結(jié)構(gòu)動力學(xué)演示文稿

結(jié)構(gòu)動力學(xué)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-1概述動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動，各種量值均隨時間而變化。一、結(jié)構(gòu)動力計算的特點（2）研究單自由度及多自由度的自由振動、強(qiáng)迫振動。1、內(nèi)容：（1）研究動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等計算原理和計算方法。求出它們的最大值并作為結(jié)構(gòu)設(shè)計的依據(jù)。2、靜荷載和動荷載（1）靜荷載：荷載的大小和方向不隨時間變化（如梁板自重）。（2）動荷載：荷載的大小和方向隨時間變化，需要考慮慣性力。3、特點

（2）內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜平衡。必須考據(jù)慣性力。依達(dá)朗伯原理，加慣性力后，將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題。(1)必須考慮慣性力。(3)分析自由振動即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強(qiáng)迫振動動力反應(yīng)的前提和準(zhǔn)備。當(dāng)前第2頁\共有154頁\編于星期三\10點動力荷載的種類(1)周期荷載：隨時間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦

(或余弦)規(guī)律變化的稱為簡諧周期荷載，也稱為振動荷載。§14-1概述F(t)toF(t)=F0sint(2)沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時間很短即行消失的荷。F(t)totd當(dāng)前第3頁\共有154頁\編于星期三\10點(3)突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。(4)快速移動的荷載。高速移動的列車、汽車等。F(t)totd§14-1概述當(dāng)前第4頁\共有154頁\編于星期三\10點(5)隨機(jī)荷載：變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系表示的荷載。如風(fēng)的脈動作用、地震等。§14-1概述當(dāng)前第5頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-1概述結(jié)構(gòu)振動的形式(1)自由振動：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動，而在振動過程中不再受外部干擾力作用。(2)強(qiáng)迫振動：在振動過程中不斷受外部干擾力作用。

如圖所示在跨中支承集中質(zhì)量的簡支梁，把質(zhì)點m拉離原有的彈性平衡位置，然后突然放松，則質(zhì)點將在原有平衡位置附近往復(fù)振動。在振動過程中不受外來干擾，這時的振動即是自由振動。當(dāng)前第6頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)振動的自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。

圖a所示簡支梁跨中固定一個重量較大的物體，如果梁本身的自重較小可略去，把重物簡化為一個集中質(zhì)點，得到圖b所示的計算簡圖。梁在振動中的自由度=1單自由度結(jié)構(gòu)—具有一個自由度的結(jié)構(gòu)。多自由度結(jié)構(gòu)—自由度大于1的結(jié)構(gòu)。當(dāng)前第7頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度圖a所示結(jié)構(gòu)有三個集中質(zhì)點。自由度=1圖b所示簡支梁上有三個集中質(zhì)量。自由度=3圖c所示剛架有一個集中質(zhì)點。自由度=2自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點的數(shù)目當(dāng)前第8頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-2結(jié)構(gòu)振動的自由度

圖剛架上有四個集中質(zhì)點，但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)點的位置。如圖e。自由度=3圖示梁，其分布質(zhì)量集度為m，可看作有無窮多個mdx的集中質(zhì)量，是無限自由度結(jié)構(gòu)。自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān)動力自由度的確定方法：加附加鏈桿約束質(zhì)點位移，最少鏈桿數(shù)即為自由度或當(dāng)前第9頁\共有154頁\編于星期三\10點

圖a所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)器運轉(zhuǎn)時，若只考慮基礎(chǔ)的垂直振動，可用彈簧表示地基的彈性，用一個集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量。使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)?！?4-2結(jié)構(gòu)振動的自由度

圖b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，略去次要因素后，可簡化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。實際結(jié)構(gòu)針對具體問題可以進(jìn)行簡化當(dāng)前第10頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動

圖a所示為一個簡單的質(zhì)點彈簧模型。取重物的靜力平衡位置為計算位移y的原點，規(guī)定位移y和質(zhì)點所受的力都已向下為正。(1)列動力平衡方程（剛度法）彈簧拉力(恢復(fù)力)Fe=－k11y慣性力質(zhì)點處于動力平衡狀態(tài)可得一、不考慮阻尼時的自由振動取振動任一時刻的質(zhì)點為隔離體如圖b。1、振動微分方程的建立當(dāng)前第11頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)列位移方程（柔度法）如圖c。

