第六章特征值與特征向量6習(xí)題課_第1頁(yè)
第六章特征值與特征向量6習(xí)題課_第2頁(yè)
第六章特征值與特征向量6習(xí)題課_第3頁(yè)
第六章特征值與特征向量6習(xí)題課_第4頁(yè)
第六章特征值與特征向量6習(xí)題課_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩82頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

定義設(shè)有n維向量

y1

x1

yy

=

y

2

,

x

n

n

x

=

x

2

,令[x,y]=x1

y1

+x

2

y

2

+

+xn

yn

,[x,y]稱為向量

x與y的內(nèi)積.

向量?jī)?nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律內(nèi)積的矩陣表示[

x,

y]

=

xT

y,其中x,y都是列向量.內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律(其中x,y,z為n維向量,l為實(shí)數(shù)):(1)[

x,

y]

=

[

y,

x];(2)[lx,y]

=

l[

x,

y];(3)[

x

+

y,

z]

=

[

x,

z]

+

[

y,

z].定義令x

=

[

x,

x]

=

x2

+

x2

+

+

x2

,1

2

nx稱為n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù)).向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì):非負(fù)性 當(dāng)x

?

0時(shí),

x

>

0;當(dāng)x

=

0時(shí),

x

=

0;齊次性

lx

=

l

x

;三角不等式

x

+

y

x

+

y

.2

向量的長(zhǎng)度當(dāng)

x

=

1時(shí),

稱x為單位向量

.(當(dāng)

x

y

?

0時(shí)).向量的內(nèi)積滿足施瓦茨不等式[

x,

y]2

[

x,

x][

y,

y],從而有x

y[

x,

y]

1,定義稱為n維向量x與y的夾角.當(dāng)[x,y]=0時(shí),稱向量x與y正交.若x

=0,則x與任何向量都正交.當(dāng)

x

?

0,

y

?

0時(shí),x

yq

=

arccos

[

x,

y]3

向量的夾角所謂正交向量組,是指一組兩兩正交的非零向量.向量空間的基若是正交向量組,就稱為正交基.定理零向量,則a1

,a

2

,,ar

線性無(wú)關(guān).若n維向量a1

,a

2

,,ar

是一組兩兩正交的非的一個(gè)基,如果e1

,e

2

,,er

兩兩正交,則稱e1

,e

2

,,er

是V的一個(gè)規(guī)范正交基.Rn)設(shè)n維向量e1

,e

2

,,er

是向量空間V

(V定義4

正交向量組的性質(zhì)中任一向量a都可表為a

=

l1

e1

+

l

2

e

2

+

+

lrer

,若e1

,e

2

,,er

是V的一個(gè)規(guī)范正交基,那么Vi其中

li

=

eT

a

=

[a,

ei

],

(i

=

1,2,,

r

).施密特正交化方法設(shè)a1

,a

2

,,ar

是向量空間V的一個(gè)基,要求V的一個(gè)規(guī)范正交基,只需把a(bǔ)1

,a

2

,,ar

這個(gè)基規(guī)范正交化.則b1

,b2

,,br

兩兩正交,且與a1

,a2

,,ar

等價(jià)..,

][],]

[[

,;[

,

]取

b1

=

a1

;22111

222babr

-1b[b2

,

b2]

[b

,

b

]abb[b

,

b

]r

-11

1

r

-1

r

-1b

a1

rabb[b1

,

b1]b

aabrrrr-

--=

-=

-第一步 正交化第二步 單位化V的一個(gè)規(guī)范正交基.2b21

21b

,

eb11取

e

=rbr=1

b

,就得r=

1

b

,

,

e定義那么稱A為正交矩陣.方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的行(列)向量都是單位向量,且兩兩正交.正交矩陣A的n個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間Rn的一個(gè)規(guī)范正交基.如果n階矩陣A滿足AT

A

=E

(即A-1

=AT

),5

正交矩陣與正交變換定義

P

為正交矩陣,則線性變換

y=

Px稱為正交變換.正交變換的特性在于保持線段的長(zhǎng)度不變.xT

x

=

x

.設(shè)y

=Px為正交變換,則有y

=

yT

y

=

xT

PT

px

=定義設(shè)A是n階矩陣,如果數(shù)l和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax

