第3講機械能守恒定律及其應用

物理課標版第3講

機械能守恒定律及其應用考點一

對重力勢能和彈性勢能的理解一、重力勢能定義:物體的重力勢能等于它所受重力與高度的乘積。公式:Ep=mgh。矢標性:重力勢能是標量,但有正、負,其意義是表示物體的重力勢能比它在① 零勢能面 上的重力勢能大還是小,這與功的正、負的物理意義不同。4.特點系統(tǒng)性:重力勢能是② 地球相對性:重力勢能的大小與④和③ 物體 共有的。零勢能面 的選取有關。重力勢能的變化是絕對的,與參考平面的選取無關。5.重力做功與重力勢能變化的關系重力做正功時,重力勢能減小;重力做負功時,重力勢能增加;重力做多少正(負)功,重力勢能就減小(增加)多少,即WG=⑤

-ΔEp

。二、彈性勢能1.定義:物體由于發(fā)生⑥彈性形變而具有的能。大小:彈性勢能的大小與⑦ 形變量 及⑧ 勁度系數(shù) 有關,彈簧的形變量越大,勁度系數(shù)⑨ 越大

,彈簧的彈性勢能⑩ 越大

。彈力做功與彈性勢能變化的關系彈力做正功,彈性勢能減小;彈力做負功,彈性勢能增加。如彈簧恢復原長過程中彈力做正功,彈性勢能減小,形變量變大的過程中彈力做負功,彈性勢能增加。注意

物體彈性形變?yōu)榱銜r,對應彈性勢能為零,而重力勢能的零位置與所選的參考平面有關,具有任意性。))(1)重力勢能的變化與零勢能參考面的選取無關。

(

)(2)克服重力做功,物體的重力勢能一定增加。

((3)發(fā)生彈性形變的物體都具有彈性勢能。

((4)彈力做正功彈性勢能一定增加。

(

)答案

(1)√

(2)√

(3)√

(4)?1.重力勢能重力勢能是地球和物體組成的系統(tǒng)共有的,而不是物體單獨具有的。重力勢能(Ep=mgh)是相對的,式中的h是物體的重心到參考平面(零重力勢能面)的高度,若物體在參考平面以上,則重力勢能為正值;若物體在參考平面以下,則重力勢能為負值,通常選擇地面作為參考平面。

2.彈性勢能:彈簧的彈性勢能的大小與形變量及勁度系數(shù)有關,彈簧的形變量越大、勁度系數(shù)越大,彈簧的彈性勢能越大。1-1

(2016四川理綜,1,6分)韓曉鵬是我國首位在冬奧會雪上項目奪冠的運動員。他在一次自由式滑雪空中技巧比賽中沿“助滑區(qū)”保持同一姿態(tài)下滑了一段距離,重力對他做功1

900

J,他克服阻力做功100

J。)韓曉鵬在此過程中

(A.動能增加了1

900

JC.重力勢能減小了1

900

JB.動能增加了2

000

JD.重力勢能減小了2

000

J答案

C

由動能定理可知,ΔEk=1900

J-100

J=1800

J,故A、B均錯。重力勢能的減少量等于重力做的功,故C正確、D錯。1-2

(多選)關于重力做功和物體的重力勢能,下列說法中正確的是(

)A.當重力對物體做正功時,物體的重力勢能一定減少

B.物體克服重力做功時,物體的重力勢能一定增加

C.地球上任何一個物體的重力勢能都有一個確定值D.重力做功的多少與參考平面的選取無關答案 ABD 物體重力勢能的大小與參考平面的選取有關,故C錯誤;重力做正功時,物體由高處向低處運動,重力勢能一定減少,反之,物體克服重力做功時,物體由低處向高處運動,重力勢能一定增加,故A、B正確;重力做多少功,物體的重力勢能就變化多少,重力勢能的變化與參考平面的選取無關,故D正確?？键c二

機械能守恒的判斷1.機械能守恒定律:在只有① 重力或彈力 做功的情況下,物體系統(tǒng)內(nèi)的② 動能 和③ 勢能 相互轉化,機械能的總量④ 保持不變

。2.守恒表達式觀點表達式守恒觀點Ek2+Ep2轉化觀點轉移觀點E1=E2,Ek1+Ep1=⑤ΔEk=⑥

-ΔEpΔEA=⑦

-ΔEB))(1)被舉到高處的物體重力勢能可以為零。

((2)彈簧彈力做正功時,彈性勢能增加。

((3)物體在速度增大時,其機械能可能在減小。

(

)(4)物體所受合外力為零時,機械能一定守恒。

(

)(5)物體受到摩擦力作用時,機械能一定要變化。

(

)答案

(1)√

(2)?