質(zhì)點m振動時，把慣性力FI看作是靜力荷載作用在體系上，則質(zhì)點處的位移為對單自由度結(jié)構(gòu)有可得與(1)相同的結(jié)果或為(a)命上式即為單自由度結(jié)構(gòu)自由振動微分方程則有(a)當(dāng)前第12頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動建立振動微分方程的例：當(dāng)前第13頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動建立圖示體系的振動微分方程：當(dāng)前第14頁\共有154頁\編于星期三\10點方程振動的初始條件為則有可得2、運動方程的解：為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為A1和A2為任意常數(shù)，可有初始條件來確定。式中y0—初位移，—初速度。§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第15頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動結(jié)構(gòu)的自由振動由兩部分組成：一部分是初位移y0引起的，為余弦規(guī)律；一部分是初速度引起的，為正弦規(guī)律。如圖a、b。當(dāng)前第16頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動令則有式(b)可寫為(c)簡諧振動如圖ca—為振幅，表示質(zhì)點的最大位移；—為初相角?！芷凇こ填l率—角頻率或頻率討論：結(jié)構(gòu)振動主要由三個參數(shù)a、φ和ω

有關(guān)。a和φ與外因（初位移、初速度）有關(guān)，ω只與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，是結(jié)構(gòu)固有特性，決定了結(jié)構(gòu)的動力特性，即兩個結(jié)構(gòu)只要ω相同，動力反應(yīng)相同。當(dāng)前第17頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所產(chǎn)生靜力位移。式(d)表明：ω隨Δst的增大而減小，即把質(zhì)點放在結(jié)構(gòu)最大位移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動周期。剛度法柔度法重力法討論：質(zhì)量自重力對自振頻率的影響。yst為重力mg產(chǎn)生的靜位移，y為動位移，總位移為yst+y，動平衡方程：考慮質(zhì)量重力，不影響頻率和動位移。當(dāng)前第18頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：可用柔度法計算，即先求單位力產(chǎn)生的位移δ11，代入公式計算例14-1當(dāng)不考慮梁的自重時，比較圖中所示三種支承情況的梁的自振周期。自乘當(dāng)前第19頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動說明：隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。(a),(b)圖互乘據(jù)此有δ11為超靜定結(jié)構(gòu)位移計算，虛設(shè)狀態(tài)為靜定結(jié)構(gòu)，可取上頁的圖(a)，(a),(c)圖互乘上面幾種情況剛度系數(shù)k11=?當(dāng)前第20頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例求下面結(jié)構(gòu)的自振頻率。解：水平方向振動時，總質(zhì)量為2m，故當(dāng)前第21頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例求下面結(jié)構(gòu)的自振頻率。解：此題結(jié)構(gòu)為剪切型剛架，用剛度法計算頻率較簡單。當(dāng)前第22頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動上面桿端剪力稱為桿件的側(cè)移剛度，同層各桿側(cè)移剛度之和稱為結(jié)構(gòu)的層間剛度。桿件的側(cè)移剛度與桿端約束有關(guān)例如當(dāng)前第23頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例分別用柔度法和剛度法計算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率，EI=常數(shù)。解：1、柔度法當(dāng)前第24頁\共有154頁\編于星期三\10點解：2、剛度法§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動求剛度系數(shù)附加鏈桿的水平單位位移引起的附加反力即為剛度系數(shù)。用力矩分配法計算ABBABCCB0.60.40-12i/l007.2i/l4.8i/l2.4i/l0-4.8i/l4.8i/l2.4i/l當(dāng)前第25頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例圖示結(jié)構(gòu)桿件剛度為無窮大，試求其自振頻率。(不計桿件質(zhì)量)解：本問題可由轉(zhuǎn)動慣量的方法計算。J為轉(zhuǎn)動慣量，k11為轉(zhuǎn)動剛度。繞A點的轉(zhuǎn)動慣量J為：繞A點的轉(zhuǎn)動剛度k11為：當(dāng)前第26頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動推導(dǎo)運動微分方程，將加速度項的系數(shù)簡化為1，則位移項的系數(shù)為自振頻率的平方。當(dāng)前第27頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。(不計桿件質(zhì)量)解：當(dāng)前第28頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動2、考慮阻尼作用時的自由振動阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等；物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。

粘滯阻尼力：阻尼力與其振動的速度成正比，與速度的方向相反。—c稱為阻尼系數(shù)考慮阻尼力時，質(zhì)點m的受力圖如圖所示由動力平衡得即令則有線性常系數(shù)齊次微分方程建立振動微分方程當(dāng)前第29頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設(shè)其解為代入微分方程，得特征方程兩個根為討論(1)δ<ω—小阻尼情況：r1、r2是兩個復(fù)數(shù)，方程的通解為式中—有阻尼自振頻率由初始條件可得則有當(dāng)前第30頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可寫為(g)式中式中的位移-時間曲線如下圖所示：—衰減的正弦曲線δ—衰減系數(shù)當(dāng)前第31頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設(shè)阻尼比則有一般建筑結(jié)構(gòu)中ξ=0.01~0.1，可認(rèn)為某一時刻tn振幅為yn，經(jīng)過一個周期后的振幅為yn+1，則有等式兩邊取對數(shù)得振幅的對數(shù)遞減量經(jīng)過j個周期后，有