=

lx成立,那么,這樣的數(shù)l稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量.A

-lE

=0稱為方陣A的特征方程.f

(l)=A

-lE

稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.6

方陣的特征值和特征向量l1

,l

2

,,ln

,則有(1)

l1

+

l

2

++

ln

=

a11

+

a22

+

+

ann

;(2)

l1

l

2ln

=

A

.n階方陣A有n個(gè)特征值.若A

=(aij

)的特征值為設(shè)l是A

=(aij

)n·n的特征值,則l也是AT

的特征值;lk

是Ak

的特征值(k為任意自然數(shù));j

(l)是j

(A)的特征值.其中j

(l)=a0

+a1

l

+

+am

lm

,j

(

A)

=

a0E

+

a1

A

+

+

am

Am

.當(dāng)A可逆時(shí),

1

A-1的特征值;

1

A是

A*的l

l特征值.7

有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理

設(shè)

l1

,

l

2

,,

lm

是方陣A的m個(gè)特征值,p1

,

p2

,,

pm

依次是與之對(duì)應(yīng)的特征

向量,如果l1

,

l

2

,,

lm

各不相等,則

p1

,

p2

,,

pm

線性無(wú)關(guān).即屬于不同特征值的特

征向量是線性無(wú)關(guān)的

.定理

屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.8

有關(guān)特征向量的一些結(jié)論定義設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P

-1

AP

=

B,則稱B是A的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P

-1

AP稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.矩陣之間的相似具有(1)自反性;(2)對(duì)稱性;

(3)傳遞性.9

相似矩陣相似,則l1

,l

2

,,ln

是A的n個(gè)特征值.若A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

與B

的特征值亦相同.若A與對(duì)角矩陣l

2ln

L

=

l110

有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)j

(

A)

=

Pj

(B)

P

-1

.特別地,若有可逆陣P,使P

-1

AP

=L為對(duì)角陣,則有Ak

=P

L

k

P

-1

,j

(A)=Pj

(L

)P

-1

.A

能對(duì)角化的充分必要條件是A有n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.A有n個(gè)互異的特征值,則A與對(duì)角陣相似.(3)若A

=PB

P

-1

,則Ak

=P

Bk

P

-1

,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交.若l是實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則對(duì)應(yīng)l的必有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.即若A為n階實(shí)對(duì)稱陣,則必有正交陣P

,使得P

-1

AP

=L

,其中L是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣.11

實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣定義f

(

x1

,

x

2

,,

xn)

=

a11

x

2

+

a

22

x

2

+

1

2+

a

nn

x

2

+

2

a12

x1

x

2

+

2

a13

x1

x

3

+

n+

2

an

-1,

n

xn

-1

xn稱為二次型.含有n個(gè)變量x1

,x

2

,,xn

的二次齊次函數(shù)12

二次型二次型可記作f

=x

T

Ax

,其中AT

=A.A稱為二次型f的矩陣,f稱為對(duì)稱陣A的二次型,對(duì)稱陣A的秩稱為二次型f的秩.二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.當(dāng)aij

是復(fù)數(shù)時(shí),f稱為復(fù)二次型;當(dāng)aij

是實(shí)數(shù)時(shí),f稱為實(shí)二次型.定義(或法式).y

2222211稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項(xiàng)的二次型kk+

yf

=

k

ynn+

+13

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形其中l(wèi)1

,l

2

,,ln

是f的矩陣A

=(a

ij

)的特征值.22

n2211+

yf

=

ynn(1)任給可逆矩陣C

,令B=CT

AC

,如果A為對(duì)稱陣,則B亦為對(duì)稱陣,且R(B)=R(A)..(2)任給實(shí)二次型

f

=

a

ij

xi

x

j

(a

ij

=

a

ji

),

總i

,

j

=1有正交變換x

=Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形l+

y

2

,ll14

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(3)拉格朗日配方法亦可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,此時(shí)所用的可逆線性變換一般而言不是正交變換.定義設(shè)有實(shí)二次型f

(x)=xT

Ax,如果對(duì)任何x?0,都有f

(x)>0(顯然f

(0)=0),則稱f為正定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是正定的;如果對(duì)任何x

?0,都有f

(x)<0,則稱f為負(fù)定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是負(fù)定的.15

正定二次型(l

i

?

