對坐標(biāo)的曲線積分26247

節(jié)

一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對坐標(biāo)的曲線積分2021/5/91一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動到點(diǎn)B,求移“分割”“近似”“求和”“取極限”常力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/921)“分割”.2)“近似”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/933)“求和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/942.定義.設(shè)

L

為xoy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/95在空間曲線弧上的對坐標(biāo)的曲線積分為:稱為稱為類似地,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對y的曲線積分.對x的曲線積分;2021/5/963.性質(zhì)(1)若L

可分成k條與L同向的光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則,則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/97二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:不一定小于.2021/5/98特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/99例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/910例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/911例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/912例4.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/913三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)L

的參數(shù)方程為則L的切向量為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以所以L的切向量的方向余弦為2021/5/914類似的，有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則兩類曲線積分有如下聯(lián)系2021/5/915例5.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以L的切向量為則L的切向量的方向余弦為所以因為L的方程為2021/5/9161.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9173.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9184.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/919原點(diǎn)O

的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時針移動到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9202.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9213.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線