《第13章軸對稱》單元測試含答案解析

《第13章軸對稱》一、選擇題1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對稱圖形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知點(diǎn)A（4，3）和點(diǎn)B是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個點(diǎn)，且它們關(guān)于直線x=﹣3對稱，則平面內(nèi)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）3．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為（）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD4．桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有（）個．A．1 B．2 C．4 D．65．把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，如圖所示，則所得的圖形是（）A． B． C． D．6．如圖，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AF交CD于E，則△CEF必為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題7．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70°，則∠B′OG=度．8．如圖，黑顏色的三角形與哪些圖形成軸對稱（填寫序號）9．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，則△BDC的周長是．10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=度．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有個．12．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實(shí)際時刻是．13．已知：等腰三角形的周長為50厘米，若底邊長為x厘米，則x的取值范圍是．三、畫圖題14．直線l的兩旁分別有點(diǎn)A、B，在直線l求作一點(diǎn)P使|PB﹣PA|最大．15．如圖，某住宅小區(qū)擬在休閑場地的三條道路上修建三個涼亭A、B、C且涼亭與長廊兩兩連通．如果涼亭A、B的位置己經(jīng)選定，那么涼亭C建在什么位置，才能使工程造價最低？請用尺規(guī)作出圖形（不寫作法，但保留作圖痕跡），并簡要說明理由．四、證明題16．已知：如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，AC⊥CE，判斷線段DE與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．判斷：證明：17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延長線交BC于E．求證：AE⊥BC．四、綜合題18．已知：AD是等腰△ABC一邊上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=度．19．已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，連BF交AC于點(diǎn)E，∠ABE+∠CEB=180°，比較線段BD與CE的大小，并證明你的結(jié)論．20．如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB=AC，∠ABD=60°，過D作ED⊥AD，交AC于點(diǎn)E，恰有DE平分∠BDC．試判斷線段CD、BD與AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

《第13章軸對稱》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對稱圖形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．據(jù)此可知只有第三個圖形不是軸對稱圖形．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義：第一個圖形和第二個圖形有2條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；第三個圖形找不到對稱軸，則不是軸對稱圖形，不符合題意．第四個圖形有1條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；軸對稱圖形共有3個．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱與軸對稱圖形的概念．軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．2．已知點(diǎn)A（4，3）和點(diǎn)B是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個點(diǎn)，且它們關(guān)于直線x=﹣3對稱，則平面內(nèi)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-對稱．【分析】根據(jù)軸對稱的定義列式求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后解答即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，∵點(diǎn)A（4，3）與點(diǎn)B關(guān)于直線x=﹣3對稱，∴=﹣3，解得x=﹣10，∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=﹣3對稱，∴點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)B（﹣10，3）．故選D．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱，熟記對稱的性質(zhì)并列出方程求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為（）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)AB=AC，判斷出∠B=∠C=30°，從而求出∠BAC=120°，然后根據(jù)∠BAD=90°，求出∠1=30°，得到DC=AD，然后根據(jù)30°的角所對的直角邊是斜邊的一半解答．【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180﹣30°×2=120°，又∵BAD=90°，∴∠1=120°﹣90°=30°，∴∠1=∠C=30°，∴DC=AD，∵在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=BD，則CD=BD．∴BD=2CD．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了含30°角的直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，知道30度的角所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有（）個．A．1 B．2 C．4 D．6【考點(diǎn)】生活中的軸對稱現(xiàn)象．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題意分析可得：分別找出入射點(diǎn)B和反射點(diǎn)B，看看是否符合即可．【解答】解：由圖可知可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個．．故選B．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形的定義．如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．解此題關(guān)鍵是找準(zhǔn)入射點(diǎn)和反射點(diǎn)．5．把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，如圖所示，則所得的圖形是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】剪紙問題．【專題】操作型．【分析】把一個正方形的紙片向上對折，向右對折，向右下方對折，從上部剪去一個等腰直角三角形，展開，看得到的圖形為選項(xiàng)中的哪個即可．【解答】解：從折疊的圖形中剪去8個等腰直角三角形，易得將從正方形紙片中剪去4個小正方形，故選C．【點(diǎn)評】考查學(xué)生的動手操作能力，也可從剪去的圖形入手思考．6．如圖，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AF交CD于E，則△CEF必為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】等腰三角形的判定．【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠1=∠2，再根據(jù)等角的余角相等求出∠3=∠4，根據(jù)對頂角相等可得∠5=∠4，然后求出∠3=∠5，再利用等角對等邊可得CE=CF，從而得解．【解答】解：如圖，∵AF是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠5=∠4（對頂角相等），∴∠3=∠5，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，利用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象．二、填空題7．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70°，則∠B′OG=55度．【考點(diǎn)】角的計(jì)算．