0),設(shè)有實(shí)二次型

f

=

xT

Ax

,它的秩為

r

,

有兩個(gè)實(shí)的可逆變換x

=

Cy

x

=

Pz222211222211及

f

=使

f

=

k

yll2rri(k

?

0),ry

2rzzzkl則k

1

,k

2

,

,k

r

中正數(shù)的個(gè)數(shù)與l1

,l

2

,

,lr

中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.ky+

++

+++16

慣性定理量.r

-p

=N稱為負(fù)慣性指數(shù);s

=p

-N

=p

-(r

-p)=2

p

-r稱為f的符號(hào)差.注意數(shù);k

1

,k

2

,

,k

r

中正數(shù)的個(gè)數(shù)p稱為正慣性指化線性變換的不變它們是二次型對(duì)于非退實(shí)二次型f

=

xT

Ax為正定的充分必要條件是:

它的標(biāo)準(zhǔn)形的

n個(gè)系數(shù)全為正,即正慣性指數(shù)p

=

n;對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的特征值全為正;17

正定二次型的判定>

0,(r

=

1,2,,

n).(-1)r>

0;,(3)(霍爾維茨定理)對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的各階主子式都為正,即a11

a1r

ar1

arra12a21

a22>

0;

a1111an1

nn

aa11

a1n

>

0;對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是:奇數(shù)階主子式為負(fù),而偶數(shù)階主子式為正,即a一、證明所給矩陣為正交矩陣二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知A的特征值,求與A相關(guān)矩陣的特征值典

題五、求方陣A的特征多項(xiàng)式六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題七、判斷方陣A可否對(duì)角化八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法1

證明矩陣的各列(或行)元素滿足正交條件n

naki

akj

=

dij

(或aik

a

jk

=

dij

),

i,

j

=

1,2,,

n;k

=1方法2

根據(jù)正交陣的定義,先求出AT

,然后k

=1驗(yàn)證A

AT

=

E.一、證明所給矩陣為正交矩陣?yán)?

設(shè)a是n維列向量,

E為n階單位矩陣,

證明A

=E

-[2/(aT

a)]a

aT

為正交矩陣.證明先驗(yàn)證AT

=A,然后根據(jù)正交矩陣的定義驗(yàn)證A

AT

=E

.

AT

=

[E

-

(2

/

aT

a)

aaT

]T=

E

-

(2

/

aT

a)aaT=

A,\

AT

A

=

AA=

[E

-

(2

/

aT

a)

aaT

]

[E

-

(2

/

aT

a)

aaT

]+

[4

/

(aT

a)2]a(aT

a)aT

.

a

?0,\aT

a為一非零數(shù),故a(aT

a)aT

=

(aT

a)(a

aT

),\

AT

A

=

E

-[4

/(aT

a)]a

aT

+

[4

/(aT

a)]a

aT

=

E,故A是正交矩陣.特別當(dāng)aT

a

=1時(shí),A

=E

-2aaT

是正交矩陣.-[2

/

(aT

a)]

aaT=

E

-[2

/

(aT

a)]

aaT將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組,可以先正交化,再單位化;也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化.無(wú)關(guān)向量組,求與之等價(jià)的正交單位向量組.