或動位移寫成：當(dāng)前第32頁\共有154頁\編于星期三\10點例題§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第33頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(2)δ>ω—大阻尼情況：r1、r2是兩個負(fù)實數(shù)，方程的通解為

是非周期函數(shù)，不產(chǎn)生振動，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。(3)δ=ω—臨界阻尼情況：r1=r2=-δ，方程的通解為是非周期函數(shù)，不發(fā)生振動。此時阻尼比ξ=1，δ=m，可得臨界阻尼系數(shù)故有—阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。臨界阻尼系數(shù)ccr是結(jié)構(gòu)的固有特性。當(dāng)前第34頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-3單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動小結(jié)自由振動分為無阻尼自由振動和有阻尼自由振動。無阻尼自由振動特點：結(jié)構(gòu)作簡諧振動，振動由初始位移和初始速度引起。振動的主要動力特性與自振頻率有關(guān)，自振頻率與結(jié)構(gòu)的剛度成正比，與結(jié)構(gòu)質(zhì)量成反比。有阻尼自由振動特點：當(dāng)阻尼系數(shù)小于臨界阻尼系數(shù)或阻尼比小于1時，結(jié)構(gòu)振動，且為衰減的簡諧振動。有阻尼的自振頻率小于無阻尼時的自振頻率。阻尼和自振頻率是反映有阻尼振動的主要特性，阻尼特性可由阻尼比表示，阻尼比可由實測結(jié)構(gòu)的相鄰周期的振幅比值來計算。有阻尼的振幅是隨時間減少的。當(dāng)阻尼系數(shù)大于等于臨界阻尼系數(shù)或阻尼比大于等于1時，結(jié)構(gòu)不振動，結(jié)構(gòu)在偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。自由振動是結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)引起的振動，振動中無外界干擾。當(dāng)前第35頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動—結(jié)構(gòu)在外來干擾力F(t)作用下產(chǎn)生的振動。如圖所示，干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點m上即或結(jié)構(gòu)在使用過程中遇到振動問題主要是強(qiáng)迫振動。

前面討論的結(jié)構(gòu)自由振動主要是討論結(jié)構(gòu)的自身的動力特性，而結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動的時的效果是與結(jié)構(gòu)的動力特性有關(guān)的。強(qiáng)迫振動運動微分方程的推導(dǎo)。簡諧荷載：F(t)=F0sinθ

t，F(xiàn)0為荷載幅值（荷載的最大值），θ為荷載頻率（圓頻率）。取質(zhì)點為隔離體，可得當(dāng)前第36頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動微分方程的解為齊次解與特解之和。特解為滿足方程的任意解。右端項為零的齊次方程的y0，即為自由振動解1、無阻尼強(qiáng)迫振動或設(shè)代入微分方程，得解得即當(dāng)前第37頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動方程通解為：任意常數(shù)B1和B2可由初始條件t=0時，來確定。結(jié)構(gòu)振動由兩部分疊加：初始條件引起的自由振動和動荷載引起的純強(qiáng)迫振動。前者按結(jié)構(gòu)自振頻率振動，后者按荷載頻率振動。短時間內(nèi)，自由振動部分會衰減而被忽略，只剩純強(qiáng)迫振動部分。振動可分為兩個階段開始時各部分振動同時存在，此階段稱為過渡階段。短時間后，自由振動影響可忽略，僅有強(qiáng)迫振動，此階段稱為平穩(wěn)階段。過渡階段比較短，實際問題中平穩(wěn)階段比較重要，因此這里著重討論平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動，也稱為穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動。當(dāng)前第38頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動的表達(dá)式為式中θ為已知，主要討論振幅A。式中得式中yst為荷載最大值產(chǎn)生的靜位移，為位移動力系數(shù)，A為最大動位移。表明考慮動荷載時結(jié)構(gòu)的最大動位移為荷載最大值產(chǎn)生的靜位移的倍。位移動力系數(shù)相當(dāng)于放大系數(shù)。當(dāng)前第39頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，以結(jié)構(gòu)反應(yīng)的最大值作為設(shè)計依據(jù)，結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的最大值可以通過計算荷載最大值產(chǎn)生的反應(yīng)乘以動力系數(shù)得到，這樣將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題來解答，簡化了計算。因此，動力系數(shù)的計算是強(qiáng)迫振動計算中的一項重要內(nèi)容。動力系數(shù)僅與結(jié)構(gòu)的自振頻率和荷載頻率有關(guān)，相同荷載作用下，結(jié)構(gòu)自振頻率不同，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)不同。結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為內(nèi)力反應(yīng)和位移（變形）反應(yīng)，動力系數(shù)也分為內(nèi)力動力系數(shù)和位移動力系數(shù)。對單自由度體系，當(dāng)荷載作用于質(zhì)點上時（即慣性力與荷載作用點和方向相同時），內(nèi)力動力系數(shù)與位移動力系數(shù)相同，統(tǒng)稱為動力系數(shù)。對于多自由度體系和當(dāng)荷載不作用于質(zhì)點上時，沒有統(tǒng)一的位移動力系數(shù)和內(nèi)力動力系數(shù)。當(dāng)前第40頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)θ<ω時：μ為正，動力位移與動力荷載同向；當(dāng)θ>ω時：μ為負(fù)，動力位移與動力荷載反向。μ隨θ/ω

