




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文檔簡(jiǎn)介
定義設(shè)有n維向量
y1
x1
yy
=
y
2
,
x
n
n
x
=
x
2
,令[x,y]=x1
y1
+x
2
y
2
+
+xn
yn
,[x,y]稱為向量
x與y的內(nèi)積.
1
向量?jī)?nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律內(nèi)積的矩陣表示[
x,
y]
=
xT
y,其中x,y都是列向量.內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律(其中x,y,z為n維向量,l為實(shí)數(shù)):(1)[
x,
y]
=
[
y,
x];(2)[lx,y]
=
l[
x,
y];(3)[
x
+
y,
z]
=
[
x,
z]
+
[
y,
z].定義令x
=
[
x,
x]
=
x2
+
x2
+
+
x2
,1
2
nx稱為n維向量x的長(zhǎng)度(或范數(shù)).向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì):非負(fù)性 當(dāng)x
?
0時(shí),
x
>
0;當(dāng)x
=
0時(shí),
x
=
0;齊次性
lx
=
l
x
;三角不等式
x
+
y
£
x
+
y
.2
向量的長(zhǎng)度當(dāng)
x
=
1時(shí),
稱x為單位向量
.(當(dāng)
x
y
?
0時(shí)).向量的內(nèi)積滿足施瓦茨不等式[
x,
y]2
£
[
x,
x][
y,
y],從而有x
y[
x,
y]
£
1,定義稱為n維向量x與y的夾角.當(dāng)[x,y]=0時(shí),稱向量x與y正交.若x
=0,則x與任何向量都正交.當(dāng)
x
?
0,
y
?
0時(shí),x
yq
=
arccos
[
x,
y]3
向量的夾角所謂正交向量組,是指一組兩兩正交的非零向量.向量空間的基若是正交向量組,就稱為正交基.定理零向量,則a1
,a
2
,,ar
線性無(wú)關(guān).若n維向量a1
,a
2
,,ar
是一組兩兩正交的非的一個(gè)基,如果e1
,e
2
,,er
兩兩正交,則稱e1
,e
2
,,er
是V的一個(gè)規(guī)范正交基.Rn)設(shè)n維向量e1
,e
2
,,er
是向量空間V
(V定義4
正交向量組的性質(zhì)中任一向量a都可表為a
=
l1
e1
+
l
2
e
2
+
+
lrer
,若e1
,e
2
,,er
是V的一個(gè)規(guī)范正交基,那么Vi其中
li
=
eT
a
=
[a,
ei
],
(i
=
1,2,,
r
).施密特正交化方法設(shè)a1
,a
2
,,ar
是向量空間V的一個(gè)基,要求V的一個(gè)規(guī)范正交基,只需把a(bǔ)1
,a
2
,,ar
這個(gè)基規(guī)范正交化.則b1
,b2
,,br
兩兩正交,且與a1
,a2
,,ar
等價(jià)..,
][],]
[[
,;[
,
]取
b1
=
a1
;22111
222babr
-1b[b2
,
b2]
[b
,
b
]abb[b
,
b
]r
-11
1
r
-1
r
-1b
a1
rabb[b1
,
b1]b
aabrrrr-
--=
-=
-第一步 正交化第二步 單位化V的一個(gè)規(guī)范正交基.2b21
21b
,
eb11取
e
=rbr=1
b
,就得r=
1
b
,
,
e定義那么稱A為正交矩陣.方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的行(列)向量都是單位向量,且兩兩正交.正交矩陣A的n個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間Rn的一個(gè)規(guī)范正交基.如果n階矩陣A滿足AT
A
=E
(即A-1
=AT
),5
正交矩陣與正交變換定義
若
P
為正交矩陣,則線性變換
y=
Px稱為正交變換.正交變換的特性在于保持線段的長(zhǎng)度不變.xT
x
=
x
.設(shè)y
=Px為正交變換,則有y
=
yT
y
=
xT
PT
px
=定義設(shè)A是n階矩陣,如果數(shù)l和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax
=
lx成立,那么,這樣的數(shù)l稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量.A
-lE
=0稱為方陣A的特征方程.f
(l)=A
-lE
稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.6
方陣的特征值和特征向量l1
,l
2
,,ln
,則有(1)
l1
+
l
2
++
ln
=
a11
+
a22
+
+
ann
;(2)
l1
l
2ln
=
A
.n階方陣A有n個(gè)特征值.若A
=(aij
)的特征值為設(shè)l是A
=(aij
)n·n的特征值,則l也是AT
的特征值;lk
是Ak
的特征值(k為任意自然數(shù));j
(l)是j
(A)的特征值.其中j
(l)=a0
+a1
l
+
+am
lm
,j
(
A)
=
a0E
+
a1
A
+
+
am
Am
.當(dāng)A可逆時(shí),
1
是
A-1的特征值;
1
