介電常數(shù)與對稱性

介電常數(shù)與對稱性wangcl@1第一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@2介電常數(shù)與對稱性各向異性介電常數(shù)與對稱性的關(guān)系第二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@3描寫電介質(zhì)的性質(zhì)以及遵循的電學(xué)規(guī)律常用三個矢量和兩個系數(shù)，即極化強(qiáng)度P，電場強(qiáng)度E，電位移D和極化率χ，介電常數(shù)ε。第三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@4極化強(qiáng)度P

在外電場的作用下，電介質(zhì)要產(chǎn)生極化。極化強(qiáng)度就是反映電介質(zhì)的極化強(qiáng)度的物理量，通常用符號P表示。極化強(qiáng)度與電偶極矩的關(guān)系：在電介質(zhì)內(nèi)選取某體積元?V，沒有外電場作用時，電介質(zhì)不產(chǎn)生極化，這時體積元?V內(nèi)所有原子（或分子）的電偶極矩的Σp分量等于零；在電場作用下，由于電介質(zhì)要產(chǎn)生極化，這時體積元?V內(nèi)的電偶極矩的矢量和Σp不等于零。第四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@5極化強(qiáng)度P的定義為：即極化強(qiáng)度為單位體積內(nèi)的電偶極矩的矢量和。第五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@6極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系

電介質(zhì)極化后在它的表面上要出現(xiàn)極化電荷（即束縛電荷）。極化電荷的數(shù)量與極化程度有關(guān)，就是說與極化強(qiáng)度有關(guān)。設(shè)極化電荷面密度為σ’，則有：Pn

為極化強(qiáng)度在表面元的法線方向的分量。上)式說明電介質(zhì)的極化電荷面電荷密度在數(shù)值上等于極化強(qiáng)度在該面上的法線方向的分量。第六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@7各向同性介質(zhì)中P、D和E之間的關(guān)系

對于各向同性的電介質(zhì)，實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)當(dāng)介質(zhì)中電場不是很大時，極化強(qiáng)度P與電場E成正比，并且方向相同，即：式中比例系數(shù)χ稱為介質(zhì)的極化率。第七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@8電位移D與電場E、極化強(qiáng)度P之間的關(guān)系為：或

式中，0=1/（36109）8.8510-12（法/米），稱為真空介電常數(shù)或真空極化率；稱為介電常數(shù)，它們之間的關(guān)系為：

或

第八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@9各向異性介質(zhì)中P、D和E之間的關(guān)系

一般晶體都是各向異性的電介質(zhì)。對于各向異性的電介質(zhì)實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，P、D、E之間的方向彼此不同，如圖所示，但關(guān)系D=0E+P式仍然成立；和與P、D、E的分量方向有關(guān)，不是標(biāo)量而是張量了。第九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@10圖2-8充滿各向異性介質(zhì)的平行板電容器

第十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@11P與E的關(guān)系

為了得到各向異性介質(zhì)中極化強(qiáng)度分量（Px、Py、Pz）與電場強(qiáng)度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關(guān)系式，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。當(dāng)介質(zhì)在x方向受到電場Ex的作用時，不僅在x方向出現(xiàn)極化強(qiáng)度Px(1)，而且在y方向和z方向也出現(xiàn)極化強(qiáng)度分量Py(1)和Pz(1)，它們與Ex的關(guān)系為：第十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@12同理，在介質(zhì)的y、z方向，分別受到電場Ey或Ez的作用時，產(chǎn)生的極化強(qiáng)度分量為：

第十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@13當(dāng)介質(zhì)受到任意電場E（Ex、Ey、Ez）的作用時，介質(zhì)中產(chǎn)生的極化強(qiáng)度P（Px、Py、Pz）與E之間的關(guān)系為：第十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@14上式表示各向異性介質(zhì)中的極化強(qiáng)度分量與電場強(qiáng)度分量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)上還發(fā)現(xiàn)，對于所有的介質(zhì)都存在12=21，13=31和23=32，即獨(dú)立的極化率系數(shù)只有六個。于是上式可改寫為：第十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@15極化率的物理意義式中極化率11=（Px/Ex）Ey,Ez，為當(dāng)y、z方向電場分量Ey、Ez保持不變時，由于沿x方向電場分量Ex的變化所引起的x方向極化強(qiáng)度Px的變化與Ex變化之比?；蛘哒f，當(dāng)Ey、Ez保持不變時，Ex改變一個單位時（即Ex=1時）所引起Px的變化就等于11。極化率12=（Px/Ey）Ez,Ex，為當(dāng)z、x方向電場分量Ez、Ex保持不變時，Ey改變一個單位時（即Ex=1時）所引起Px的變化。其它極化率的意義與11、12類似，極化率的大小由材料的介電性質(zhì)所決定。第十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@16Itisatensor,notavector由此可見，對于各向異性介質(zhì)沿x方向的極化強(qiáng)度分量Px不僅與x方向的電場Ex有關(guān)，而且與y、z方向電場分量Ey、Ez有關(guān)，或者說Px與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。同理，Py、Pz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。描寫電介質(zhì)材料介電性質(zhì)的極化率，有六個獨(dú)立分量（11、12、13、23、22、33）。就是說電介質(zhì)材料的極化率，即不是標(biāo)量，也不是矢量，而是二級對稱張量，它與E、P的方向有關(guān)。