而變化，當(dāng)干擾力頻率θ接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率ω時，動力系數(shù)迅速增大；θ=ω時，理論上μ無窮大，此時內(nèi)力和位移都將無限大→共振。工程設(shè)計中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振

通常取θ/ω<0.75和θ/ω>1.25。當(dāng)前第41頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例計算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為，F(xiàn)0=10kN，l=4m。解：當(dāng)前第42頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例14-2如圖發(fā)電機(jī)的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動時離心力的垂直分力幅值F=10kN。不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度（不計梁的自重）。解：在G作用下，梁中點的最大靜位移為自振頻率為干擾力頻率為求得動力系數(shù)梁中點的最大彎矩梁中點最大撓度當(dāng)前第43頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例計算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為，F(xiàn)0=10kN，l=4m。當(dāng)前第44頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動

圖a所示簡支梁，干擾力不作用在質(zhì)點上。建立質(zhì)點m的振動方程。F=1作用在點1時使點1產(chǎn)生的位移為δ11，如圖b。F=1作用在點2時使點1產(chǎn)生的位移為δ12，如圖c。作用在質(zhì)點m上的慣性力為

在慣性力FI和干擾力F(t)共同作用下，任一時刻質(zhì)點m處的位移為即當(dāng)前第45頁\共有154頁\編于星期三\10點

可以看成作用于質(zhì)量上的等效荷載。與F(t)產(chǎn)生相同的質(zhì)點位移，但其他位移和內(nèi)力不同?！?4-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動此時，位移動力系數(shù)與內(nèi)力動力系數(shù)不同。等效質(zhì)點動荷載綜上所述，結(jié)構(gòu)在簡諧荷載F=F0sinθt作用下，速度為加速度為作用于質(zhì)點上的慣性力為位移為可以看出，干擾力、位移和慣性力是同步的，即同時達(dá)到最大值。當(dāng)前第46頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動因此結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)可以看成是由荷載最大值和慣性力最大值共同作用產(chǎn)生的。慣性力最大值為：將F0和θ

2Am

同時作用于結(jié)構(gòu)上，按靜力學(xué)的方法就可求出結(jié)構(gòu)的最大位移和最大內(nèi)力。當(dāng)前第47頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例計算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為，F(xiàn)0=10kN，l=4m。解得：當(dāng)前第48頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動將荷載最大值和慣性力最大值同時作用到結(jié)構(gòu)上，并畫出彎矩圖由彎矩圖可知最大彎矩為當(dāng)前第49頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例計算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為，F(xiàn)0=10kN，l=4m。當(dāng)前第50頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動動彎矩幅值圖最大位移發(fā)生在哪里？值為多少？當(dāng)前第51頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動2、有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程的解：齊次方程的解y0，與干擾力F(t)相應(yīng)的特解設(shè)特解為代入方程解出當(dāng)前第52頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動將y0與特解合并，由初始條件可得當(dāng)前第53頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(1)由初始條件決定的自由振動；(2)伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動頻率為ω’，稱為伴生自由振動；(3)按干擾力頻率θ振動，稱為純強(qiáng)迫振動或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動如圖。前兩部分振動很快衰減掉，最后只剩下純強(qiáng)迫振動。過渡階段—振動開始的一段時間內(nèi)幾種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段—純強(qiáng)迫振動階段。由解答的表達(dá)式可知，振動由三部分組成：振動可分為兩個階段過渡階段比較短，實際問題中平穩(wěn)階段比較重要，因此這里著重討論平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動，即解答的第三部分。當(dāng)前第54頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動將第三項寫為振幅相位差振幅A可寫為—動力系數(shù)*注：有阻尼的純強(qiáng)迫振動不是衰減的。當(dāng)前第55頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動動力系數(shù)μ與θ/ω及ξ的關(guān)系如圖所示。當(dāng)前第56頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動相位差φ與θ/ω及ξ的關(guān)系如圖所示。當(dāng)前第57頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-4單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動討論(1)

θ<<ω時，θ/ω很小，μ接近于1?？山频貙0sinθt作為靜力荷載。此時振動很慢，因而FI、FR都很小。荷載主要由彈性力平衡。無阻尼時，位移與荷載是同步的；有阻尼時，位移與荷載基本上同步。(2)