A是
A*的l
l特征值.7
有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理
設(shè)
l1
,
l
2
,,
lm
是方陣A的m個(gè)特征值,p1
,
p2
,,
pm
依次是與之對(duì)應(yīng)的特征
向量,如果l1
,
l
2
,,
lm
各不相等,則
p1
,
p2
,,
pm
線性無(wú)關(guān).即屬于不同特征值的特
征向量是線性無(wú)關(guān)的
.定理
屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.8
有關(guān)特征向量的一些結(jié)論定義設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P
-1
AP
=
B,則稱B是A的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P
-1
AP稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.矩陣之間的相似具有(1)自反性;(2)對(duì)稱性;
(3)傳遞性.9
相似矩陣相似,則l1
,l
2
,,ln
是A的n個(gè)特征值.若A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A
與B
的特征值亦相同.若A與對(duì)角矩陣l
2ln
L
=
l110
有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)j
(
A)
=
Pj
(B)
P
-1
.特別地,若有可逆陣P,使P
-1
AP
=L為對(duì)角陣,則有Ak
=P
L
k
P
-1
,j
(A)=Pj
(L
)P
-1
.A
能對(duì)角化的充分必要條件是A有n
個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.A有n個(gè)互異的特征值,則A與對(duì)角陣相似.(3)若A
=PB
P
-1
,則Ak
=P
Bk
P
-1
,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交.若l是實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則對(duì)應(yīng)l的必有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.即若A為n階實(shí)對(duì)稱陣,則必有正交陣P
,使得P
-1
AP
=L
,其中L是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣.11
實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣定義f
(
x1
,
x
2
,,
xn)
=
a11
x
2
+
a
22
x
2
+
1
2+
a
nn
x
2
+
2
a12
x1
x
2
+
2
a13
x1
x
3
+
n+
2
an
-1,
n
xn
-1
xn稱為二次型.含有n個(gè)變量x1
,x
2
,,xn
的二次齊次函數(shù)12
二次型二次型可記作f
=x
T
Ax
,其中AT
=A.A稱為二次型f的矩陣,f稱為對(duì)稱陣A的二次型,對(duì)稱陣A的秩稱為二次型f的秩.二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.當(dāng)aij
是復(fù)數(shù)時(shí),f稱為復(fù)二次型;當(dāng)aij
是實(shí)數(shù)時(shí),f稱為實(shí)二次型.定義(或法式).y
2222211稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項(xiàng)的二次型kk+
yf
=
k
ynn+
+13
二次型的標(biāo)準(zhǔn)形其中l(wèi)1
,l
2
,,ln
是f的矩陣A
=(a
ij
)的特征值.22
n2211+
yf
=
ynn(1)任給可逆矩陣C
,令B=CT
AC
,如果A為對(duì)稱陣,則B亦為對(duì)稱陣,且R(B)=R(A)..(2)任給實(shí)二次型
f
=
a
ij
xi
x
j
(a
ij
=
a
ji
),
總i
,
j
=1有正交變換x
=Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形l+
y
2
,ll14
化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(3)拉格朗日配方法亦可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,此時(shí)所用的可逆線性變換一般而言不是正交變換.定義設(shè)有實(shí)二次型f
(x)=xT
Ax,如果對(duì)任何x?0,都有f
(x)>0(顯然f
(0)=0),則稱f為正定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是正定的;如果對(duì)任何x
?0,都有f
(x)<0,則稱f為負(fù)定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是負(fù)定的.15
正定二次型(l
i
?