第十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@17為了方便，我們規(guī)定x、y、z方向?yàn)?、2、3方向，于是（Px、Py、Pz）就可寫成（P1、P2、P3），（Ex、Ey、Ez）就可寫成（E1、E2、E3）。上式可簡化為:或：第十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@18矩陣形式

第十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@19D與E的關(guān)系

同理，電介質(zhì)材料中的電位移分量（Dx、Dy、Dz）與電場強(qiáng)度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關(guān)系可以寫為：

或簡寫成：第十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@20式中介電常數(shù)11=（Dx/Ex）Ey、Ez，為當(dāng)Ey、Ez保持不變時，Ex改變一個單位時所引起Dx的變化。介電常數(shù)12=（Dx/Ey）Ez、Ex，為當(dāng)Ez、Ex保持不變時，Ey改變一個單位時所引起Dx的變化。其它介電常數(shù)的意義與11、12的類似，介電常數(shù)的大小由材料的介電性決定第二十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@21D與P、E之間的關(guān)系

各向異性電介質(zhì)材料沿x方向的電位移分量Dx不僅與x方向的電場Ex有關(guān)，而且與y、z方向電場分量Ey、Ez有關(guān)?；蛘哒fDx與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。同理，Dy、Dz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關(guān)系。描寫各向異性電介質(zhì)材料的介電性質(zhì)需要六個獨(dú)立的介電常數(shù)，因此各向異性電介質(zhì)材料的介電常數(shù)也是二級對稱張量。第二十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@22介電常數(shù)mn與極化率mn之間的關(guān)系在x方向上的分量：第二十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@23同理可得：寫成矩陣形式為：第二十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@24對于各向同性的電介質(zhì)，P、E之間的關(guān)系與D、E之間的關(guān)系也可以寫成矩陣形式：第二十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@25小結(jié)（1）不論是各向同性的電介質(zhì)，還是各向異性電介質(zhì)，關(guān)系式D=0E+P都是成立的。（2）對于各向同性的線性電介質(zhì)材料，D、E、P的方向相同，并有D=E，P=E；與是標(biāo)量，與，D、E、P的分量方向無關(guān)。與之間的關(guān)系為：=0+。（3）對于各向異性電介質(zhì)材料，D、E、P的方向彼此不同，并有第二十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@26各向異性電介質(zhì)的介電常數(shù)與對稱性

描寫完全各向同性介質(zhì)，只要一個介電常數(shù)，描寫完全各向異性介質(zhì)，需要六個獨(dú)立的介電常數(shù)。獨(dú)立的介電常數(shù)的個數(shù)與材料的對稱性有關(guān)，而且一般情況下獨(dú)立的介電常數(shù)的個數(shù)是界于一個和六個之間。

第二十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@27下面主要介紹如何根據(jù)不同晶類的對稱性，來確定它的獨(dú)立介電常數(shù)。在32種點(diǎn)群中，有21個沒有對稱中心，這21種點(diǎn)群中有20種點(diǎn)群具有壓電效應(yīng)。這20種具有壓電效應(yīng)的晶體，它們的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的數(shù)目在下表中。第二十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@28具有壓電效應(yīng)的晶類的各種獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目

表2-1具有壓電效應(yīng)的晶類的各種獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目晶系點(diǎn)群獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目

晶系點(diǎn)群獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目介電彈性壓電介電彈性壓電三斜162118三角3276單斜m413103m2642413832262正交mm2395六角6254222393252四方42746mm2532746m22514mm263622251m2262立方231314222613m131壓電陶瓷253

第二十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@29從表中可以看出，屬于三斜晶系的晶體結(jié)構(gòu)對稱性最低，是完全各向異性晶體，它的獨(dú)立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最多；其次是屬于單斜晶系的晶體，對稱性也較低；屬于立方晶系的晶體，對稱性最高，接近于各向同性晶體，它的獨(dú)立介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最少，其次是六角晶系，對稱性也較高。第二十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@30晶體的獨(dú)立介電常數(shù)的數(shù)目

現(xiàn)在介紹如何根據(jù)不同晶類的對稱性，來確定它的獨(dú)立的介電常數(shù)。因?yàn)椴煌木ь惖膶ΨQ性不一樣，或者說各向異性的程度不一樣，其獨(dú)立的介電常數(shù)數(shù)目就會不一樣。完全各向異性體的獨(dú)立介電常數(shù)有六個，完全各向同性體的獨(dú)立介電常數(shù)只有一個，而且有壓電效應(yīng)的晶體的對稱性是介于完全各向異性體和完全各向同性體之間，可以預(yù)料它們的獨(dú)立介電常數(shù)的數(shù)目是在一到六之間。