θ>>ω時，μ很小，質(zhì)量近似于不動或作振幅很微小的顫動。結(jié)構(gòu)的Fe、FR可以忽略，位移與荷載的相位差為180°。荷載主要由慣性力平衡。(3)

θ→ω時，μ增加很快，μ受阻尼的影響很大。荷載主要由阻尼力平衡。當(dāng)阻尼較小時，μ值很大，共振現(xiàn)象仍很危險。工程設(shè)計中一般常取當(dāng)前第58頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動瞬時沖量：荷載F(t)在極短的時間Δt≈0內(nèi)給與振動物體的沖量瞬時沖量作用下的振動問題

圖a所示荷載大小為F，作用時間為Δt

，其沖量I=FΔt

，即圖中陰影部分的面積。瞬時沖量作用下質(zhì)點的動量增值為由可得

當(dāng)質(zhì)點獲得初速度后沖量即時消失，質(zhì)點在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動。將初始條件代入式(g)可得瞬時沖量I作用下質(zhì)點m的位移方程為當(dāng)前第59頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動

若瞬時沖量不是在t=0而是在t=τ時加于質(zhì)點上，其位移方程為

圖b所示一般形式的干擾力F(t)可認(rèn)為是一系列微小沖量F(τ)dτ連續(xù)作用的結(jié)果，應(yīng)此有(k)不考慮阻尼ξ=0，ω’=ω則有(m)式(k)及式(m)—稱為杜哈梅積分當(dāng)前第60頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動若在t=0質(zhì)點原來還具有初始位移和初始速度，則質(zhì)點位移為若不考慮阻尼則有(n)當(dāng)前第61頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動（1）突加荷載。變化規(guī)律如圖a所示。設(shè)：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，將

F(τ)=F代入式(k)求得其振動曲線如圖b。時最大動位移yd為動力系數(shù)為不考慮阻尼當(dāng)前第62頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動（2）短期荷載。變化規(guī)律如圖所示。當(dāng)t=0時，有突加荷載加入并一直作用在結(jié)構(gòu)上；當(dāng)t=t0時，有一個大小相等方向相反的突加荷載加入。利用（1）得到的突加荷載作用下的計算公式按疊加法求解：自由振動當(dāng)前第63頁\共有154頁\編于星期三\10點當(dāng)t0<T/2時，最大位移發(fā)生在后一階段。動力系數(shù)為與荷載作用時間長短有關(guān)當(dāng)t0>T/2時，最大位移發(fā)生在前一階段。短期荷載的最大動力效應(yīng)與突加荷載相同?！?4-5單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第64頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動

工程實際中有很多結(jié)構(gòu)是不宜簡化為單自由度體系計算的。例如多層房屋、多跨不等高工業(yè)廠房以及煙囪等,都必須按多自由度體系來處理。

圖示等截面煙囪，將其分為八段，從上到下將每兩段的質(zhì)量集中于其中點，將一個無限自由度的體系簡化為四個自由度體系。當(dāng)前第65頁\共有154頁\編于星期三\10點1、振動微分方程的建立§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動柔度法柔度矩陣質(zhì)量矩陣加速度向量位移向量當(dāng)前第66頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動剛度法彈性恢復(fù)力如何計算？Fe1=-FR1，F(xiàn)e2=-FR2FR1和FR2如何計算？由疊加原理：由質(zhì)量的平衡條件，得當(dāng)前第67頁\共有154頁\編于星期三\10點其中(質(zhì)量矩陣）(位移向量）(加速度向量）或(剛度矩陣）§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第68頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動由和可知上面兩個方程是同一方程的兩個表達(dá)方式與單自由度的運動方程比較，將質(zhì)量、剛度、加速度和位移分別換成質(zhì)量矩陣，剛度矩陣，加速度向量和位移向量，方程的形式相似。（便于記憶）如當(dāng)前第69頁\共有154頁\編于星期三\10點柔度法將各質(zhì)點的慣性力看作是靜荷載如圖a。結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點mi處的位移應(yīng)為δii、δij為柔度系數(shù)其物理意義見圖b、c。由此，可以建立n個位移方程多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動微分方程推廣到n個自由度的情況§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第70頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式為簡寫為[δ]為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對稱矩陣。[M]為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點的結(jié)構(gòu)中是對角矩陣；

為加速度列向量；{Y}為位移列向量。當(dāng)前第71頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動剛度法