0),設(shè)有實(shí)二次型
f
=
xT
Ax
,它的秩為
r
,
有兩個(gè)實(shí)的可逆變換x
=
Cy
及
x
=
Pz222211222211及
f
=使
f
=
k
yll2rri(k
?
0),ry
2rzzzkl則k
1
,k
2
,
,k
r
中正數(shù)的個(gè)數(shù)與l1
,l
2
,
,lr
中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.ky+
++
+++16
慣性定理量.r
-p
=N稱為負(fù)慣性指數(shù);s
=p
-N
=p
-(r
-p)=2
p
-r稱為f的符號(hào)差.注意數(shù);k
1
,k
2
,
,k
r
中正數(shù)的個(gè)數(shù)p稱為正慣性指化線性變換的不變它們是二次型對(duì)于非退實(shí)二次型f
=
xT
Ax為正定的充分必要條件是:
它的標(biāo)準(zhǔn)形的
n個(gè)系數(shù)全為正,即正慣性指數(shù)p
=
n;對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的特征值全為正;17
正定二次型的判定>
0,(r
=
1,2,,
n).(-1)r>
0;,(3)(霍爾維茨定理)對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的各階主子式都為正,即a11
a1r
ar1
arra12a21
a22>
0;
a1111an1
nn
aa11
a1n
>
0;對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是:奇數(shù)階主子式為負(fù),而偶數(shù)階主子式為正,即a一、證明所給矩陣為正交矩陣二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知A的特征值,求與A相關(guān)矩陣的特征值典
型
例
題五、求方陣A的特征多項(xiàng)式六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題七、判斷方陣A可否對(duì)角化八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法1
證明矩陣的各列(或行)元素滿足正交條件n
naki
akj
=
dij
(或aik
a
jk
=
dij
),
i,
j
=
1,2,,
n;k
=1方法2
根據(jù)正交陣的定義,先求出AT
,然后k
=1驗(yàn)證A
AT
=
E.一、證明所給矩陣為正交矩陣?yán)?
設(shè)a是n維列向量,
E為n階單位矩陣,
證明A
=E
-[2/(aT
a)]a
aT
為正交矩陣.證明先驗(yàn)證AT
=A,然后根據(jù)正交矩陣的定義驗(yàn)證A
AT
=E
.
AT
=
[E
-
(2
/
aT
a)
aaT
]T=
E
-
(2
/
aT
a)aaT=
A,\
AT
A
=
AA=
[E
-
(2
/
aT
a)
aaT
]
[E
-
(2
/
aT
a)
aaT
]+
[4
/
(aT
a)2]a(aT
a)aT
.
a
?0,\aT
a為一非零數(shù),故a(aT
a)aT
=
(aT
a)(a
aT
),\
AT
A
=
E
-[4
/(aT
a)]a
aT
+
[4
/(aT
a)]a
aT
=
E,故A是正交矩陣.特別當(dāng)aT
a
=1時(shí),A
=E
-2aaT
是正交矩陣.-[2
/
(aT
a)]
aaT=
E
-[2
/
(aT
a)]
aaT將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組,可以先正交化,再單位化;也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化.無(wú)關(guān)向量組,求與之等價(jià)的正交單位向量組.
