+5b=麗;

③若應(yīng))+無(wú)=而則礪一成)=痂;

④若麗+落=血?jiǎng)t加+訪=歷.

其中正確命題的序號(hào)為

解析：①因?yàn)闅v+無(wú)=而,

所以5b=而一施,正確；

②因?yàn)檠幻?。及所以血+麗=無(wú)，正確；

③因?yàn)榻?一擊，所以歷一反＞=3防，正確；

④因?yàn)橐?防=一麗一唬，所以慶＞=麗+應(yīng)＞,正確.

答案：①②③④

9.如圖，已知d=a,OB=b,OC^c,db=d,OF=f,試用a,b,c,d,A

/表示以下向量：^Jo

(1)AC；(2)俞；BD

(3)病一矗；(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

解：⑴布=沆一后=c-a.

(2)AD=Ab+db=db-dA=d-a.

(3)AD-AB=Bb=0b-0B=d-b.

^)AB+&=OB-OA+OF-OC=b-a+f-c.

{5)RF-Bb=OF-OB-(db-OB^OF-OD=f-d.

10.如圖所示，口43?！辏局校珹B=a,AD=b.

DC

AaB

⑴用a,方表示證，DB-

(2)當(dāng)a,〃滿足什么條件時(shí)，a+力與a-b所在直線互相垂直?

解：⑴n=A3+0=Z>+a,DB=AB-AD=a-b.

(2)由(1)知。+6=/，a~b=DB.

因?yàn)閍+b與a-b所在直線垂直，

所以ACJ_BD又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

所以四邊形ABCD為菱形，

所以同=|瓦

所以當(dāng)⑷=|臼時(shí)，a+b與a-b所在直線互相垂直.

[B能力提升]

11.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①若線段AC=AB+8C,則向量/=誦+冊(cè);

②若向量啟=汗方+正，則線段4c=AB+BC；

③若向量油與慶:共線，則線段AC=AB+BC；

④若向量贏與正反向共線，^\AB-BC\=AB+BC.

其中正確的結(jié)論有.

解析：①由AC=AB+8C得點(diǎn)B在線段AC上，則/=Q+/，正確.

②三角形內(nèi)4d=誦+說(shuō)但ACHAB+BC,錯(cuò)誤.

③贏，成;反向共線時(shí)，\AC\=\AB+BC\=f=\AB\+\BC\,也即ACWA8+BC,錯(cuò)誤.

?AB,比反向共線時(shí)，\AB-BC\=\AB+(~BC)\=AB+BC,正確.

答案：①④

12.已知|=a,\OB\^b(a>b),而|的取值范圍是[5,15],則a,。的值分別為

解析：因?yàn)閍-Z?=||5A|-|OB||^|OA-dB|=|Afi|^|ft4|+|OB|=?+fe,

a+b=\5,frz=10,

所以解得

a—b=5,[b=5.

答案：105

13.在△ABC中，\AB\=\BC\=\&\=\f^\\AB-BC\=.

解析：如圖，在△A8O中,

AB=BD=\f

ZABD=]20°,

AB-BC^AB+CB

=AB+BD^AD.

易求得AD=小,即而|=小.

所以|油一反］=小.

答案:小

14.如圖所示，點(diǎn)。是四邊形ABC。內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a,h,c,

d的方向(用箭頭表示)，使a+Z?=8A,c-d=DC,并畫出》一c和a+d.

解：因?yàn)閍+b=8A,c-d=DC,所以a=OA,b=BO,c=OC,d

=礪.如圖所示，作平行四邊形OBEC,平行四邊形0￡)船.根據(jù)平行四邊

形法則可得，b~c=EO,a+d=OF.E

［C拓展探究］

15.已知△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,M是斜邊AB的中點(diǎn)，CM=a,CA=

C

AMB

求證：(l)|a-ft|=|?|；

(2)|?+(a—Z>)|=|Z>|.

證明：因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，NACB=90°,

所以CA=CB.又M是斜邊AB的中點(diǎn)，

所以CM=AM=BM.

