原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第八章 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)配套課件

第5講

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課標(biāo)要求考情分析1.通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.◆一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.2.通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.◆兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.3.能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1.垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€(gè)解答題出現(xiàn)，所以它是高考的熱點(diǎn)，是復(fù)習(xí)的重點(diǎn).縱觀歷年來(lái)的高考題，立體幾何中沒(méi)有難度過(guò)大的題，因此復(fù)習(xí)要抓好三基：基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，基本能力.2.要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.在本節(jié)中“化歸”思想尤為重要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口項(xiàng)目圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意一條直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α1.直線與平面垂直項(xiàng)目圖形條件結(jié)論性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(續(xù)表)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面2.平面與平面垂直3.直線與平面所成的角(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么直線與平面所成的角等于0°.(2)如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角等于90°.

(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是(0°，90°).斜線與平面所成的線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角.4.二面角

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形叫做二面角.從二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)已知兩條直線l，m及三個(gè)平面α，β，γ，下列條)件中能推出α⊥β的是( A.l?α，l⊥β

B.l⊥α，m⊥β，l⊥m

C.α⊥γ，β∥γ

D.l?α，m?β，l⊥m

解析：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B正確；如果兩個(gè)互相平行的平面有一個(gè)垂直于一個(gè)平面，那么另一個(gè)平面也垂直這個(gè)平面，選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)α與β可能平行.故選ABC.答案：ABC題組二走進(jìn)教材2.(多選題)(必修2P73

第1題改編)下列命題中正確的是()

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β

解析：對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的.答案：ABC

3.(必修2P67第2題改編)P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，O是P在平面α內(nèi)的射影.若P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則O是△ABC的__________心；若P到△ABC的三邊的距離相等，則O是△ABC的________心；若PA，PB，PC兩兩垂直，則O是△ABC的________心.

解析：從射影易得P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離也相等即為外接圓圓心；若P到△ABC的三邊的距離相等，則O到△ABC的三邊的距離也相等，即為內(nèi)切圓圓心；若PA，PB，PC兩兩垂直，則O為垂心.答案：外內(nèi)垂題組三真題展現(xiàn)4.(2017年全國(guó)Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD)

B.A1E⊥BDD.A1E⊥AC的中點(diǎn)，則( A.A1E⊥DC1

C.A1E⊥BC1答案：C5.(2019年北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________.解析：將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：(1)如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確.(2)如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi).(3)如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.答案：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m考點(diǎn)1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)自主練習(xí)

1.如圖8-5-1，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB.給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中真命題的序號(hào)是__________.

圖8-5-1

解析：AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確；若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE，與已知矛盾，故③錯(cuò)誤；由①可知④正確.答案：①②④

2.(多選題)在三棱錐D-ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，下面結(jié)論正確的是()A.AC⊥BDB.MN∥平面ABDC.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直解析：根據(jù)題意，畫(huà)出三棱錐D-ABC如圖D72所示，取AC中點(diǎn)O，連接OB，OD.圖D72因?yàn)锳B＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，所以△ABC，△ADC為等腰直角三角形，則OD⊥AC，BO⊥AC，且OD∩BO＝O，

則AC⊥平面BOD，

所以AC⊥BD，即A正確；

因?yàn)镸，N分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，

由中位線定理可得MN∥BD，而B(niǎo)D?平面ABD，MN

平面ABD，

所以MN∥平面ABD，即B正確；

當(dāng)平面DAC⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A-CMN的體積最大，假設(shè)AD⊥BC，由AB⊥BC，且AD∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，又因?yàn)锳C⊥BD，且AC∩BC＝C，所以BD⊥平面ABC，由OB?平面ABC，則BD⊥OB，由題意可知OB＝OD，因而B(niǎo)D⊥OB不能成立，因而假設(shè)錯(cuò)誤，即D正確.故選ABD.答案：ABD

【題后反思】直線與直線垂直?直線與平面垂直?平面與平面垂直?直線與平面垂直?直線與直線垂直，通過(guò)直線與平面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)處理有關(guān)垂直的問(wèn)題.出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，平行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓周上的點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為直角.考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)師生互動(dòng)

[例1](2020年江蘇)如圖

8-5-2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn).

圖8-5-2 (1)求證：EF∥平面AB1C1； (2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.證明：(1)由于E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)，所以EF∥AB1.由于EF

平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)由于B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.由于AB⊥AC，AC∩B1C＝C，所以AB⊥平面AB1C，由于AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【題后反思】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.①證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.②證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.③證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.④證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

【考法全練】

(2018年全國(guó)Ⅰ)如圖8-5-3，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段錐Q-ABP的體積.圖8-5-3(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.

圖D73

由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.考點(diǎn)3線面所成的角多維探究

[例2](2020年全國(guó)Ⅱ)如圖8-5-4，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1

的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1

和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.圖8-5-4(2)解：如圖

8-5-5連接NP，圖8-5-5∵AO∥平面EB1C1F，平面AONP∩平面EB1C1F＝NP，∴AO∥NP，根據(jù)三棱柱上下底面平行，其平面A1NMA∩平面ABC＝AM，平面A1NMA∩平面A1B1C1＝A1N，∴ON∥AP，故四邊形ONPA是平行四邊形，設(shè)△ABC邊長(zhǎng)是6m(m>0)，可得ON＝AP，NP＝AO＝AB＝6m，

【題后反思】(1)證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行尋找與論證，往往結(jié)合平面幾何知識(shí).

(2)面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，線面垂直的證明，往往需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，線線垂直的證明有時(shí)需要利用平面幾何條件.

(3)求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，再結(jié)合三角形可求得線面角.

【考法全練】圖D74答案：C

解析：方法一，如圖D75，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥C1O于點(diǎn)H.圖D75答案：A

⊙二面角

[例3](1)(2018年浙江)已知四棱錐

S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則(

)A.θ1≤θ2≤θ3

B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2

D.θ2≤θ3≤θ1

解析：如圖8-5-6所示，設(shè)O為正方形ABCD的中心，M為AB中點(diǎn)，過(guò)E作BC的平行線EF，交CD于F，過(guò)O作ON⊥EF于N，連接SO，SN，OM，則SO⊥底面ABCD，OM⊥AB，因此∠SEN＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SMO＝θ3，圖8-5-6∵SN≥SO，EO≥OM，∴tanθ1≥tanθ3≥tanθ2，即θ1≥θ3≥θ2.故選D.答案：D

(2)(2017年浙江)如圖8-5-7

所示，已知正四面體D-ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的)D-QR-P的平面角為α，β，γ，則(

圖8-5-7A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α

解析：設(shè)O為三角形ABC中心，則O到PQ距離最小，O到PR距離最大，O到RQ距離居中，而高相等，因此α<γ<β.故選B.答案：B

【高分訓(xùn)練】

(2019年浙江)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二