“化圓”策略在一道幾何題中的應用

“化圓”策略

在幾何最值問題中的應用——一道中考題引發(fā)的思考（2015.湖北武漢）如圖，△ABC、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M．當△EFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最小值是（）A． B． C．D．一、試題呈現(xiàn)我的聯(lián)想120°90°90°我的猜想定值？定值為90°？我的驗證二、解法展示連結(jié)AD、DG根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ADG和△CDF為相似三角形.又根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可得∠FDG=90°.所以∠AMF=

∠MGF+∠MFG=∠MGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°點M始終在以AC為直徑的圓上運動求BM的最小值即可轉(zhuǎn)化為求圓外一點到圓上一點的距離的最小值解法一：定量計算可得，BO=,r=1,BM最小值為

M'連結(jié)AD、DG根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ADG和△CDF為相似三角形.所以∠DCF=

∠DAM,解法二：根據(jù)“外角等于其內(nèi)對角”判定A、M、C、D四點共圓.二、解法展示先定形再定量先特殊再一般幾何直觀三、模型探究1、當動點對定線段所張的角為定值時，可考慮構(gòu)造輔助圓.2、當動點到定點的距離為定值時，也可考慮構(gòu)造輔助圓.120°90°90°注重“形”的積累，培養(yǎng)“型”的思想三、模型探究3、求圓外一定點到圓上一動點的距離最值.

求圓內(nèi)一定點到圓上一動點的距離最值.最大值最小值最大值最小值四、變式探索1、改變旋轉(zhuǎn)的圖形，改變旋轉(zhuǎn)中心的位置等。2、改變圖形變換的方式，如移動，翻折，對稱等。3、改變最值的呈現(xiàn)方式，如求最大面積，最長的高線等。4、增加動點的個數(shù)，疊加兩種不同的圖形變換方式等。……改編一：改變圖形和最值呈現(xiàn)方式。四、變式拓展平面直角坐標系中，O為原點，A（0，2），C（1，0），△AOC和△GOF為全等的直角三角形，△GOF繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)AG和FC，直線AG,FC交于點M，求點M縱坐標的最大值。四、變式拓展在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-4，0），點B（0，4）.若正方形OCDE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BC和AE，則直線BC和AE交于點P，求點P縱坐標的最大值。四、變式拓展改編二：改變“旋轉(zhuǎn)”為“直線運動”。（靈感來自2014年金華中考第23題）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，滿足AF=CE，連接AE，BF相交于點P．當點E從點A運動到點C時，求△ABP的面積的最大值．四、變式拓展改編三：改變“旋轉(zhuǎn)”為“翻折”。如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF長的最小值是_________．四、變式拓展改編四：雙動點問題?！鰽BC和△BEF為全等的銳角三角形，AB=4，EF=5，點D為線段AB中點,P為AC上的動點。將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，求線段GD長度的最大值與最小值．（靈感來自2012年義烏中考題）五、考綱鏈接【2016寧波中考考試說明（一）17題】

如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=2，點P為等腰Rt△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍為

。五、考綱鏈接【2016寧波中考考試說明（二）12題】如圖，邊長為3的等邊△ABC的頂點A在x軸的正半軸上移動，∠AOD=30°，頂點B在射線OD上隨之移動，則頂點C到原點O的最大距離是()A.6B.8C.D.E這些最值問題中的圓，能讓動點顯露出本質(zhì)；能讓問題換一件