(1)因?yàn)?5/—3=病，

又|病|=|兩，所以|。一臼=同

(2)因?yàn)镸是斜邊AB的中點(diǎn)，

所以病=訕，

所以a+(a-b)=昂+(由一而)=詼+病=所+訕=史,

因?yàn)閨CA|=|CB|,

所以|a+(a-〃)|=|臼.

向量的數(shù)量積

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.已知辦8。。中ND48=30°,則病與而的夾角為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選D.如圖，病與無(wú)的夾角為N4BC=150°.

AR

2,已知單位向量a,b,則（2a+?-（2a—力的值為（）

A.小B.小

C.3D.5

解析：選C.由題意得（2a+b>（2〃一加=4屋一好=4-1=3.

3.（2019?北京市^^一^中學(xué)檢測(cè)）己知平面向量〃，力滿足0（〃+））=3且|〃|=2,|^|=1,則

向量。與b的夾角為（）

JT兀

ATBT

2n5n

D.~7-

3o

解析：選C.因?yàn)閍-（a+b）=a1+ab=4+2cos〈a,b>=3,所以cos〈a,b〉又

因?yàn)椤碼,b>e[0,n],所以〈a,b〉=乎.

4.若向量a與〃的夾角為60°,步|=4,（。+2好（。-33=-72,則⑷=（）

A.2B.4

C.6D.12

解析：選C.因?yàn)?a+2b)?3b)=。2—a.b—6b2

=|a|2-|a|-|A|cos60°-6|*|2

=|0『一2⑷-96=-72.

所以⑷2—2⑷-24=0.

解得⑷=6或⑷=一4(舍去).故選C.

5.（2019?廣東佛山質(zhì)檢）如圖所示，△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且A6=L則

AB?BC等于（）

^^

-22

A.C

B.

33

-D.-

-22

解析：選C.因?yàn)锳ABC是頂角為120°的等腰三角形，且AB=1,所以BC=45，所以腦就

=IX小Xcos150。

6.若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏東60°方向，且悶=團(tuán)=1,貝I（一

3a＞（a+A）=.

解析：設(shè)a與〃的夾角為e,則6=120°,所以（一3。＞（4+3=—3|。|2—3。功=一3一

13

3X1X1XCOS1200=-3+3X2=-j.

答案：一53

nF-

7.已知向量”與〃的夾角是子且同=1,協(xié)|=2,若（小a+M）_La,則實(shí)數(shù)7=.

解析:根據(jù)題意得a-Z＞=|a||/＞|cos-y=1,因?yàn)椋ㄐ+勸）_La,所以（小a+勸）?”=小《2+/10。

=小+2=0,所以a=一小.

答案：一小

8.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB?AC=8,則△ABC的形狀是.

解析：因?yàn)橛?病=|痼而cosN8AC,即8=4X4cosN84C,于是cosNBAcQ所以

/BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等邊三角形.

答案：等邊三角形

9.己知非零向量a,b,滿足|a|=l,（a—b＞（a+b）=,且a功=2.

（1）求向量a,b的夾角；

⑵求|a-夙

解：（1）因?yàn)椋╝—》）■（“+/＞）=；,

所以Q2—1=B，即同2一步產(chǎn)=!,

又所以|臼=苧.設(shè)向量。，力的夾角為仇

因?yàn)椤?方=3，所以⑷?|b|cos8=2，

J2

所以cose=M，因?yàn)?°W8〈180°,所以8=45°,所以向量明力的夾角為45°.

(2)因?yàn)閨°一肝=32=|a『一”b+步|2=菱,

歷

所以|0一4=2-

10.已知|a|=2|臼=2,e是與b方向相同的單位向量，且向量a在向量力方向上的投影向

量為一e.

⑴求a與b的夾角。；

(2)求(。-26)?。?/p>

(3)當(dāng)2為何值時(shí)，向量癡+6與向量a-3b互相垂直？

解：(1)由題意知與=2,|例=1.

又a在5方向上的投影向量為|a|cos6e=—e,

所以cose=—g，所以人4'.

⑵易知a/=|aH》|cos6=—\,則(a—26>b=a?Z?—2。?=—1—2=—3.