1
0
321例2
已知向量a
-
1=
0
是線性
0
1
0
0
1
1=
0,a=
1,a二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組解一
先正交化,再單位化取b1
=a
1;令b
2
=k
b1
+a
2
,使得b
2
與b1正交,[a
1
,
b
2]
=
k[a
1
,
b1]
+
[a
1
,a
2]
=
0,2[a
1
,
b1]102\k
=-[a
1
,a
2]=-1
,
故b
1
2
=
-
1
2;(3)令b
3
=k1
b
1
+k
2
b
2
+a
3
,且b
3
與b
2
,b
1
正交,得121
1311==
-[b
,
b
]a[b
,
]k32
22[b
,
b
],
=
-[b
2
,a
2]
=
1
,k13
1
3
-
1
3=
1
3
.故b(4)將b1
,b
2
,b
3
單位化,得bb333g
=bb111g
=bb222g
=00
1 2
=
1 2
;0
2
6
1
6
=
-
1 6
;3)
.3
2
1
(2
3)
-
1
(2
3)=
1
(2解二
同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化(1)取b1
=a
1
,并單位化得bb111g
=00
1 2
=
1 2
;(2)令b
2
=kg1
+a
2
,使得b
2
與g1正交,得212k
=
-[g
,a
]
=
-
1
,02
2
6
1
6
g
=
-
1 6
.102
1
2
=
-
1
2,\b(3)令b
3
=k1
g1
+k
2
g2
+a
3
,且b
3
與g2
,g1
正交,得k1
=
-[g1
,a
3]
=
1 2
,k2
=
-[g2
,a
3]
=
1 6
,3)
.3
23
1
(2
3)
-
1
(2
3)13
1
3
-
1
3=
1
3
,
g
=
1
(2\b則g1
,g2
,g3
為所求之向量組.第一步
計(jì)算A
的特征多項(xiàng)式;第二步
求出特征多項(xiàng)式的全部根,即得
A
的全部特征值;第三步
將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性方程組,求出基礎(chǔ)解系,即得該特征值的特征向量.三、特征值與特征向量的求法和特征向量.解
第一步3
4
3
2
40 2的全部特征值2例3
計(jì)算3階實(shí)矩陣A
=
2l
-
3
-
2
-
4-
2
l
-
2-
4
-
2
l
-
3f
(l)
=
lE
-
A
==
(l
-
8)(l
+
1)2
.計(jì)算A
的特征多項(xiàng)式第二步 求出特征多項(xiàng)式f
(l)的全部根,即A的全部特征值.令f
(l)=0,解之得l1
=8,l2
=l3
=-1,為A的全部特征值.第三步 求出
A
的全部特征向量對(duì)l1
=8,求相應(yīng)線性方程組(l1
E
-A)x
=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.
5
x1
-
2
x2
-
4
x3
=
0,1
2
3-
2
x
+
8
x
-
2
x
=
0,-
4
x1
-
2
x2
+
5
x3
=
0,化簡(jiǎn)求得此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系
2
2
a
1
=
1
.
屬于l1
=8的全部特征向量為k1a
1
(k1
?0為實(shí)數(shù)).
0
A)x
=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系:-
4
x1
-
2
x2
-
4
x3
=
0,同理對(duì)l
2
=l
3
=-1,求相應(yīng)線性方程組(l
2
E
-1
2
3
1
1
-
1a
2
=
-
2.a
=
0
,2-
4
x1
-
2
x2
-
4
x3
=
0,求解得此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:
-
2
x
-
x
-
2
x
=
0,k
2a
2
+
k
3a
3
,k
2
,k
3
是不全為零的實(shí)數(shù).從而A的全部特征向量為k1a
1
;k
2a
2
+k
3a
3
,這里k1
?0為實(shí)數(shù),k
2
,k
3
是不全為零的實(shí)數(shù).于是A的屬于l
2
=l
3
=-1的全部特征向量為例4
設(shè)n階方陣A的全部特征值為l1
,l
2
,,ln
,屬于li
的特征向量為a
i
,求P
-1
AP的特征值與特征向量.解首先證明A與P
-1
AP有相同的特征值.只需證明它們有相同的特征多項(xiàng)式.-1
f
P
-1
AP
(l)
=
lE
-
P
AP=
l
P-1
P
-
P-1
AP四、已知A的特征值,求與A相關(guān)矩陣的特征值=
P-1
lE
-
A
P
=
lE
-
A
=
f
A
(l),\l1
,l2
,,ln
就是P-1
AP的全部特征值.其次求P-1
AP屬于li的特征向量.
