演示文稿高斯公式和斯托克斯公式

演示文稿高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第1頁\共有50頁\編于星期二\11點（優(yōu)選）高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第2頁\共有50頁\編于星期二\11點一、高斯公式定理11.7

高斯公式11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第3頁\共有50頁\編于星期二\11點。證明11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第4頁\共有50頁\編于星期二\11點根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第5頁\共有50頁\編于星期二\11點。11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第6頁\共有50頁\編于星期二\11點。同理------------------高斯公式合并以上三式得：11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第7頁\共有50頁\編于星期二\11點。Gauss公式的實質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第8頁\共有50頁\編于星期二\11點例1解.故11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第9頁\共有50頁\編于星期二\11點例2解11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第10頁\共有50頁\編于星期二\11點。(利用柱面坐標(biāo)得)11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第11頁\共有50頁\編于星期二\11點使用Guass公式時應(yīng)注意:11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第12頁\共有50頁\編于星期二\11點例311.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第13頁\共有50頁\編于星期二\11點解曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式空間曲面在面上的投影域為11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第14頁\共有50頁\編于星期二\11點。11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第15頁\共有50頁\編于星期二\11點。故所求積分為11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第16頁\共有50頁\編于星期二\11點定理11.8設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,的側(cè)與

的正向符合右手法則,二、斯托克斯公式

(斯托克斯公式)

在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),在包含則有11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第17頁\共有50頁\編于星期二\11點證明是有向曲面的正向邊界曲線右手法則如圖11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第18頁\共有50頁\編于星期二\11點思路：曲面積分二重積分曲線積分1211.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第19頁\共有50頁\編于星期二\11點。111.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第20頁\共有50頁\編于星期二\11點根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第21頁\共有50頁\編于星期二\11點同理可證：故有結(jié)論成立.11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第22頁\共有50頁\編于星期二\11點便于記憶形式：另一種形式11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第23頁\共有50頁\編于星期二\11點Stokes公式的實質(zhì):

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第24頁\共有50頁\編于星期二\11點例4解11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第25頁\共有50頁\編于星期二\11點11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第26頁\共有50頁\編于星期二\11點例5解按斯托克斯公式,有11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第27頁\共有50頁\編于星期二\11點。11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第28頁\共有50頁\編于星期二\11點三、通量與散度1.通量:11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第29頁\共有50頁\編于星期二\11點

上側(cè)的磁通量，其中為上半球面例6設(shè)磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度求其通過解所求的磁通量為設(shè)取下側(cè)，11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第30頁\共有50頁\編于星期二\11點

則由高斯公式得11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第31頁\共有50頁\編于星期二\11點2.散度:11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第32頁\共有50頁\編于星期二\11點散度在直角坐標(biāo)系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第33頁\共有50頁\編于星期二\11點高斯公式可寫成11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第34頁\共有50頁\編于星期二\11點例7求向量場在下列各點處的散度，其中解則故11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第35頁\共有50頁\編于星期二\11點四、環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第36頁\共有50頁\編于星期二\11點2.旋度:利用stokes公式,有11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第37頁\共有50頁\編于星期二\11點。11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第38頁\共有50頁\編于星期二\11點

斯托克斯公式的又一種形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第39頁\共有50頁\編于星期二\11點斯托克斯公式的向量形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第40頁\共有50頁\編于星期二\11點Stokes公式的物理解釋:11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第41頁\共有50頁\編于星期二\11點例8求向量場的旋度及其沿閉曲線的環(huán)流量，其中為球面和平面的交線，從軸正向看

為逆時針方向。解由旋度的定義11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第42頁\共有50頁\編于星期二\11點向量場沿閉曲線的環(huán)流量為其中為所圍的平面區(qū)域且取上側(cè)，投影區(qū)域為，于是所求的環(huán)流量為在面上的11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第43頁\共有50頁\編于星期二\11點內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用應(yīng)用:(1)計算曲面積分

(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:

11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第44頁\共有50頁\編于星期二\11點2、斯托克斯公式空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有設(shè)P,Q,R

在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第45頁\共有50頁\編于星期二\11點3.*通量與散度設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面的通量為

G內(nèi)任意點處的散度為(n為的單位法向量）

11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第46頁\共有50頁\編于星期二\11點4.*旋度設(shè)

梯度:散度:旋度:則11.6高斯公式和斯托克斯公式當(dāng)前第47頁\共有50頁\編于星期二\11點思考與練習(xí)？所圍立體,判斷下列演