(3)因?yàn)椤?》與a-3b互相垂直，

所以(2a+b>(a—3ib)=Aa2-3Xa-b-\-ba—3ft2

=42+32-1-3=72-4=0,

4

所以

[B能力提升]

11.在△4BC中，若病=油?啟+或?威+日?無(wú)，則△48(7是()

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

解析：選D.因?yàn)橼A2=初-AC+BA-BC+CA?無(wú)，所以油?一疝-AC=BA-BC+CA-CB,

所以誦?(AB-AC)=BC?(BA-CA),

所以祐?CB=BC1,所以於?(BC+AB)=0,

所以正?啟=0,

所以ACJ_BC,所以△ABC是直角三角形.

12.若|a+〃|=|a—臼=2間，則向量a—與b的夾角為()

JIn

A?不BT

2叮5n

c--DT

解析：選D.由|a+臼=|“一臼可得a力=0,由|a一例=2間可得加2=廿,所以步尸?、?，設(shè)

向量af與〃的夾角為6,則cos。=:二或|"=薪L湍=T'又問(wèn)°,

5n

n],所以夕=二一.

13.在△ABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,。是邊BC上一點(diǎn)，成：=2由），則疝?證

解析：由虎=2彷，所以礪=g正，BC^AC-AB,

故病?BC=(AB+BD)BC

=Afi+|-(AC-AB)]?(AC-AB)

,2-,1—、——

=(jAB+]ACj?(AC—A8)

,AC+^AC2—1^2

=||A?||AC|COS120°+||AC|2-||AB|2=|X2X1X(^-^+|X1-|X22=-1.

答案：一號(hào)

14.設(shè)向量g,e2滿足|e1|=2,電1=1，幻，G的夾角為60°,若向量2處+7e?與向量e1

+修的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

解：由向量2/6]+7。2與0]+，02的夾角為鈍角，

,、、（2回+7。2）,（。]+/。2）

仔—12徒1+7R?|ei+g|~<0,

即（2/ei+7e2）?]+解2）<0,

化簡(jiǎn)即得2『+15，+7<0,

畫出y=2/+151+7的圖象，如圖.

若2r2+15，+7<0,

則，《（一7,—3）.

當(dāng)夾角為Tl時(shí),也有（2?+7c2）?（d+超2）<0,

但此時(shí)夾角不是鈍角，

設(shè).2曲+7?2=2（。1+/。2）,A<0,可得

2t=入,（A=-y[\4,

<7=〃,_g

,A<0l'=_2'

所以所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是

JTU（一"

[C拓展探究]

15.在四邊形ABCD中，已知4B=9,BC=6,&=2PD.

（1）若四邊形ABCO是矩形，求成?崩的值；

（2）若四邊形ABCO是平行四邊形，且Q?麗=6,求麗與俞夾角的余弦值.

解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BC￡>是矩形，所以Q）?反=0,

-A-A-A1-A-A2~~A2A

由CP=2PO,得OP=]OC,CP=^CD=~^DC.

所以崩?BP=（AD+DP）?（BC+&）

22

=-2-

1-?/X?95C9

(2)由題意，AP=AD+DP=AD+^DC=Ab+yiB,

ff2-*f2f

BP=BC+CP=BC+^CD=AD-^ABf

所以崩,BP=?(A￡)—1A3)

=啟一拘?AD-IAB2

1——*?—?1—?—?

=36—qAB?A。-18=18一鏟8?AD.

又Q?崩=6,

所以18-|AB-AD=6,

所以B?而=36.

設(shè)贏與疝的夾角為6,

又&?病=1麗?lAblcose=9X6Xcose=54cose,

所以54cos6=36,即cos6=1.

—2

所以48與AO夾角的余弦值為

平面向量的分解及加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.設(shè)i,j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與無(wú)軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若5l=4i+〃，OB=3i+4j,則2萬(wàn)1+加的坐標(biāo)是()

A.(1,-2)B.(7,6)

C.(5,0)D.(11,8)

解析：選D.因?yàn)闉?(4,2),協(xié)=(3,4),

所以2屆+協(xié)=(8,4)+(3,4)=(11,8).

2.設(shè)向量a=(l,2),?=(一3,5),c=(4,x),若a+Z>=7cQWR),則義+x的值為()

[4A=-2,2=-4，

解析：選C.由已知，可得(1,2)+(-3,5)=，4,x),所以,解得|2所

[XA=7,1

I1y4l,

以A+X=一q，故選C.