1

0

321例2

已知向量a

-

1=

0

是線性

0

1

0

0

1

1=

0,a=

1,a二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組解一

先正交化,再單位化取b1

=a

1;令b

2

=k

b1

+a

2

,使得b

2

與b1正交,[a

1

,

b

2]

=

k[a

1

,

b1]

+

[a

1

,a

2]

=

0,2[a

1

,

b1]102\k

=-[a

1

,a

2]=-1

,

故b

1

2

=

-

1

2;(3)令b

3

=k1

b

1

+k

2

b

2

+a

3

,且b

3

與b

2

,b

1

正交,得121

1311==

-[b

,

b

]a[b

,

]k32

22[b

,

b

],

=

-[b

2

,a

2]

=

1

,k13

1

3

-

1

3=

1

3

.故b(4)將b1

,b

2

,b

3

單位化,得bb333g

=bb111g

=bb222g

=00

1 2

=

1 2

;0

2

6

1

6

=

-

1 6

;3)

.3

2

1

(2

3)

-

1

(2

3)=

1

(2解二

同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化(1)取b1

=a

1

,并單位化得bb111g

=00

1 2

=

1 2

;(2)令b

2

=kg1

+a

2

,使得b

2

與g1正交,得212k

=

-[g

,a

]

=

-

1

,02

2

6

1

6

g

=

-

1 6

.102

1

2

=

-

1

2,\b(3)令b

3

=k1

g1

+k

2

g2

+a

3

,且b

3

與g2

,g1

正交,得k1

=

-[g1

,a

3]

=

1 2

,k2

=

-[g2

,a

3]

=

1 6

,3)

.3

23

1

(2

3)

-

1

(2

3)13

1

3

-

1

3=

1

3

,

g

=

1

(2\b則g1

,g2

,g3

為所求之向量組.第一步

計(jì)算A

的特征多項(xiàng)式;第二步

求出特征多項(xiàng)式的全部根,即得

A

的全部特征值;第三步

將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性方程組,求出基礎(chǔ)解系,即得該特征值的特征向量.三、特征值與特征向量的求法和特征向量.解

第一步3

4

3

2

40 2的全部特征值2例3

計(jì)算3階實(shí)矩陣A

=

2l

-

3

-

2

-

4-

2

l

-

2-

4

-

2

l

-

3f

(l)

=

lE

-

A

==

(l

-

8)(l

+

1)2

.計(jì)算A

的特征多項(xiàng)式第二步 求出特征多項(xiàng)式f

(l)的全部根,即A的全部特征值.令f

(l)=0,解之得l1

=8,l2

=l3

=-1,為A的全部特征值.第三步 求出

A

的全部特征向量對(duì)l1

=8,求相應(yīng)線性方程組(l1

E

-A)x

=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

5

x1

-

2

x2

-

4

x3

=

0,1

2

3-

2

x

+

8

x

-

2

x

=

0,-

4

x1

-

2

x2

+

5

x3

=

0,化簡(jiǎn)求得此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

2

2

a

1

=

1

.

屬于l1

=8的全部特征向量為k1a

1

(k1

?0為實(shí)數(shù)).

0

A)x

=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:-

4

x1

-

2

x2

-

4

x3

=

0,同理對(duì)l

2

=l

3

=-1,求相應(yīng)線性方程組(l

2

E

-1

2

3

1

1

-

1a

2

=

-

2.a

=

0

,2-

4

x1

-

2

x2

-

4

x3

=

0,求解得此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:

-

2

x

-

x

-

2

x

=

0,k

2a

2

+

k

3a

3

,k

2

,k

3

是不全為零的實(shí)數(shù).從而A的全部特征向量為k1a

1

;k

2a

2

+k

3a

3

,這里k1

?0為實(shí)數(shù),k

2

,k

3

是不全為零的實(shí)數(shù).于是A的屬于l

2

=l

3

=-1的全部特征向量為例4

設(shè)n階方陣A的全部特征值為l1

,l

2

,,ln

,屬于li

的特征向量為a

i

,求P

-1

AP的特征值與特征向量.解首先證明A與P

-1

AP有相同的特征值.只需證明它們有相同的特征多項(xiàng)式.-1

f

P

-1

AP

(l)

=

lE

-

P

AP=

l

P-1

P

-

P-1

AP四、已知A的特征值,求與A相關(guān)矩陣的特征值=

P-1

lE

-

A

P

=

lE

-

A

=

f

A

(l),\l1

,l2

,,ln

就是P-1

AP的全部特征值.其次求P-1

AP屬于li的特征向量.