圖a所示無重量簡支梁，略去梁的軸向變形和質(zhì)點的轉(zhuǎn)動，為n個自由度的結(jié)構(gòu)。加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點的位移，如圖b。各質(zhì)點的慣性力為各鏈桿的反力為令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點實際位置相同的位移，如圖c。各鏈桿上所需施加的力為當(dāng)前第72頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動不計阻尼，各鏈桿上的總反力應(yīng)等于零。以質(zhì)點mi為例有kii、kij為剛度系數(shù)其物理意義見圖d、e?？傻胕質(zhì)點的動力平衡方程為當(dāng)前第73頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動對每個質(zhì)點都列出一個動力平衡方程，于是可得寫成矩陣形式為多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動微分方程當(dāng)前第74頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動簡寫為式中：[K]為剛度矩陣，是對稱矩陣；由柔度矩陣與剛度矩陣是互為逆陣。記憶方法：和單自由度比較剛度法柔度法（形式與單自由度相同）當(dāng)前第75頁\共有154頁\編于星期三\10點微分方程解答——振動特點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動設(shè)位移方程的特解為代入位移方程可得振幅方程1、按柔度法求解這是一組各質(zhì)點按同一頻率振動，只是振幅不同。當(dāng)前第76頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動寫成矩陣形式式中—振幅列向量[I]為單位矩陣。要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。頻率方程當(dāng)前第77頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動

將行列式展開→含

ω2的n次代數(shù)方程，從而可得到n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn，將頻率從小到大排列，分別稱為第一，第二，…，第n頻率。將任一ωk代入特解得此時各質(zhì)點按同一頻率ωk作同步簡諧振動，各質(zhì)點位移的比值為任何時刻結(jié)構(gòu)的振動都保持同一形狀。主振動—多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率ωk進(jìn)行的簡諧振動。主振型—相應(yīng)的特定振動形式，簡稱振型。當(dāng)前第78頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將ωk代回振幅方程得可寫為

系數(shù)行列式為零，n個方程中只有(n-1)個是獨立的，不能確定各質(zhì)點的幅值，但可確定其比值即振型。當(dāng)前第79頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動—振型向量設(shè)，即可求出其余各元素的值，此時振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化振型。主振動的線性組合構(gòu)成振動微分方程的一般解：各主振動分量的振幅、初相角由初始條件確定。自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關(guān)；反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動力特性。當(dāng)前第80頁\共有154頁\編于星期三\10點兩個自由度體系的自由振動設(shè)(柔度矩陣）則§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第81頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動振幅方程為頻率方程為令解得設(shè)解為當(dāng)前第82頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動可得兩個自振頻率求第一陣型將ω=ω1代入振幅方程可得求第二陣型將ω=ω2代入振幅方程可得代入振幅方程，得振型方程兩個方程不獨立，可由第一個方程解出兩個主振型質(zhì)點位移的比值當(dāng)前第83頁\共有154頁\編于星期三\10點【例】試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.1l/41l/2圖圖m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常數(shù)解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第84頁\共有154頁\編于星期三\10點(3)求振型第一振型第二振型10.30511.639§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第85頁\共有154頁\編于星期三\10點【例】圖示剛架，在梁跨中D處和柱頂A處有大小相等的集中質(zhì)量m，支座C處為彈性支承，彈簧的剛性系數(shù)k=(3EI)/l3。試求自振頻率和振型。

1.求柔度系數(shù)