3.已知欣1=(—2,4),而=(2,6),則信等于()

A.(0,5)B.(0,1)

C.(2,5)D.(2,1)

解析：選D.多方=；(加一蕩1)=寺(2,6)—1(—2,4)=(2,1).

4.已知四邊形ABC。的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(—l,-2),C(3,1),且反?=2病，則頂點(diǎn)

D的坐標(biāo)為()

C.(3,2)D.(1,3)

2/H=4,

解析：選A.設(shè)點(diǎn)。(％n)則由題意得(4,3)=2(加，2)=(2/%,2〃-4),故'

f,2〃-4=3,

m=2,

解得＜_7即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,金，故選A.

〃-2,

5.已知4(一3,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在/AOB內(nèi)，且/4OC=45°,設(shè)次

=】后+(1—力協(xié)qeR),則2的值為()

A-5B-3

c2r2

C.gD.g

解析：選C.如圖所示，因?yàn)镹AOC=45°,

所以設(shè)C(x,一戈)，

則oc=a,—x).

又因?yàn)锳(-3,0),8(0,2),

所以2萬(wàn)1+(1一7)協(xié)

=(-32,2-22),

x=-3X2

所以=>A=7.

—x—2—2A5

6.己知點(diǎn)4(一1,一5)和向量。=(2,3),若嘉=3〃，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為

解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?4=(—1,—5),A8=3a=(6,9),故。8=OA+A8=(5,

4),故點(diǎn)3的坐標(biāo)為(5,4).

答案：(5,4)

7.已知向量。=(1,2),b=(—2,3),c=(4,1),若用。和力表示c,貝Uc=.

解析：設(shè)c=m+)辦，

則(%,2x)+(—2y,3y)=(x—2y,2x+3y)=(4,1).

=

x—2y=4,x2f

故.解得

2x+3y=]tu=-

所以c=2a—b.

答案:2a-b

i,

8.已知A(-l,2),8(2,8).若啟=抻，函=一抻，則近的坐標(biāo)為

—1-1

解析：AC=1A8=3(3,6)=(1,2),

DA=—|AB=—1(3,6)=(—2,—4),

5C=5A+AC=(-I,-2),

所以1b=(l,2).

答案：(1，2)

9.已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3>—4).設(shè)AB=a,BC—b,CA—c.

⑴求3a~\~b—3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)〃?，n的值.

解：由已知得。=(5,-5),b=(—6,-3),c=(l,8).

(1)3。+6—3c=3(5,-5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,一15—3—24)=(6,-42).

(2)因?yàn)閠nb+nc=(—6m+n1—3加+8枕)，

—6m+n=59("?=-1,

所以解得

—3m+8〃=-5,[〃=_1.

10.已知向量祐=(4,3),而=(一3,—1),點(diǎn)A(—l,-2).

(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足而=2而《GR),求4與y的值.

解：⑴設(shè)仇鶯，乃)，

因?yàn)殄?(4,3),A(—1,-2),

所以(由+1,y+2)=(4,3),

為+1=4,

所以，

y+2=3,

X]=3,

所以’

y=i,

所以B(3,1).

同理可得￡>(一4,一3),

設(shè)8。的中點(diǎn)")，

3-411-3

則12=2=-2,及=2=—L

所以從一^,一1)

⑵由麗=(3,1)-(2,y)=(l,1-y),

BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),

又誦=力而QeR),

所以(1,1一＞)=7(—7,—4)=(一7九-42),

[B能力提升]

11.對(duì)于向量機(jī)=(制，％),n—(x2,")，定義"n—(xlx2,已知a=(2,—4),

且a+b=ab,那么向量b等于()

解析：選A.設(shè)b=(x,y),由新定義及a+b=ab,可得(2+x,y—4)=(2%,—4y),所

以2+x=2r,y—4=—4y,解得x=2,尸,，所以向量b=(2,,).

12.已知4(一3,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在NAOB內(nèi)，|OC|=2小，且NAOC

=?,設(shè)比=2d+5h(2eR),貝1]a=.