(3)√

(4)?

(5)?利用機械能的定義判斷(直接判斷)若物體在水平面上勻速運動,其動能、勢能均不變,機械能不變。若一個物體沿斜面勻速下滑,其動能不變,重力勢能減少,其機械能減少用做功判斷若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈力)做功,雖受其他力,但其他力不做功,機械能守恒用能量轉化判斷若物體或系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化,則物體或系統(tǒng)機械能守恒注意

(1)當物體所受的合力為零(或合力做功為零)時,物體的機械能不一定守恒。(2)對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等,除非題目特別說明,否則機械能必定不守恒。2-1 在如圖所示的物理過程示意圖中,甲圖為一端固定有小球的輕桿,從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動;乙圖為末端固定有小球的輕質直角架,釋放后繞通過直角頂點的固定軸O無摩擦轉動;丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車,B靜止,A獲得一向右的初速度后向右運動,某時刻連接兩車的細繩繃緊,然后帶動B車運動;丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車,把用細繩懸掛的小球從圖示位置釋放,小球開始擺動。則關于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計),下列判斷中正確的是

(

)甲圖中小球機械能守恒乙圖中小球A的機械能守恒丙圖中兩車組成的系統(tǒng)機械能守恒

D.丁圖中小球的機械能守恒答案

A

甲圖過程中輕桿對小球不做功,小球的機械能守恒;乙圖過程中A、B兩球通過桿相互影響(例如開始時A球帶動B球轉動),輕桿對A的彈力不沿桿的方向,會對小球做功,所以每個小球的機械能不守恒,但把兩個小球作為一個系統(tǒng)時機械能守恒;丙圖中繩子繃緊的過程雖然只有彈力作為內(nèi)力做功,但彈力突變有內(nèi)能轉化,機械能不守恒;丁圖過程中細繩也會拉動小車運動,取地面為參考系,小球的軌跡不是圓弧,細繩會對小球做功,小球的機械能不守恒,把小球和小車當做一個系統(tǒng),機械能才守恒。2-2

(2016課標Ⅱ,21,6分)(多選)如圖,小球套在光滑的豎直桿上,輕彈簧一端固定于O點,另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點由靜止釋放,它在下降的過程中經(jīng)過了N點。已知在M、N兩點處,彈簧對小球的彈力大(

)A.彈力對小球先做正功后做負功B.有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度

C.彈簧長度最短時,彈力對小球做功的功率為零D.小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差2小相等,且∠ONM<∠OMN<p

。在小球從M點運動到N點的過程中,答案 BCD 如圖所示,OP垂直于豎直桿,Q點與M點關于OP對稱,在小球從M點到Q點的過程中,彈簧彈力先做負功后做正功,故A錯。在P點彈簧長度最短,彈力方向與速度方向垂直,故此時彈力對小球做功的功率為零,即C正確。小球在P點時所受彈簧彈力等于豎直桿給它的彈力,豎直方向上只受重力,此時小球加速度為g,當彈簧處于自由長度時,小球只受重力作用,此時小球的加速度也為g,故B正確。小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒,小球在M點和N點時彈簧的彈性勢能相等,故小球從M到N重力勢能的減少量等于動能的增加量,而小球在M點的動能為零,故D正確。方法指導關于機械能守恒的判定要特別注意以下幾點物體只受重力,只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉化。如自由落體運動、拋體運動等。只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功,只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉化。如在光滑水平面上運動的物體碰到一個彈簧,和彈簧相互作用的過程中,對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說,機械能守恒。只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功,只發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉化。如自由下落的物體落到豎直的彈簧上,和彈簧相互作用的過程中,對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說,機械能守恒。除受重力(或系統(tǒng)內(nèi)彈力)外,還受其他力,但其他力不做功,或其他力做功的代數(shù)和為零。如物體在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下運動,拉力的大小與摩擦力的大小相等,在此運動過程中,其機械能守恒。只要滿足上述條件,機械能一定守恒。考點三