Aa
i
=
lia
i
,即
(li
E
-
A)a
i
=
0,又
(li
E
-
P-1
AP
)a
i=
(li
P-1
P
-
P-1
AP
)a
i=
P-1
(li
E
-
A)Pa
i
,\
(li
E
-
P-1
AP
)
P-1a
i=
P-1
(li
E
-
A)P
P-1a
i=
P-1
(li
E
-
A)a
i
=
0,即
(
P-1
AP
)(P-1a
i
)
=
li
(
P-1a
i
),故
P-1a
i
是P-1
AP屬于li的特征向量.例5
設(shè)A是n階方陣,
其特征多項(xiàng)式為f
(l)
=
lE
-
A
=
ln
+
an
-1
ln
-1
+
+
a1
l
+
a0
,A求:(1)求AT
的特征多項(xiàng)式;(2)當(dāng)A非奇異時(shí),求A-1的特征多項(xiàng)式.ATAT(l)
=
lE
-解(1)f=
(lE
-
A)T=
lE
-
A
=
f
A
(l),\A與AT
有相同的特征多項(xiàng)式.五、求方陣A的特征多項(xiàng)式(2)設(shè)l1
,l2
,,ln
是A的全部特征值,則的全部特征值,,,,1-1是A-1-1n-12lll故A-1的特征多項(xiàng)式為f
-1
(l)
=
lE
-
A-1A=
(l
-
1
)(l
-
1
)(l
-
1
)l1
l2
ln=
ln
+
a1
ln-1
+
+
an-1
l
+
1
.a0
a0
a01
用特征根計(jì)算方陣A的行列式A例6
設(shè)A是3階矩陣,它的3個(gè)特征值為l1
=
1,
l
2
=-1,l
3
=2,設(shè)B
=A3
-5
A2
,求B
;A
-5E
.解ln
來(lái)計(jì)算A
.令f
(x)=x3
-5
x2
,因?yàn)閘1
,l2
,l3
是A的全部特征值,利用A的行列式與特征值的重要關(guān)系A(chǔ)
=l1
l
2六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題所以f
(li
)(1
£
i
£
3)是f
(A)=A3
-5
A2
=B的全部特征值.故B
=
f
(
A)
=
f
(l1)
f
(l2)
f
(l3)=
(-4)(-6)(-12)
=
-288.下面求A
-5E
.方法一令g(A)=A
-5E,因?yàn)锳的所有特征值為l1
=1,l
2
=-1,l
3
=2,所以g(A)的所有特征值為g(l1),g(l
2),g(l
3),A
-
5E
=
g(
A)
=
g(1)g(-1)g(2)
=
-72.\方法二因?yàn)锳的所有特征值為l1
=1,l2
=-1,l3
=2,故
A
=
1
·(-1)
·
2
=
-2.又
B
=
A3
-
5
A2
=
A2
(
A
-
5E
),\
A
-
5E
=
B A
2
=
-288
/
4
=
-72.\B
=
A
2
A
-
5E
,但
B
=
-288,f
A
(l)
=
lE
-
A
=
(l
-
1)(l
+
1)(l
-
2),所以方法三因?yàn)锳的所有特征值為l1
=1,l2
=-1,l3
=2,5E
-
A
=
f
A
(5)
=
(5
-
1)(5
+
1)(5
-
2)
=
72,A
-
5E
=
(-1)3
5E
-
A
=
-72.2
用方陣A的特征值,來(lái)討論kE
-A的可逆性當(dāng)k是A的特征值時(shí),kE
-A
=0,kE
-A不可逆;當(dāng)k不是A的特征值時(shí),kE
-A
?0,kE
-A可逆.例7
設(shè)A為n階方陣,若A2
=E,8E
-A是否可逆?設(shè)l是A的特征值,且l
?–1,A
–E是否可逆?解(1)
A2
=E,\A的特征值為l1
=1,l2
=-1,故k
=
8不是A的特征值,
從而8E
-
A可逆.一般地,對(duì)k
?–1,kE
-A均可逆.(2)因?yàn)閘
?–1,所以–1不是A的特征值,于是1
E
-
A
?
0,
(-1)
E
-
A
?
0.-
E
-
A
=
-
(
E
+
A)
=
(-1)n
A
+
E
,又\
A
+
E
?