Aa

i

=

lia

i

,即

(li

E

-

A)a

i

=

0,又

(li

E

-

P-1

AP

)a

i=

(li

P-1

P

-

P-1

AP

)a

i=

P-1

(li

E

-

A)Pa

i

,\

(li

E

-

P-1

AP

)

P-1a

i=

P-1

(li

E

-

A)P

P-1a

i=

P-1

(li

E

-

A)a

i

=

0,即

(

P-1

AP

)(P-1a

i

)

=

li

(

P-1a

i

),故

P-1a

i

是P-1

AP屬于li的特征向量.例5

設(shè)A是n階方陣,

其特征多項(xiàng)式為f

(l)

=

lE

-

A

=

ln

+

an

-1

ln

-1

+

+

a1

l

+

a0

,A求:(1)求AT

的特征多項(xiàng)式;(2)當(dāng)A非奇異時(shí),求A-1的特征多項(xiàng)式.ATAT(l)

=

lE

-解(1)f=

(lE

-

A)T=

lE

-

A

=

f

A

(l),\A與AT

有相同的特征多項(xiàng)式.五、求方陣A的特征多項(xiàng)式(2)設(shè)l1

,l2

,,ln

是A的全部特征值,則的全部特征值,,,,1-1是A-1-1n-12lll故A-1的特征多項(xiàng)式為f

-1

(l)

=

lE

-

A-1A=

(l

-

1

)(l

-

1

)(l

-

1

)l1

l2

ln=

ln

+

a1

ln-1

+

+

an-1

l

+

1

.a0

a0

a01

用特征根計(jì)算方陣A的行列式A例6

設(shè)A是3階矩陣,它的3個(gè)特征值為l1

=

1,

l

2

=-1,l

3

=2,設(shè)B

=A3

-5

A2

,求B

;A

-5E

.解ln

來(lái)計(jì)算A

.令f

(x)=x3

-5

x2

,因?yàn)閘1

,l2

,l3

是A的全部特征值,利用A的行列式與特征值的重要關(guān)系A(chǔ)

=l1

l

2六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題所以f

(li

)(1

i

3)是f

(A)=A3

-5

A2

=B的全部特征值.故B

=

f

(

A)

=

f

(l1)

f

(l2)

f

(l3)=

(-4)(-6)(-12)

=

-288.下面求A

-5E

.方法一令g(A)=A

-5E,因?yàn)锳的所有特征值為l1

=1,l

2

=-1,l

3

=2,所以g(A)的所有特征值為g(l1),g(l

2),g(l

3),A

-

5E

=

g(

A)

=

g(1)g(-1)g(2)

=

-72.\方法二因?yàn)锳的所有特征值為l1

=1,l2

=-1,l3

=2,故

A

=

1

·(-1)

·

2

=

-2.又

B

=

A3

-

5

A2

=

A2

(

A

-

5E

),\

A

-

5E

=

B A

2

=

-288

/

4

=

-72.\B

=

A

2

A

-

5E

,但

B

=

-288,f

A

(l)

=

lE

-

A

=

(l

-

1)(l

+

1)(l

-

2),所以方法三因?yàn)锳的所有特征值為l1

=1,l2

=-1,l3

=2,5E

-

A

=

f

A

(5)

=

(5

-

1)(5

+

1)(5

-

2)

=

72,A

-

5E

=

(-1)3

5E

-

A

=

-72.2

用方陣A的特征值,來(lái)討論kE

-A的可逆性當(dāng)k是A的特征值時(shí),kE

-A

=0,kE

-A不可逆;當(dāng)k不是A的特征值時(shí),kE

-A

?0,kE

-A可逆.例7

設(shè)A為n階方陣,若A2

=E,8E

-A是否可逆?設(shè)l是A的特征值,且l

?–1,A

–E是否可逆?解(1)

A2

=E,\A的特征值為l1

=1,l2

=-1,故k

=

8不是A的特征值,

從而8E

-

A可逆.一般地,對(duì)k

?–1,kE

-A均可逆.(2)因?yàn)閘

?–1,所以–1不是A的特征值,于是1

E

-

A

?

0,

(-1)

E

-

A

?

