湖北省恩施市來鳳縣實驗中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖北省恩施市來鳳縣實驗中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）若從區(qū)間（0，e）內(nèi)隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之積不小于e的概率為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點】：幾何概型．【專題】：概率與統(tǒng)計．【分析】：先作出圖象，再利用圖形求概率，由題意可設(shè)兩個數(shù)為x，y，則有所有的基本事件滿足，根據(jù)幾何概型可求其概率．解：解：由題意可設(shè)兩個數(shù)為x，y，則所有的基本事件滿足，如圖．總的區(qū)域是一個邊長為e的正方形，它的面積是e2，滿足兩個數(shù)之積不小于e的區(qū)域的面積是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e，∴兩個數(shù)之積不小于e的概率是：=．故選B．【點評】：本題考查幾何概率模型，求解問題的關(guān)鍵是能將問題轉(zhuǎn)化為幾何概率模型求解，熟練掌握幾何概率模型的特征利于本題的轉(zhuǎn)化．2.過點，且傾斜角為30°的直角與圓O：相切于點B，且，則△OAB的面積是（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：B在直角三角形AOB中，選B.

3.若sin=，則cosa=A.-

B.-

C.

D.參考答案：C4.已知△ABC兩內(nèi)角A、B的對邊邊長分別為a、b，

則“”是“

”的（

）A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.非充分非必要條件參考答案：5.若框圖所給的程序運行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.某高中高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比是，用分層抽樣的方法從三個年級抽取學(xué)生到劇院觀看演出，已知高一抽取的人數(shù)比高二抽取的人數(shù)多2人，則高三觀看演出的人數(shù)為（

）

A．14

B．16

C．20

D．25參考答案：C略7.已知雙曲線的左右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓交C的右支于兩點，若的一個內(nèi)角為60°，則C的離心率為（

）A. B.

C.

D.參考答案：C分析：由條件可知△PQF1為等邊三角形，從而可得出P點坐標，代入雙曲線方程化簡得出離心率．詳解：設(shè)雙曲線方程為由對稱性可知△PQF1為等腰三角形，若△PQF2的一個內(nèi)角為60°，則△PQF1是等邊三角形，∴△F1PQ的一個內(nèi)角為600°，∴∠PF2Q=120°，設(shè)PQ交x軸于A，則|AF1|=|F1P|=c，|PA|=c，不妨設(shè)P在第二象限，則P（﹣2c，c），代入雙曲線方程可得：∴令a=1可得：4c4﹣8c2+1=0，解得c2=1+或c2=1﹣（舍）．∴c=或c=﹣（舍）．∴e=.故答案為：C

8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則的解集為A．(2,4)

B．(－∞,2)∪(4,+∞) C．(－1,1)

D．(－∞,－1)∪(1,+∞)參考答案：B9.袋中有6個小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，甲乙兩人玩游戲，先由甲從袋中任意摸出一個小球，記下號碼后放回袋中，再由乙摸出一個小球，記下號碼，若就稱甲乙兩人“有默契”，則甲乙兩人“有默契”的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.甲、乙兩位同學(xué)約定周日早上8：00﹣8：30在學(xué)校門口見面，已知他們到達學(xué)校的時間是隨機的，則甲要等乙至少10分鐘才能見面的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件對應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，算出事件對應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}事件對應(yīng)的集合表示的面積是s=900，滿足條件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，事件對應(yīng)的集合表示的面積是=200，根據(jù)幾何概型概率公式得到P=．故選C．【點評】本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件所對應(yīng)的區(qū)域求出，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形面積，用面積的比值得到結(jié)果．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為直線，為平面，給出下列命題：①；

②；

③④；

⑤其中正確的命題是

（填寫所有正確的命題的序號）參考答案：②③⑤12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則______________.參考答案：-1513.在極坐標系中,圓的圓心到直線的距離是

