講連續(xù)型隨機變量分布及隨機變量的函數(shù)的分布

#/10P{X>z}=a,Ovavl,(4.18)a□□點z□□□□□□□□□a□□點.由a(課間休息)□□□□□z□:(課間休息)□□□□□z□:aO.OO10.0050.010.0250.05z3.0902.5762.3271.9601.6450.101.28□□□□□□□□□□□□□□□□□X□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□X□□□□□□□□試求Y=(X-1)2的分布律.X1012pk0.20.30.10.4解Y□□□□□□0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,Y-014pk0.10.70.2§5□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□.例如,□□□□□□,□□□□□□□□□□□□□□□□□□□而它卻是某個能直接測量的隨機變量的函數(shù).□□□□□□□□□□直徑d,□□□□□□□□□A=pd2/4.這里，隨機變量A□□機變量d□□數(shù).□□□□□□□□□□□□□X□□□□□□□□它的函數(shù)Y=g(X)(g(“)□□□□□□數(shù))□□□□□.□□□□□□□x□□□□□□□xf(x)=]8'X〔0,X□□□□□□0…x…4,其它.求變量Y=2X+8□□□□□.□:分別記求變量Y=2X+8□□□□□.□:分別記X,Y□□□□□□FX(x),FY(y).□□□□□FY(y).fy(y)=P{Y‘y}=P{2x'8‘y}?x‘y-81=Fry-8],2JX<2丿將FY(y)關于y□□數(shù),得Y=2X+8的概率密度為Y率密度為Y1y-8)1ny-8,--——?一,0?——?4,8(2丿220,其它8?y?16,其它8?y?16,其它°，(特注：y=°時概率為零，但并非不可能事件。)例3設隨機變量X具有概率密度fX(x),-g?x?g,求Y=X2的概率密度.解分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).由于Y=X2>°,故當y‘°時FY(特注：y=°時概率為零，但并非不可能事件。)F(y)=P{Y‘y}=P{X2‘y}Y=Hr亍‘x‘"}=F(、：y)…F(-i：y).XX將FY(y)關于y求導數(shù)，即得Y的概率密度為f(f(y)尹“7)““7)],y'°,y‘°.例3結論的應用：設X~N(°,1),其概率密度為1e-x2/2,-g?x?g■v'2n則Y=X2的概率密度為y'°,y‘°.此時稱Y服從自由度為1的?2分布.(5.1)定理設隨機變量X具有概率密度fX(x),-€<X<€,又設函數(shù)g(X)處處可導且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)vO),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為Yfx[h(y)]h(y)|,a<y<卩0：其它(5.2)其中a=min(g(-€),g(€)),P=max(g(-€),g(€)),h(y)是g(x)的反函數(shù).證先設g'(x)>0.此時g(x)在(-€，€)嚴格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)存在，且在(a,卩)嚴格單調(diào)增加，可導.分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).因Y在(a,卩)取值，故當y<a時,FY(y)=P{Y<y}=0;當y<P時,FY(y)=P{Y<y}=l.當a<y<P時，當g'(x)<0時,g(x)在(-€，€)嚴格單調(diào)遞減，它的反函數(shù)h(y)存在，且在(a,卩)嚴格單調(diào)遞減，可導.分別記X,Y的分布函數(shù)為FX(x),FY(y).FY(y)=P{Y<y}=P{g(X)<y}=P{X<h(y)}=FX[h(y)].將FY(y)關于y求導數(shù)，即得Y的概率密度當a<y<P時，F(xiàn)Y(y)=P{Y<y}=P{g(X)<y}=P{X<h(y)}=1-FX[h(y)]YfY(YfY(y)=(5.4)?fx[h(y)]h'(y),a<y<p,?0：其它對于g'(x)<0的情況同樣可以證明，有f[h(y)][—h'(y)],a<y<p,X0,其它.合并(5.3),(5.4)式，命題得證。特別聲明：如果fX(x)在有限區(qū)間［a,b］以外等于零,只需假設在［a,b］上恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),上述定理依然成立，但此時有a=min［g(a),g(b)］,例4設隨機變量X?N(卩,€2).試證明X“=max[g(a),g(b)].的線性函數(shù)Y=aX+b(a,0)也服從正態(tài)分布.證X的概率密度為'(x)=-—(x—p)2e2€2,—g<x<g.x、.：2n€現(xiàn)在Y=g(X)=aX+b,由這一式子解得x=h(y)=口,且有h'(y)=1.aa由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度為—g?y?g.y—b(…卩)211…一a—Y；——e2€2Y[y—(b+ap)][y—(b+ap)]22(a€)2,—X>?y?g1ea€叮2兀即有Y=aX+b~N(ap+b,(a€)2).特別,在上例中取a-1/€,b=—p/€,得X—pY=-?N(0,1).€這就是上一節(jié)引理的結果.例5設電壓V=Asin0,其中A是一個已知的正常數(shù)，相角0是一隨機變量，且有0?U—-,-。試求電壓V的概率I22丿密度.[arcsin(x)]'=解現(xiàn)在v=g(‘[arcsin(x)]'=(nn\一在-一,一上恒有g'(‘)=Acos‘〉0,且有反函數(shù)k22丿‘=h(v)=arcsin—,h'(