0;E
-
A
=
-
(
A
-
E
)
=
(-1)n
A
-
E
,\
A
-
E
?
0,故A
–E均為可逆矩陣.例8
設(shè)A是n階下三角陣.(1)在什么條件下A可對(duì)角化?(2)如果a11
=
a22
=
=
ann
,且至少有一ai0
j
?
00(i
0
>j0),證明A不可對(duì)角化.解
(1)
A
可對(duì)角化的充分條件是
A
有n
個(gè)互異的特征值.下面求出
A
的所有特征值.七、判斷方陣A可否對(duì)角化,a220
a11ann
A
=
\
f
A
(l)
=
lE
-
A=
(l
-
a11)(l
-
a22)(l
-
ann).令f
A
(l)=0,即(l
-a11)(l
-a22)(l
-ann)=0,得A的所有特征值li
=aii
(1
£
i
£
n).當(dāng)li
?l
j
(i
?j,i,j
=1,2,,n)時(shí),即當(dāng)aii
?a
jj時(shí),A可對(duì)角化.(2)用反證法.若A可對(duì)角化,則存在可逆矩陣P,使P-1
AP
=
diag(l
,
,,
), (1
£
i
£
n)1
l2
ln
li是A的特征值.由(1)可知li
=aii
=a11
,所以E.11a11a
=
a11
P-1
AP
=
a11A
=
P
a11
E
P-1
=
a11P
P-1
=
a11E
,這與至少有一個(gè)
ai0
j
?
0(i
0
>
j0)矛盾,故A不可0對(duì)角化.0
0T
,使T
-1
AT為對(duì)角陣.
2
-
2
0
1
-2,求正交變換-
2例9
設(shè)實(shí)對(duì)稱陣A
=
-
2解
第一步 求A的特征值.由l
-
2
2
02
l
-
1
20
2
llE
-
A
=八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣=
(l
-
4)(l
-
1)(l
+
2)
=
0,l
=
1,
l
=
-2.2
3得
l1
=
4,第二步
由(li
E
-
A)
x
=
0,求出A的特征向量.對(duì)
l1
=
4,由(4E
-
A)
x
=
0,得2
x1
+
2
x2
=
0,
1
-
2a
1
=
2
.解之得基礎(chǔ)解系2
x2
+
4
x3
=
0,1
2
32
x
+
3
x
+
2
x
=
0,對(duì)
l2
=
1,由(
E
-
A)
x
=
0,得x3
=
0,2
x2
+1
3+
2
x
=
0,
2
x-
x1
+
2
x2
=
0,
2
-
2a
2
=
1
.解之得基礎(chǔ)解系對(duì)
l3
=
-2,由(-2E
-
A)
x
=
0,得2
x1
-
3
x2
+
2
x3
=
0,2
x2
-
2
x3
=
0,-
4
x1
+
2
x2
=
0,
2
1
a
3
=
2.解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化.因?yàn)閍
1
,a
2
,a
3
是屬于A的3
個(gè)不同特征值的特征向量,故它們必兩兩正交.第四步 將特征向量單位化.,i
=1,2,3,得a
iii令h
=a
2
/
3
1/
3
h3
=
2
/
3.
2
/
3
h2
=
1/
3
,
-
2
/
3
-
2
/
3h1
=
2
/
3
,
-
1/
3
21
-
2
2 1
作
T
=
(h1
,h2
,h3)
=
3
2
1
2,
-
1
-
20
.
0-
2
4
0
0
則
T
-1
AT
=
0
102f
(x1
,x2
,x3)=2
x1
x3
+x2
為標(biāo)準(zhǔn)形.例10
用正交變換化0Ax,01
2
3
1
2
1
1
0
0
1
A
=
0
1
0.0=2
0
3
0
0f
(
x
,
x
,
x
)
=
(
x
,
x
,
x3)
0
10xxx1
x1
T得實(shí)對(duì)稱矩陣九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解
第一步 將
f
表成矩陣形式lE
-A
=(l
+1)(l
-1)2
=0,得l1
=
l2
=
1,l3
=
-1.第三步 求正交矩陣T
.解方程組(l1
E
-A)x
=0,得它的基礎(chǔ)解系第二步
求出A的所有特征值.由
0
1
1
0
a
2
=
1
.
a
1
=
0,
02
將它們單位化,得[a
1
,a
2]=0,\a
1與a
2
正交,a
2=
a
22a
111
0
=
1
.1/
1/ 2
=
0
,h
=ha單位化,得解方程組(l
3
E
-A)x
=0,得它的基礎(chǔ)解系
1
-
1a
3
=
0
,2
a
3=
a
330
.