0.-

E

-

A

=

-

(

E

+

A)

=

(-1)n

A

+

E

,又\

A

+

E

?

0;E

-

A

=

-

(

A

-

E

)

=

(-1)n

A

-

E

,\

A

-

E

?

0,故A

–E均為可逆矩陣.例8

設(shè)A是n階下三角陣.(1)在什么條件下A可對(duì)角化?(2)如果a11

=

a22

=

=

ann

,且至少有一ai0

j

?

00(i

0

>j0),證明A不可對(duì)角化.解

(1)

A

可對(duì)角化的充分條件是

A

有n

個(gè)互異的特征值.下面求出

A

的所有特征值.七、判斷方陣A可否對(duì)角化,a220

a11ann

A

=

\

f

A

(l)

=

lE

-

A=

(l

-

a11)(l

-

a22)(l

-

ann).令f

A

(l)=0,即(l

-a11)(l

-a22)(l

-ann)=0,得A的所有特征值li

=aii

(1

i

n).當(dāng)li

?l

j

(i

?j,i,j

=1,2,,n)時(shí),即當(dāng)aii

?a

jj時(shí),A可對(duì)角化.(2)用反證法.若A可對(duì)角化,則存在可逆矩陣P,使P-1

AP

=

diag(l

,

,,

), (1

i

n)1

l2

ln

li是A的特征值.由(1)可知li

=aii

=a11

,所以E.11a11a

=

a11

P-1

AP

=

a11A

=

P

a11

E

P-1

=

a11P

P-1

=

a11E

,這與至少有一個(gè)

ai0

j

?

0(i

0

>

j0)矛盾,故A不可0對(duì)角化.0

0T

,使T

-1

AT為對(duì)角陣.

2

-

2

0

1

-2,求正交變換-

2例9

設(shè)實(shí)對(duì)稱陣A

=

-

2解

第一步 求A的特征值.由l

-

2

2

02

l

-

1

20

2

llE

-

A

=八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣=

(l

-

4)(l

-

1)(l

+

2)

=

0,l

=

1,

l

=

-2.2

3得

l1

=

4,第二步

由(li

E

-

A)

x

=

0,求出A的特征向量.對(duì)

l1

=

4,由(4E

-

A)

x

=

0,得2

x1

+

2

x2

=

0,

1

-

2a

1

=

2

.解之得基礎(chǔ)解系2

x2

+

4

x3

=

0,1

2

32

x

+

3

x

+

2

x

=

0,對(duì)

l2

=

1,由(

E

-

A)

x

=

0,得x3

=

0,2

x2

+1

3+

2

x

=

0,

2

x-

x1

+

2

x2

=

0,

2

-

2a

2

=

1

.解之得基礎(chǔ)解系對(duì)

l3

=

-2,由(-2E

-

A)

x

=

0,得2

x1

-

3

x2

+

2

x3

=

0,2

x2

-

2

x3

=

0,-

4

x1

+

2

x2

=

0,

2

1

a

3

=

2.解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化.因?yàn)閍

1

,a

2

,a

3

是屬于A的3

個(gè)不同特征值的特征向量,故它們必兩兩正交.第四步 將特征向量單位化.,i

=1,2,3,得a

iii令h

=a

2

/

3

1/

3

h3

=

2

/

3.

2

/

3

h2

=

1/

3

,

-

2

/

3

-

2

/

3h1

=

2

/

3

,

-

1/

3

21

-

2

2 1

T

=

(h1

,h2

,h3)

=

3

2

1

2,

-

1

-

20

.

0-

2

4

0

0

T

-1

AT

=

0

102f

(x1

,x2

,x3)=2

x1

x3

+x2

為標(biāo)準(zhǔn)形.例10

用正交變換化0Ax,01

2

3

1

2

1

1

0

0

1

A

=

0

1

0.0=2

0

3

0

0f

(

x

,

x

,

x

)

=

(

x

,

x

,

x3)

0

10xxx1

x1

T得實(shí)對(duì)稱矩陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解

第一步 將

f

表成矩陣形式lE

-A

=(l

+1)(l

-1)2

=0,得l1

=

l2

=

1,l3

=

-1.第三步 求正交矩陣T

.解方程組(l1

E

-A)x

=0,得它的基礎(chǔ)解系第二步

求出A的所有特征值.由

0

1

1

0

a

2

=

1

.

a

1

=

0,

02

將它們單位化,得[a

1

,a

2]=0,\a

1與a

2

正交,a

2=

a

22a

111

0

=

1

.1/

1/ 2

=

0

,h

=ha單位化,得解方程組(l

3

E

-A)x

=0,得它的基礎(chǔ)解系

1

-

1a

3

=

0

,2

a

3=

a

330

.