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意∠B′OG=∠BOG，根據(jù)平角和角平分線的定義即可求得．【解答】解：由題意可得∠B′OG=∠BOG，則∠B′OG=（180﹣∠AOB′）÷2=55°．故答案為55．【點(diǎn)評】已知折疊問題就是已知圖形全等，因而得到相等的角．8．如圖，黑顏色的三角形與哪些圖形成軸對稱1，3，5，7（填寫序號）【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：由軸對稱的性質(zhì)可知，黑顏色的三角形與1，3，5，7可形成軸對稱圖形．故答案為：1，3，5，7．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，則△BDC的周長是14．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD．∵AB=AC=8，BC=6，∴△BDC的周長=BC+（BD+CD）=BC+（BD+AD）=BC+AB=6+8=14．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=15度．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在y軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有4個．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定．【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點(diǎn)；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點(diǎn)；符合條件的點(diǎn)一共4個．【解答】解：分二種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OA為等腰三角形的腰時，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點(diǎn)，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點(diǎn)．∴符合條件的點(diǎn)一共4個．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點(diǎn)，比較形象易懂．12．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實(shí)際時刻是8：00．【考點(diǎn)】鏡面對稱．【分析】鏡子中的時間和實(shí)際時間關(guān)于鐘表上過6和12的直線對稱，作出相應(yīng)圖形，即可得到準(zhǔn)確時間．【解答】解：由圖中可以看出，此時的時間為8：00．故答案為：8：00．【點(diǎn)評】考查了鏡面對稱的知識，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對稱軸；難點(diǎn)是作出相應(yīng)的對稱圖形．13．已知：等腰三角形的周長為50厘米，若底邊長為x厘米，則x的取值范圍是0＜x＜25．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【分析】已知周長和底邊，可表示腰長．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得不等式求解．【解答】解：∵等腰三角形的周長為50，底邊長為x，∴兩腰和=50﹣x．∴50﹣x＞x＞0，解得0＜x＜25．故答案是：0＜x＜25．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)出的底邊的長表示出兩腰的和，難度不大．三、畫圖題14．直線l的兩旁分別有點(diǎn)A、B，在直線l求作一點(diǎn)P使|PB﹣PA|最大．【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題．【分析】點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，則PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，則當(dāng)A′，B、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大．【解答】解：如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連A′B并延長交直線l于P．【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖，某住宅小區(qū)擬在休閑場地的三條道路上修建三個涼亭A、B、C且涼亭與長廊兩兩連通．如果涼亭A、B的位置己經(jīng)選定，那么涼亭C建在什么位置，才能使工程造價最低？請用尺規(guī)作出圖形（不寫作法，但保留作圖痕跡），并簡要說明理由．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】工程造價最低，那么三個涼亭間的距離最短，又在直線l上，那么應(yīng)作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．【解答】解：三個涼亭間的距離實(shí)際相當(dāng)于A'B的距離，兩點(diǎn)之間，線段最短，所以符合題意．【點(diǎn)評】涉及在同一條直線的一旁的兩點(diǎn)與這條直線上的一點(diǎn)的最短路線問題，一般屬于點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題．四、證明題16．已知：如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，AC⊥CE，判斷線段DE與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．判斷：DE=AC證明：【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】探究型．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由△ABC為等邊三角形得到AC=BC，∠ACB=60°，則由AC⊥CE可計(jì)算出∠BCE=30°，再利用△BDE為等邊三角形得到DE=BE，∠DBE=60°，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BEC=90°，然后在Rt△BEC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得BE=BC，所以DE=AC．【解答】解：DE=AC．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠BCE=90°﹣60°=30°，∵△BDE為等邊三角形，∴DE=BE，∠DBE=60°，∴∠BEC=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△BEC中，∵∠BCE=30°，∴BE=BC，∴DE=AC．故答案為DE=AC．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延長線交BC于E．求證：AE⊥BC．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】首先證明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，根據(jù)線段垂直平分線的判定可得D在BC的垂直平分線上，由AB=AC，得出A在BC的垂直平分線上，于是AD垂直平分BC，即AE⊥BC．【解答】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACD，即∠DBC=∠DCB，∴DB=DC，∴D在BC的垂直平分線上，∵AB=AC，∴A在BC的垂直平分線上，∵兩點(diǎn)確定一條直線，∴AD垂直平分BC，∴AE⊥BC．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的判定，難度適中．證明出D在BC的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．四、綜合題18．已知：AD是等腰△ABC一邊上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=30或150度．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由于BC為腰，則點(diǎn)B可為頂角的頂點(diǎn)，也可為底角的頂點(diǎn)，高AD可在三角形內(nèi)部也可在三角形外部，故應(yīng)分三種情況分析計(jì)算．【解答】解：由題意得，分三種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)B為頂角的頂點(diǎn)時，且AD在三角形內(nèi)部，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°；（2）當(dāng)點(diǎn)B為頂角的頂點(diǎn)時，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90°+∠60°=150°；（3）當(dāng)點(diǎn)C為頂角的頂點(diǎn)時，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，當(dāng)點(diǎn)A為頂角的頂點(diǎn)時，AD在三角形內(nèi)部，∠ABC=﹣∠ADB﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，故答案為：30或150【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)．注意分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．19．已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，連BF交AC于點(diǎn)E，∠ABE+∠CEB=180°，比較線段BD與CE的大小，并證明你的結(jié)論