機械能守恒的應用三種守恒表達式的比較表達角度表達式表達意義注意事項守恒觀點Ek+Ep=Ek'+Ep'系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能與末狀態(tài)的機械能相等應用時應選好重力勢能的零勢能面,且初、末狀態(tài)必須用同一零勢能面計算勢能轉化觀點ΔEk=-ΔEp表示系統(tǒng)機械能守恒時,系統(tǒng)減少(或增加)的勢能等于系統(tǒng)增加

(或減少)的動能應用時關鍵在于分清勢能的增加量和減少量,可不選零勢能面而直接計算初、末狀態(tài)的勢能差轉移觀點ΔEA增=ΔEB減若系統(tǒng)由A、B兩部分組成,則A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等常用于解決兩個或多個物體組成的系統(tǒng)的機械能守恒問題應用機械能守恒定律的解題思路3-1

(2016課標Ⅰ,25,18分)如圖,一輕彈簧原長為2R,其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處,另一端位于直軌道上B處,彈簧處于自然狀態(tài)。直軌道與一半徑為5

R的光滑圓弧軌道相切于C點,AC=67R,A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑,最低到達E點(未畫出)。隨后P沿軌道被彈回,最高到達F點,1AF=4R。已知P與直軌道間的動摩擦因數(shù)μ=4,重力加速度大小為g。(取sin

37°=3

,cos37°=4

)5

5(1)求P第一次運動到B點時速度的大小。

(2)求P運動到E點時彈簧的彈性勢能。(3)改變物塊P的質量,將P推至E點,從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后,恰好通過G點。G點在C點左下方,與C點水平量。相距7

R、豎直相距R。求P運動到D點時速度的大小和改變后P的質2解析

(1)根據(jù)題意知,B、C之間的距離為l=7R-2R

①設P到達B點時的速度為vB,由動能定理得式中θ=37°。聯(lián)立①②式并由題給條件得vB=2

③gR答案

(1)2 (2)12

mgR(3)

35gR1

m5

5

32Bmgl

sin

θ-μmgl

cosθ=

1

mv2

②gR(2)設BE=x。P到達E點時速度為零,設此時彈簧的彈性勢能為Ep。P由B點運動到E點的過程中,由動能定理有pmgx

sin

θ-μmgxcosθ-E

=0-

m④E、F之間的距離l1為l1=4R-2R+x

⑤122BvP到達E點后反彈,從E點運動到F點的過程中,由動能定理有Ep-mgl1

sin

θ-μmgl1

cosθ=0

⑥聯(lián)立③④⑤⑥式并由題給條件得x=R

⑦Ep=12

mgR

⑧5(3)設改變后P的質量為m1。D點與G點的水平距離x1和豎直距離y1分別為11式中,已應用了過C點的圓軌道半徑與豎直方向夾角仍為θ的事實。設P在D點的速度為vD,由D點運動到G點的時間為t。由平拋運動公式有1y

=

gt2x1=vDt聯(lián)立⑨⑩式得x

=

7

R-

5

Rsin

θ

⑨2

6y

=R+

5

R+

5

R

cos

θ

⑩6

612vD=

355gR設P在C點速度的大小為vC。在P由C運動到D的過程中機械能守恒,有P由E點運動到C點的過程中,同理,由動能定理有p

1

1

1聯(lián)立⑦⑧式得1C

D1

m1v2

=

1

m1v2

+m1g(5

R+5

R

cos

θ)2

2

6

6122CE

-mg(x+5R)sin

θ-μm

g(x+5R)cosθ=

m

vm

=

1

m33-2

(2016課標Ⅱ,25,20分)輕質彈簧原長為2l,將彈簧豎直放置在地面

上,在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放,當彈簧被壓縮到最短時,彈簧長度為l。現(xiàn)將該彈簧水平放置,一端固定在A點,另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道,B端與半徑為l的光滑半圓軌道