參考答案：1如下圖,設(shè)圓心到直線距離為，因為圓的半徑為，14.已知直線l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在實數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”．下面給出四條曲線：①y=﹣2|x﹣1|②y=x2③（x﹣1）2+（y﹣1）2④x2+3y2=4其中，可以被稱為直線l的“絕對曲線”的是．（請將符合題意的序號都填上）參考答案：②③④考點：函數(shù)與方程的綜合運用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：若存在實數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”，分別進行判定是否垂直a即可．解答：解：①由直線y=ax+1﹣a，可知此直線過點A（1，1），y=﹣2|x﹣1|=，如圖所示，直線l與函數(shù)y=﹣2|x﹣1|的圖象只能由一個交點，故不是“絕對曲線”；②y=x2與l：y=ax+1﹣a聯(lián)立，解得或，此兩個交點的距離=|a|，化為（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，令f（a）=（a﹣2）2（1+a2）﹣a2，則f（1）=2﹣1=1＞0，f（2）=0﹣4＜0，因此函數(shù)f（a）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在零點，即方程（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，有解．故此函數(shù)的圖象是“絕對曲線”；③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓，此時直線l總會與此圓由兩個交點，且兩個交點的距離是圓的直徑2，∴存在a=±2滿足條件，故此函數(shù)的圖象是“絕對曲線”；④把直線y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=．若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則a2=（1+a2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+a2）{﹣4×}，化為﹣=0，令f（a）=，而f（1）=﹣4＜0，f（3）=﹣＞0．∴函數(shù)f（a）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有零點，即方程f（a）=0有實數(shù)根，而直線l過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時，直線滿足條件，即此函數(shù)的圖象是“絕對曲線”．綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．故答案為：②③④點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的運用，屬于難題．15.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=．參考答案：﹣1﹣2i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)===﹣1﹣2i故答案為：﹣1﹣2i．16.的展開式中的系數(shù)為

.（用數(shù)字作答）參考答案：70.17.若直線與圓相切,且,則a的值為_________.參考答案：-3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1的長為3，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是棱BC的中點．（Ⅰ）求證：BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值；（Ⅲ）在側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出相關(guān)點的坐標．（Ⅰ）求出平面C1DE的一個法向量，，通過數(shù)量積為0，推出BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求出平面ABCD的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求解夾角的余弦函數(shù)值，然后求解二面角C1﹣DE﹣C的正切值．（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），利用與共線，列出不等式組，求解即可．【解答】解：以點D為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D﹣xyz，則B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中點，∴E（1，2，0），（Ⅰ）設(shè)平面C1DE的一個法向量為，則，∵，∴，∴，又DE?平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）平面ABCD的一個法向量為，∴，，，∴二面角C1﹣DE﹣C的正切值為；（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），則，且與共線，∴存在實數(shù)λ使得，即這樣的λ不存在，∴在側(cè)棱BB1上不存在點P，使得CP⊥平面C1DE．19.（13分）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=1，a2=3，，bn=an+1﹣an．（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）數(shù)列{cn}滿足cn=log2（an+1）（n∈N*），求參考答案：【考點】：數(shù)列的應(yīng)用．【專題】：計算題．【分析】：（1）由題意可知數(shù)列{bn}是首項b1=2，公比q=2的等比數(shù)列．故bn=b1qn﹣1=2n．（2）由an+1﹣an=2n（n∈N*）可知an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，由此能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．（3）根據(jù)題意，可知，由此能夠求出答案．解：（1）∵，又b1=a2﹣a1=3﹣1=2．所以數(shù)列{bn}是首項b1=2，公比q=2的等比數(shù)列．故bn=b1qn﹣1=2n（2）an+1﹣an=2n（n∈N*）∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．（3）cn=log2（an+1）=log2（2n﹣1+1）=log22n=n，（n∈N*），∴∴==【點評】：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，具有一定的難度，解題時要注意公式的合理選用．20.（12分）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在和上都是增函數(shù)，求的取值范圍。參考答案：21.如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交☉O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．（Ⅰ）求證：DE是☉O的切線；（Ⅱ）若=，求的值．參考答案：考點：與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明．專題：立體幾何．分析：（Ⅰ）連結(jié)OD，由圓的性質(zhì)得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能證明DE是⊙O切線．（Ⅱ）過D作DH⊥AB于H，則有cos∠DOH=cos∠CAB==，設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OD，由圓的性質(zhì)得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD為半徑，∴DE是⊙O切線．（Ⅱ）解：過D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．點評：本題考查圓