第三十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@31例如，氯酸鈉NaClO3和溴酸鈉NaBrO3晶體，是立方晶系23點(diǎn)群的壓電晶體；碲化鎘CdTe和硒化鋅ZnSe晶體是屬于立方晶系3m點(diǎn)群的壓電晶體。這些晶體的獨(dú)立介電常數(shù)只有一個。又如，屬于四方晶系4mm點(diǎn)群的鈦酸鋇BaTiO3晶體，屬于三方晶系32點(diǎn)群的-石英晶體和3m點(diǎn)群的LiNbO3晶體等都是介于完全各向異性體和完全各向同性體之間的晶體，這些晶體的獨(dú)立介電常數(shù)只有二個。

第三十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@32現(xiàn)在以具有z軸是四次軸的晶體為例，說明晶體對稱性與介電常數(shù)之間的關(guān)系。所謂z軸是四次軸，即表示當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90、180、270后，晶體的性質(zhì)保持不變，各個介電常數(shù)也mn保持不變。當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的x’軸與y軸重合，若晶體繞z軸轉(zhuǎn)270后，則晶體的y’軸與x軸重合，這表明，當(dāng)x軸與y軸互換后，晶體的介電常數(shù)應(yīng)保持不變，即要求11=22。但是x軸、y軸與z軸不能互換，即11

33。至于其它介電常數(shù)，可通過下述方法確定。第三十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@334-foldrotation第三十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@34設(shè)晶體受到沿z方向的電場Ez的作用時，在x、y軸方向的電位移分量為：當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，在新坐標(biāo)系中電位移分量為：第三十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@35因?yàn)閦軸轉(zhuǎn)90后，x’y，y’

-x，zz’，固有Dx’=Dy，Dy’=-Dx：比較可得：因?yàn)閦軸為四次軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的介電常數(shù)應(yīng)保持不變，這就要求：

第三十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@36一方面要求：另一方面又要求：可見下式只有才能同時滿足用類似方法還可以證明：第三十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@37最后得到具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)的矩陣形式為：

獨(dú)立的介電常數(shù)只有11和33兩個。鈦酸鋇、鈦酸鉛等壓電晶體的z軸都是四次旋轉(zhuǎn)軸，它們的介電常數(shù)與上式相同。第三十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@38坐標(biāo)變換法利用矢量和張量的坐標(biāo)變換可以嚴(yán)格證明上面的過程。注意點(diǎn)群的對稱操作與坐標(biāo)軸的關(guān)系。原坐標(biāo)系：新坐標(biāo)系：具有對稱性的意義：第三十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@39坐標(biāo)系的變換：或：電場的變換：電位移的變換：第三十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@40仍以4點(diǎn)群為例說明。變換矩陣為：具有對稱性的意義：第四十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@41第四十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@42對稱性要求4點(diǎn)群介電常數(shù)的形式第四十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@43足標(biāo)代換法

還可以采用“足標(biāo)代換法”來確定晶體的獨(dú)立介電常數(shù)。設(shè)轉(zhuǎn)動前，晶體的坐標(biāo)為o-xyz，繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的坐標(biāo)為o-x’y’z’，見圖2-10。新舊坐標(biāo)軸之間的關(guān)系為： x’y，y’-x，z’z用（1、2、3）來代表（x、y、z）有：

12，2-1，33于是有：1122，2211，3333，12-21，1323，23-13第四十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@44與介電常數(shù)聯(lián)系即得：’11=22，’22=11，’33=33，’12=-21，’13=23，’23=-13因?yàn)閦軸是四次旋轉(zhuǎn)軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，介電常數(shù)應(yīng)保持不變，即：’11=11，’22=22，’33=33，’12=12，’13=13，’23=23比較上述兩式結(jié)果，可見只有11=22，12=12以及12=13=13=23=0時，兩者才完全一致。第四十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@45得具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)矩陣形式為這個結(jié)果與坐標(biāo)變換所得結(jié)果完全相同。

第四十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@46足標(biāo)代換法—一般過程點(diǎn)群分析：例如—點(diǎn)群4：只有一個4度旋轉(zhuǎn)軸，而且沿c軸，即z軸方向。足標(biāo)變化：繞z軸旋轉(zhuǎn)90后，xy,y-x,zz,用（123）代表（xyz）12,2-1,33第四十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@4712,2-1,33旋轉(zhuǎn)后性質(zhì)保持不變（對稱性的要求）再進(jìn)行其它的旋轉(zhuǎn)操作不改變介電常數(shù)矩陣的形式第四十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@48足標(biāo)代換法—例2：mm2點(diǎn)群鈮酸鋇鈉（Ba2NaNb5O15）晶體，鎵酸鋰（LiGaO3）晶體都是屬于正交晶系mm2點(diǎn)群的晶體。它們的z軸是二次軸，x面、y面是對稱面。現(xiàn)在根據(jù)它們的對稱性質(zhì)用足標(biāo)代換法來確定獨(dú)立的介電常數(shù)。

第四十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@49圖2—10mm2中的第一個m第四十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期六wangcl@50因?yàn)榫w的x面是對稱面，固有x’-x、y’

y、z’

z，即：1-1、22、33，

第五十頁，共