河南省信陽市澠池高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

河南省信陽市澠池高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的圖象為曲線，函數(shù)的圖象為曲線，過軸上的動點(diǎn)作垂直于軸的直線分別交曲線，于兩點(diǎn)，則線段長度的最大值為（

）A．2

B．4

C．5

D．參考答案：D2.不等式

對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．[－1,4]

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[－2,5]D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)參考答案：A3.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|=2|BF|，則直線AB的斜率為（）A．

B． C．或 D．或參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，通過拋物線定義及|AF|=2|BF|可知B為CE中點(diǎn)，通過勾股定理可知|AC=2|BC|，進(jìn)而計算可得結(jié)論．【解答】解：如圖，點(diǎn)A在第一象限．過A、B分別作拋物線的垂線，垂足分別為D、E，過A作EB的垂線，垂足為C，則四邊形ADEC為矩形．由拋物線定義可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B為CE中點(diǎn)，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直線l的斜率為=2；當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時，同理可知直線l的斜率為﹣2，∴直線l的斜率為±2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．4.函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），結(jié)合條件判斷出g′（x）的符號，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）奇函數(shù)判斷出g（x）是偶函數(shù)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圖象求出不等式成立時x的取值范圍．【解答】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），∵當(dāng)x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，∴則當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，由f（1）=0得，g（1）=0，函數(shù)g（x）的圖象大致如右圖：∵不等式f（x）＜0?＜0，∴或，由函數(shù)的圖象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于綜合題．5.若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A.1 B.5 C.10 D.20參考答案：C【分析】由二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，求得，再結(jié)合展開式的通項(xiàng)，即可求解常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得，解得，則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的系數(shù)的求法，以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵.著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)f（x）=（x+2）2（x﹣1）3的極大值點(diǎn)是（）A．x=﹣2或1 B．x=﹣1或2 C．x=﹣1 D．x=﹣2參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，或x＜﹣2，從而得到x=﹣2是函數(shù)的極大值點(diǎn)．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，或x＜﹣2，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞﹣2），（，+∞）上遞增，在（﹣2，﹣）上遞減，∴x=﹣2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故選；D．7.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的k值是 A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：C8.

把三只大小相同的乒乓球放入一個袋中，每次取一個后再放回袋中，若第5次時三只球恰好都被取出過，則不同的取法總數(shù)是A．21種

B．42種

C．60種

D．81種參考答案：答案：B9.若向量,且,則實(shí)數(shù)=（

）A．－4

B．4

C．－6

D．6參考答案：A10.“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量,若a//b,則實(shí)數(shù)m等于________. （）參考答案：或略12.已知是奇函數(shù),且.若,則_____參考答案：

-113.過點(diǎn)P（1，1）作曲線y=x3的兩條切線l1，l2，若l1和l2的夾角為θ，則tanθ=

。參考答案：略14.在三棱錐中，底面為邊長為的正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為的中心，若為的中點(diǎn)，且直線與底面所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積為__________．參考答案：；15.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:4:3，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取_________學(xué)生.參考答案：20略16.若不等式組表示的平面區(qū)域是等腰三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：4由約束條件作出可行域，對a分類可得a＞0，然后求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由邊長相等列式求得a值．解：由約束條件作出可行域如圖，若a≤0，則約束條件表示的平面區(qū)域不是三角形，不合題意；若a＞0，聯(lián)立，解得C（，），又B（），由題意可得：，解得a=4．故答案為：4．17.設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用表示這條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則=____________；當(dāng)時，

．（用表示）

參考答案：答案：5，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1是邊長為2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2，BC＝4，M為BC的中點(diǎn)，過A1，B1，M三點(diǎn)的平面交AC于點(diǎn)N．

(1)求證：N為AC中點(diǎn)；

(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．參考答案：(1)由題意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M與平面ABC交于直線MN，與平面A1B1C1交于直線A1B1，所以MN//A1B1．--------------------------------------------------------------------------------------3分因?yàn)锳B//A1B1，所以MN//AB，所以．-------------------------5分因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以＝1，所以N為AC中點(diǎn)．------------7分

(2)因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是邊長為2的菱形，∠A1AC＝60o．

在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝，

故A1A2＝AN2＋A1N2，從而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．-----------------------------------------------------9分在三角形ABC中，AB＝2，AC＝2，BC＝4，則BC2＝AB2＋AC2，從而可得∠BAC=90o，即AB⊥AC．---------10分又MN//AB，則AC⊥MN．因?yàn)镸N∩A1N＝N，MNì面A1B1MN，A1Nì面A1B1MN，所以AC⊥平面A1B1MN．-------------------------------------------12分又ACì平面A1ACC1，所以平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．-----------------------14分19.某市縣鄉(xiāng)教師流失現(xiàn)象非常嚴(yán)重，為了縣鄉(xiāng)孩子們能接受良好教育，某市今年要為兩所縣鄉(xiāng)中學(xué)招聘儲備未來三年的教師，現(xiàn)在每招聘一名教師需要1萬元，若三年后教師嚴(yán)重短缺時再招聘，由于各種因素，則每招聘一名教師需要3萬元，已知現(xiàn)在該市縣鄉(xiāng)中學(xué)無多余教師，為決策應(yīng)招聘多少縣鄉(xiāng)教師搜集并整理了該市50所縣鄉(xiāng)中學(xué)在過去三年內(nèi)的教師流失數(shù)，得到如表的頻率分布表：流失教師數(shù)6789頻數(shù)10151510以這50所縣鄉(xiāng)中學(xué)流失教師數(shù)的頻率代替一所縣鄉(xiāng)中學(xué)流失教師數(shù)發(fā)生的概率，記X表示兩所縣鄉(xiāng)中學(xué)在過去三年共流失的教師數(shù)，n表示今年為兩所縣鄉(xiāng)中學(xué)招聘的教師數(shù)．為保障縣鄉(xiāng)孩子教育不受影響，若未來三年內(nèi)教師有短缺，則第四年馬上招聘．（1）求的分布列；（2）若要求，確定n的最小值；（3）以未來四年內(nèi)招聘教師所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？參考答案：解：（1）由頻數(shù)分布表中教師流失頻率代替教師流失概率可得，一所縣鄉(xiāng)中學(xué)在三年內(nèi)流失的教師數(shù)為6,7,8,9的概率分別為0.2,0.3,0.3,0.2．所有可能的取值為：12,13,14,15,16,17,18，且，，，，，，，所以的分布列為：121314151617180.040.120.210.260.210.120.04（2）由（1）知，，故的最小值為15．（3）記表示兩所縣鄉(xiāng)中學(xué)未來四年內(nèi)在招聘教師上所需的費(fèi)用（單位：萬元）．當(dāng)時，的分布列為：151821240.630.210.120.04；當(dāng)時，的分布列為：1619220.840.120.04．可知當(dāng)時所需費(fèi)用的期望值小于時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選．

20.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足=+k，（1）求k的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：解（1）當(dāng)n≥2時由…………2分=3+k，所以k=，…………4分（2）由，可得,……………６分………………７分……………9分……10分…………12分略21.（本小題14分）如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PA⊥BD；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）當(dāng)PA∥平面BDE時，求三棱錐E–BCD的體積．參考答案：證明：（Ⅰ），平面，平面，且，平面，