1/

2

-

1/=h0

=L為對(duì)角陣.

0

l1

?l3

,\h3

與h1

,h2

正交,令T

=

(h1

,h2

,h3),T為正交矩陣,且

-

1

1

0

0

T

-1

AT

=

0

10第四步 作正交變換x

=

Ty.23y

.2221+

yTTT

TAT

)

y

=

y

L

y

=

yf

=

y

(-+

8

x2

x3

+

2

x1

x3

.第一步 將f中含

x1的項(xiàng)集中進(jìn)行配方,并作相f

(

x1

,

x2

,

x3)

=

x2

+

2

x2

+

10

x2

+

2

x1

x21

2

3例11

用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求相應(yīng)的線性變換.解應(yīng)的線性變換.f

(

x1

,

x2

,

x3)

=

[

x2

+

2

x1

(

x2

+

x3)]

+

2

x21

2+

10

x2

+

8

x

x3

2

3x

xxxxxxxxxx2

322322322323xx232121+

102+

2+

)-

(+

)

]+

8+

6+

(+

)(+

2=

[.2

32321x

xx+

9x

xx=

(

+

+

)2

+

y1

=

x1

+

x2

+

x3

,3322作線性變換

y

=

x

,xy

=

,1y

=

p1

x,

0

1

1

1

p1

=

0

1

0,0即23

2

3+

9

y

+

6

y

y

.22211

2

3+

yx

x

x)

=

y得

f

(

,

,第二步將f

=

y2

+

y2

+

9

y2

+

6

y

y

中含

y

的1

2

3

2

3

2f

=z2

+z2

為所求標(biāo)準(zhǔn)形,1

22

2333221

0得

Pz

=

y

,

z1

=

y1

,

1

0

0

=

0

1

3

,0令z

=

y

+

3

y

,

即z

=

P

y,項(xiàng)集中進(jìn)行配方,并作相應(yīng)的線性變換.f

=

y2

+

(

y

+

3

y

)2

.1

2

3相應(yīng)的線性變換為

z

=

Py

=

(

P2

P1)

x.第五章 測(cè)試題一、填空題(每小題4分,共32分).設(shè)A是n階方陣,A*是A的伴隨矩陣,A

=2,則方陣B

=

AA*的特征值是

,

特征向量是三階方陣A的特征值為1,-1,2,則B

=2

A3

-3

A2的特征值為

2

00且A的特征2

1

-1

1

0

-1

-

4

13

0,

B

=

1

30

03.設(shè)A

=

-4

x

-

1

0

0

2

0 0

2

0

0

0

y1

00

相似,1

與B

=

04.已知矩陣A

=

0則x

=

,

y

=二次型f

(x

,

x

,

x

,

x

)=

x

2

+

2

x

2

+

3

x

2

+

4

x

x1

2

3

4

1

2

3

1

2+2

x3

x2的矩陣是當(dāng)

時(shí),實(shí)二次型f

(x

,

x

,

x

)=

x2

+

x2

+

5

x2

+1

2

3

1

2

32tx1

x2

-2

x1

x3

+4

x2

x3是正定的.值為2和1(二重),那么B的特征值為

3

4

1

2

4

2

-1對(duì)應(yīng)的二次型是-

17.

矩陣A

=

2(2)對(duì)應(yīng)于2的所有特征向量.(1)t的值;3

1

3

0 1

t

3的特征值,求21.(7分)設(shè)2是矩陣A

=

18.當(dāng)t滿足

時(shí),

二次型f

(x

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論