BCD相切,半圓的直徑BD豎直,如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動物塊P,將彈簧壓縮至長度l,然后放開,P開始沿軌道運動。重力加速度大小為g。若P的質量為m,求P到達B點時速度的大小,以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離;若P能滑上圓軌道,且仍能沿圓軌道滑下,求P的質量的取值范圍。答案

(1)解析(1)依題意,當彈簧豎直放置,長度被壓縮至l時,質量為5m的物體的動能為零,其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。由機械能守恒定律,彈簧長度為l時的彈性勢能為Ep=5mgl

①6gl2

2

l(2)

5

m≤M<

5

m3

2設P的質量為M,到達B點時的速度大小為vB,由能量守恒定律得②聯(lián)立③⑤式得1Ep=

M

+μMg·4l2Bv2聯(lián)立①②式,取M=m并代入題給數(shù)據(jù)得vB=

6gl

③2

2B

D若P能沿圓軌道運動到D點,其到達D點時的向心力不能小于重力,即P此時的速度大小v應滿足mv2

-mg≥0

④l設P滑到D點時的速度為vD,由機械能守恒定律得1

mv2

=

1

mv2

+mg·2l

⑤vD=

⑥vD滿足④式要求,故P能運動到D點,并從D點以速度vD水平射出。設P落回到軌道AB所需的時間為t,由運動學公式得2l=

gt2⑦P落回到AB上的位置與B點之間的距離為s=vDt

⑧2gl12聯(lián)立⑥⑦⑧式得s=2

2

l

⑨(2)為使P能滑上圓軌道,它到達B點時的速度應大于零。由①②式可知5mgl>μMg·4l

⑩要使P仍能沿圓軌道滑回,P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C。由機械能守恒定律有2B1

Mv2

≤Mgl聯(lián)立①②⑩ 式得5

m≤M<

5

m3

2方法指導1.機械能守恒定律的應用技巧機械能守恒定律是一種“能—能轉化”關系,其守恒是有條件的,因此,應用時首先要對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒作出判斷。如果系統(tǒng)只有一個物體,用守恒觀點列方程較方便;對于由兩個或兩個以上物體組成的系統(tǒng),用轉化或轉移的觀點列方程較簡便。2.涉及彈簧的能量問題的解題方法兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過程,具有以下特點:(1)能量變化上,如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功,系統(tǒng)機械能守恒。

(2)如果系統(tǒng)放在水平面上,在水平方向每個物體除彈簧彈力外所受其他外力之和為零,則當彈簧伸長或壓縮到最大程度時兩物體速度相同。(3)當彈簧為自然狀態(tài)時系統(tǒng)內(nèi)某一端的物體具有最大速度。考點四

多物體的機械能守恒問題(含非質點模型)多物體機械能守恒問題1.多物體機械能守恒問題的一般分析方法對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中,系統(tǒng)的機械能是否守恒。注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。

(3)列機械能守恒方程時,一般選用ΔEk=-ΔEp的形式。2.多物體機械能守恒問題的三點注意

(1)正確選取研究對象。合理選取物理過程。正確選取機械能守恒定律常用的表達形式列式求解。重力勢能的變化與運動的過程無關,只與初、末位置有關,對于不可視為質點的物體(常見于“鏈條、液柱”模型),可對物體分段找等效重心的位置變化來確定勢能的變化,只要研究對象在變化過程中符合機械能守恒條件,即可用機械能守恒定律進行求解。這種思想也是解決變力做功過程中勢能變化的基本方法。擾動使鐵鏈向一側滑動,則鐵鏈完全離開滑輪時速度大小為

(

)D.A.

2glB.

gl

C.2gl2

2gl答案

C

設鐵鏈的總的質量為m,以鐵鏈的下端為零勢能點,則鐵鏈的機械能為:E=2×1

mg×l

=1

mgl,