通信原理中傅里葉級(jí)數(shù)PPT課件

1、一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率,為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).第1頁/共29頁xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin

2、0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 第2頁/共29頁上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 第3頁/共29頁二、二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sinc

3、os(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,對(duì)在逐項(xiàng)積分, 得第4頁/共29頁xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得第5頁/共29頁葉系數(shù)

4、為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) .稱為函數(shù))(xf 第6頁/共29頁定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnx

5、bnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成傅里里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.第7頁/共29頁例例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里里葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù). oyx11第8頁/共29頁xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos

6、1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx第9頁/共29頁),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于02112) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明說明:), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖.第10頁/共29頁xoy例例2.上的表達(dá)式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù). 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1

7、xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 第11頁/共29頁), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx說明說明: 當(dāng)) 12(kx時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于22)(0第12頁/共29頁, )(xxf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅

8、里里葉級(jí)數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法), , )(xxf, )2(kxf其它第13頁/共29頁例例3. 將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級(jí)數(shù) .oyx則xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里里葉2為周期的函數(shù) F(x) , 第14頁/共29頁x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10

9、)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n說明說明:第15頁/共29頁42,421312242設(shè),413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222第16頁/共29頁三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理定理4 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,),2,1

10、,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為第17頁/共29頁例例4. 設(shè)的表達(dá)式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在上),)(xf解解: 若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn第18頁/共29頁n1根據(jù)收斂定理

11、可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo級(jí)數(shù)的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情況見右圖.n5第19頁/共29頁例例5. 將周期函數(shù)tEtusin)(展成傅里里葉級(jí)數(shù), 其中E 為正常數(shù) .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期為2 的周期偶函數(shù) , 因此0d)(2ttu第20頁/共29頁t 2cos310d) 1sin()

12、1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412第21頁/共29頁2. 在0,上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級(jí)數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf第22頁/共29頁1xyo例例6. 將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級(jí)數(shù)

13、與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k第23頁/共29頁nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意:在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第24頁/共29頁再求余弦級(jí)數(shù).x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42k