解析：過(guò)C作CEJ_x軸于點(diǎn)E,由/AOC=?知，|O￡1=|CE|=2,所以無(wú)=無(wú)+勵(lì)=4后

-?-*■—?2

+OB,即。E=〃M,所以(-2,0)=*一3,0),故

答案：f2

13.在△4BC中，點(diǎn)P在BC上，且麗=2而1，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若麗=(4,3),PQ=

(1,5),則比=.

解析：的一兩=恁=(1,5)-(4,3)=(-3,2),因?yàn)辄c(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，所以而=沅，

所以正=戶。+雙=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因?yàn)辂?2正，所以證=加+正=3元;=

3(-2,7)=(-6,21).

答案：(一6,21)

14.已知。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=150°,ZBOC=90°,設(shè)OA=Q,OB=b,OC=

c,且⑷=2,|b|=l,|c|=3,試用a,占表示c.

解：如圖，以。為原點(diǎn)，向量0A所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)

系.

因?yàn)橥?2,所以a=(2,0).

==,=

設(shè)b(x\,?),所以X]|ft|cos150°1X2，

yi=|6|sin150°=1X^=^,

所以B=(一坐，，.同理可得c=(一|,一鳴.

設(shè)0=2]0+幺2》(九，A2^R).

/3

n--2，)=；-|(2,。)+，2(一坐,5

\2

=(24一坐42,'2),

所以c=-3a—"3小〃.

[C拓展探究]

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(l,1),8(2,3),C(3,2).

(1)若兩+兩+無(wú)=0,求用的坐標(biāo);

(2)若林=〃凝+〃晶(相，〃GR),且點(diǎn)P在函數(shù)y=x+l的圖象上，試求初一"的值.

解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)榍?而+無(wú)1=(),

又前+而+元=(1-x,l-y)+(2-x,3—y)+(3—x,2—y)=(6-3x,6—3丫).

6—3x=0,x=2,

所以,解得?

6—3y=0,尸2.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2),

故5>=(2,2).

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(沏，y0),

因?yàn)锳(l,1),8(2,3),C(3,2).

所以AB=(2,3)-(1,1)=(1,2),

啟=(3,2)-(1,1)=(2,1),

因?yàn)榇?〃危，

所以(x(),y())=m(l,2)+〃(2,l)=(〃z+2〃，2m+n),

x()=m+2〃，

所以彳

)\)=2m+nf

兩式相減得"2—〃=%一沏，

又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y=x+l的圖象上，

所以加一沏=1,所以m一〃=1.

兩向量共線的充要條件及應(yīng)用

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.已知平面向量。=(1,2),5=(-2,⑼，且。〃4則2a+33=()

A.(—5,—10)B.(—4,—8)

C.(一3,—6)D.(一2,—4)

解析：選B.因?yàn)槠矫嫦蛄俊?(1,2),b=(-2,"?),且a〃瓦所以IXm一(一2)X2=。，

解得帆=一4,所以2a+3b=2(l,2)+3(—2,—4)=(一4,-8).

2.已知a=(sina,1),6=(cos。，2),若〃〃a,則tan。=()

A.ZB.2

C.-2D.—2

解析：選A.因?yàn)閎〃a,所以2sina=cosa,所以°所以tana=4.

cosct2Z

3.已知向量。=(1,2),6=(0,1),設(shè)〃=。+比，v=2a—b,若〃〃0，則實(shí)數(shù)A的值是

()

71

A.-2B.-2

C.-±D.一,

解析：選B.z;=2(l,2)-(0,1)=(2,3),?=(1,2)+%(0,1)=(1,2+Z).因?yàn)閡//v9

所以2(2+k)—lX3=0,解得％=一；.

4.若Q=i+〃，慶'=(3—x)i+(4—陵/(其中i,j的方向分別與x,y軸正方向相同且為單

位向量).油與比共線，則x,y的值可能分別為()

A.1,2B.2,2

C.3,2D.2,4

解析：選B.由題意知，矗=(1,2),DC=(3-x,4-y).

因?yàn)檐病ɑⅲ?一丫一2(3—x)=0,

即2%—)，-2=0.只有B選項(xiàng)，x=2,y=2代人滿足.故選B.

5.已知A(l,-3),B(8,，，且4,B,C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是()

A.(-9,1)