1/
2
-
1/=h0
=L為對(duì)角陣.
0
l1
?l3
,\h3
與h1
,h2
正交,令T
=
(h1
,h2
,h3),T為正交矩陣,且
-
1
1
0
0
T
-1
AT
=
0
10第四步 作正交變換x
=
Ty.23y
.2221+
yTTT
TAT
)
y
=
y
L
y
=
yf
=
y
(-+
8
x2
x3
+
2
x1
x3
.第一步 將f中含
x1的項(xiàng)集中進(jìn)行配方,并作相f
(
x1
,
x2
,
x3)
=
x2
+
2
x2
+
10
x2
+
2
x1
x21
2
3例11
用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求相應(yīng)的線性變換.解應(yīng)的線性變換.f
(
x1
,
x2
,
x3)
=
[
x2
+
2
x1
(
x2
+
x3)]
+
2
x21
2+
10
x2
+
8
x
x3
2
3x
xxxxxxxxxx2
322322322323xx232121+
102+
2+
)-
(+
)
]+
8+
6+
(+
)(+
2=
[.2
32321x
xx+
9x
xx=
(
+
+
)2
+
y1
=
x1
+
x2
+
x3
,3322作線性變換
y
=
x
,xy
=
,1y
=
p1
x,
0
1
1
1
p1
=
0
1
0,0即23
2
3+
9
y
+
6
y
y
.22211
2
3+
yx
x
x)
=
y得
f
(
,
,第二步將f
=
y2
+
y2
+
9
y2
+
6
y
y
中含
y
的1
2
3
2
3
2f
=z2
+z2
為所求標(biāo)準(zhǔn)形,1
22
2333221
0得
Pz
=
y
,
z1
=
y1
,
1
0
0
=
0
1
3
,0令z
=
y
+
3
y
,
即z
=
P
y,項(xiàng)集中進(jìn)行配方,并作相應(yīng)的線性變換.f
=
y2
+
(
y
+
3
y
)2
.1
2
3相應(yīng)的線性變換為
z
=
Py
=
(
P2
P1)
x.第五章 測(cè)試題一、填空題(每小題4分,共32分).設(shè)A是n階方陣,A*是A的伴隨矩陣,A
=2,則方陣B
=
AA*的特征值是
,
特征向量是三階方陣A的特征值為1,-1,2,則B
=2
A3
-3
A2的特征值為
2
00且A的特征2
1
-1
1
0
-1
-
4
13
0,
B
=
1
30
03.設(shè)A
=
-4
x
-
1
0
0
2
0 0
2
0
0
0
y1
00
相似,1
與B
=
04.已知矩陣A
=
0則x
=
,
y
=二次型f
(x
,
x
,
x
,
x
)=
x
2
+
2
x
2
+
3
x
2
+
4
x
x1
2
3
4
1
2
3
1
2+2
x3
x2的矩陣是當(dāng)
時(shí),實(shí)二次型f
(x
,
x
,
x
)=
x2
+
x2
+
5
x2
+1
2
3
1
2
32tx1
x2
-2
x1
x3
+4
x2
x3是正定的.值為2和1(二重),那么B的特征值為
3
4
1
2
4
2
-1對(duì)應(yīng)的二次型是-
17.
矩陣A
=
2(2)對(duì)應(yīng)于2的所有特征向量.(1)t的值;3
1
3
0 1
t
3的特征值,求21.(7分)設(shè)2是矩陣A
=
18.當(dāng)t滿足
時(shí),
二次型f
(x
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