解：體系有兩自由度，A處質(zhì)點的水平位移和D處質(zhì)的豎向位移。

繪制M1、M2圖,由圖乘及彈簧內(nèi)力虛功計算得§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第86頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動2.寫出振型方程（a）3.寫出頻率方程，求頻率展開式為解得相應(yīng)的頻率為當(dāng)前第87頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一主振型第二主振型λ2=2.9174.求振型并繪出振型圖由所得結(jié)果繪出振型λ1=27.083振型向量為當(dāng)前第88頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-3試求圖a所示等截面簡支梁的自振頻率并確定主振型。解：自由度=2，由圖b、c可得求得得到當(dāng)前第89頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一陣型第二陣型如圖d，振型是正對稱的。如圖e，振型是反對稱的。結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對稱的，則其主振型是正對稱的或反對稱的。取一半結(jié)構(gòu)計算。當(dāng)前第90頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例計算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。EI=常數(shù)。解：結(jié)構(gòu)對稱，振型分為對稱和反對稱?？扇“虢Y(jié)構(gòu)計算，簡化為單自由度計算對稱振型反對稱振型第一振型第二振型當(dāng)前第91頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例14-4圖a所示剛架各桿EI都為常數(shù)，假設(shè)其質(zhì)量集中于各結(jié)點處，m2=1.5m1。試確定其自振頻率和相應(yīng)的振型。解：結(jié)構(gòu)是對稱的，其振型為正、反對稱兩種。由受彎直桿的假定，判定不可能發(fā)生正對稱形式的振動，其振型只能是反對稱的?？扇Db所示一半結(jié)構(gòu)計算。超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)前第92頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和F2=1作用下的彎矩圖，如圖a、b。取靜定的基本結(jié)構(gòu)作圖，如圖c、d。計算得當(dāng)前第93頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有可得第一陣型第二陣型反對稱振動，質(zhì)點同向振動反對稱振動，質(zhì)點反向振動當(dāng)前第94頁\共有154頁\編于星期三\10點例題試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù)mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4圖圖13l/16圖解(1)求柔度系數(shù)§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第95頁\共有154頁\編于星期三\10點(2)求頻率§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第96頁\共有154頁\編于星期三\10點(3)求振型令每個振型的第一個元素為1，得11.4141第三振型(正對稱)第二振型(反對稱)11第一振型(正對稱)11.4141§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第97頁\共有154頁\編于星期三\10點設(shè)解為代入微分方程振型向量振動時，方程必須有非零解，方程系數(shù)行列式為零：頻率方程由頻率方程可解出自振頻率，代回振幅方程得振幅方程確定相應(yīng)主振型2、按剛度法求解§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動當(dāng)前第98頁\共有154頁\編于星期三\10點或§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度設(shè)特解為即即當(dāng)前第99頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動代入運動方程，約去sin(ωt+φ)有非零解時，系數(shù)行列式等于零得振幅方程為當(dāng)前第100頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為展開解得兩個方程不獨立，可由第一個方程解出兩個主振型質(zhì)點位移比值為代入振幅方程，得振型方程當(dāng)前第101頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例計算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。解：1、解釋概念：層間側(cè)移剛度層間側(cè)移剛度：第i層之間發(fā)生單位側(cè)移時水平力。用ki表示，也稱為層間總剪力。其值等于該層各柱的側(cè)移剛度之和。2、用層間剛度表示的剛度系數(shù)當(dāng)前第102頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動柱的側(cè)移剛度：發(fā)生柱端單位側(cè)移時的側(cè)向力（即柱的剪力）。當(dāng)前第103頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動兩個主振型為當(dāng)前第104頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例計算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。已知橫梁剛度無窮大，立柱剛度為EI=常數(shù)。解：結(jié)構(gòu)對稱，振型分為對稱和反對稱。可取半結(jié)構(gòu)計算，簡化為單自由度計算請同學(xué)們自己繪出兩個主振型。當(dāng)前第105頁\共有154頁\編于星期三\10點例14-5圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設(shè)剛架的質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型?！?4-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動解：剛架振動時各橫梁只能水平移動，自由度=3，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)如圖b、c、d。當(dāng)前第106頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動建立剛度矩陣為質(zhì)量矩陣為當(dāng)前第107頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動有由頻率方程得展開解得自振頻率當(dāng)前第108頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動確定主振型將ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的第一振型為同理可求得當(dāng)前第109頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動第一、二、三振型分別如圖a、b、c。當(dāng)前第110頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動主振型的正交性n個自由度的結(jié)構(gòu)有n個自振頻率及n個主振型，每一頻率及相應(yīng)的主振型均滿足振幅方程即：分別設(shè)k=i，k=j，可得兩邊左乘以兩邊左乘以則有[K]、[M]均為對稱矩陣，將第二個式子兩邊轉(zhuǎn)置有和當(dāng)前第111頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動將第一式減去第三式得當(dāng)i≠j時，ωi

≠ωj，應(yīng)有此式表明對于質(zhì)量矩陣[M]，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。也可由上頁的式子得此式表明對于剛度矩陣[K]，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。

主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來簡化結(jié)構(gòu)的動力計算，可用以檢驗所得主振型是否正確。當(dāng)前第112頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例驗證圖示結(jié)構(gòu)主振型的正交性。解：前面已經(jīng)解除了主振型，質(zhì)量矩陣剛度矩陣表明關(guān)于[M]和[k]都滿足正交性，解答正確。當(dāng)前第113頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-6多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動例兩自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣為兩主振型中一個為求另一個主振型。設(shè)另一個主振型為由振型正交性得解得所求振型為當(dāng)前第114頁\共有154頁\編于星期三\10點簡諧荷載作用下的純強(qiáng)迫振動

圖(a)所示無重量簡支梁，用柔度法建立振動微分方程。任一質(zhì)點mi的位移yi為式中各動力荷載幅值在質(zhì)點mi處引起的靜力位移對n個質(zhì)點有§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動運動微分方程的建立1、柔度法當(dāng)前第115頁\共有154頁\編于星期三\10點寫成矩陣形式式中—荷載幅值引起的靜力位移向量純強(qiáng)迫振動的解答為為質(zhì)點mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第116頁\共有154頁\編于星期三\10點或?qū)憺槭街蠭是單位矩陣，Y0是振幅向量。求解此方程即得各質(zhì)點在純強(qiáng)迫振動中的振幅，從而得各質(zhì)點的慣性力為—慣性力的最大值結(jié)論：位移、慣性力、干擾力將同時達(dá)到最大值。

計算最大動力位移和內(nèi)力時，可將慣性力、干擾力的幅值作為靜力荷載加于結(jié)構(gòu)上計算，如圖b。§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第117頁\共有154頁\編于星期三\10點將振幅方程改寫為可寫為最大慣性力向量當(dāng)θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、慣性力、內(nèi)力值均為無限大—共振§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第118頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動例14-6圖a為一等截面剛架，已知m1=1kN，

m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分鐘振動300次，l=4m，

EI=5×103kN·m2。試作剛架的最大動力彎矩圖。解：此對稱剛架承受反對稱荷載，可取圖b所示半剛架計算。三個自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的豎向位移當(dāng)前第119頁\共有154頁\編于星期三\10點—m1的最大慣性力—m2沿水平、豎向最大慣性力則有(1)§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第120頁\共有154頁\編于星期三\10點求系數(shù)和自由項，作相應(yīng)彎矩圖如圖c~f。由圖乘法得§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第121頁\共有154頁\編于星期三\10點集中質(zhì)量的數(shù)值為振動荷載的頻率為代入式(1)得解得由疊加法最大動力彎矩圖如圖g。§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第122頁\共有154頁\編于星期三\10點

圖a所示n個自由度的結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力均作用在質(zhì)點處時，可得動力平衡方程為寫成矩陣形式若干擾力為同步簡諧荷載式中F=(F1

F2…Fn)T，為荷載幅值列向量?！?4-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第123頁\共有154頁\編于星期三\10點在平穩(wěn)階段各質(zhì)點均按頻率θ作同步簡諧振動。代入動力平衡方程整理得求得各質(zhì)點振幅值各質(zhì)點的慣性力為可得求得慣性力幅值

位移、慣性力、干擾力同時達(dá)到最大值，將FI、F(t)最大值作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)，計算最大動力位移和內(nèi)力。§14-7多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動當(dāng)前第124頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程為只有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，M為對角陣，K不是對角陣—方程藕聯(lián)各質(zhì)點的位移向量—幾何坐標(biāo)坐標(biāo)變換結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化的主振型向量表示為設(shè)—位移向量按主振型分解展開當(dāng)前第125頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法簡寫為把幾何坐標(biāo)Y變換成數(shù)目相同的另一組新坐標(biāo)—正則坐標(biāo)—主振型矩陣，幾何坐標(biāo)與正則坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣令—第i個主振型的廣義質(zhì)量—廣義質(zhì)量矩陣，對角矩陣當(dāng)前第126頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法—廣義剛度矩陣，對角矩陣主對角線上的任一元素利用振型正交性可得令i=j，可得或與單自由度結(jié)構(gòu)的頻率公式相似當(dāng)前第127頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法設(shè)有—廣義荷載向量—相應(yīng)第i個主振型的廣義荷載振動方程變換為—解除藕聯(lián)，各自獨立當(dāng)前第128頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法整理得—與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動方程形式相同。初位移、初速度為零時，由杜哈梅積分求得—n個自由度結(jié)構(gòu)的計算簡化為n個單自由度計算問題振型分解法（振型疊加法）：將位移Y分解為各主振型的疊加當(dāng)前第129頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法振型分解法計算步驟(1)求自振頻率和振型(2)計算廣義質(zhì)量和廣義荷載(3)求解正則坐標(biāo)的振動微分方程(4)計算幾何坐標(biāo)求出各質(zhì)點位移→計算其他動力反應(yīng)。與單自由度問題一樣求解。當(dāng)前第130頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法例14-7圖a所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點2處受有突加荷載作用，試求兩結(jié)點的位移和梁的彎矩。解：(1)結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型(圖b、c)(2)廣義質(zhì)量當(dāng)前第131頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法廣義荷載(3)求正則坐標(biāo)(4)求位移當(dāng)前第132頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法兩質(zhì)點位移圖形狀如圖d。當(dāng)前第133頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-8振型分解法(5)求彎矩兩質(zhì)點的慣性力為由圖e可求梁的動彎矩，如當(dāng)前第134頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動

圖a所示具有均布質(zhì)量的單跨梁，其振動時彈性曲線上任一點的位移y是橫坐標(biāo)x和時間t的函數(shù)：設(shè)：梁的均布自重為q，單位長度的質(zhì)量m=q/g，

慣性力的集度為取微段隔離體如圖b。由材料力學(xué)可得當(dāng)前第135頁\共有154頁\編于星期三\10點§14-9無限自由度結(jié)構(gòu)的振動如梁上承受均布簡諧荷載psinθt，則梁的振動微分方程為或微分方程的解有兩部分：相應(yīng)齊次方程的一般解-梁的自由振動特解-梁的強(qiáng)迫振動(1)梁的自由振動微分方程為設(shè)位移y為坐標(biāo)位置函數(shù)F(x)和時間函數(shù)T(t)之積，即代入微分方程有