中考專題訓(xùn)練阿氏圓

在前面的“胡不歸〃問題中，我們見識Y“kPA+PB〃最值問題，其中P點軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓〃問題.所謂“阿氏圓〃，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定值(不為1)的點的集合叫做圓.如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA:PB=k(kN1),則滿足條件的所有的點P構(gòu)成的圖形為圓.以下給出兩種證明法一：構(gòu)造角分線先復(fù)習(xí)兩個定理(1)角平分線定理：如圖，在^ABC中，AD是NBAC的角平分線，則AB:AC=DB:DC.證明：利用等積法即AB:AC=DB:DC(2)外角平分線定理：如圖，在4ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D,則AB:AC=DB:DC.證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC,連接BD,則^ACD^AED(SAS),CD=ED且AD平分回BDE,貝UDB:DE=AB:AE,即AB:AC=DB:DC.接下來開始證明：如圖，PA：PB=k,作^APB的角平分線交AB于M點,根據(jù)角平分線定理，MA:MB=PA:PB=k,故M點為定點，即回APB的角平分線交AB于定點;作回APB外角平分線交直線AB于N點，根據(jù)外角平分線定理，NA:NB=PA:PB=k,故N點為定點，即^APB外角平分線交直線AB于定點；又△MPN=90°,定邊對定角，故P點軌跡是以MN為直徑的圓.中考專題訓(xùn)練阿氏圓模型阿氏圓(阿波羅尼斯圓)： PA已知平面上兩定點A、B,則所有滿足PA=k(k中1)的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古PB希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造“斜A”型相似(也叫“母子型相似“)+兩點間線段最短，解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問題.PA 觀察下面的圖形，當(dāng)P在。O上運(yùn)動時，用PA、PB的長在不斷的發(fā)生變化，但——的比值卻始終保PB持不變.解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法那么如何應(yīng)用“阿氏圓”的性質(zhì)解答帶系數(shù)的兩條線段和的最小值呢？我們來看一道基本題目：例,已知口ACB=90°,CB=4,CA=6,DC半徑為2,P為圓上一動點.(1)求AP+1BP的最小值為2(2)求1AP+BP的最小值為3阿氏圓基本解法：構(gòu)造相似阿氏圓一般解題步驟：AP+kBP第一步：連接動點和圓心C（將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心相連接），即連接CP、CB；第二步：計算這兩條線段長度的比—=kCB,, , , ?一..一CM第三步：在CB（即定邊）上取點M，使得C—=kCP第四步：連接AM，與圓C交點即為點P；第五步：計算AM的長度，即為AP+kBP的最小值.實戰(zhàn)演練：.在4ABC中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點D為^ABC內(nèi)一動點，且滿足CD=2,貝UAD+2BD的最3.已知點A(4,0),B(4,4),點P在半徑為2的。O上運(yùn)動，則1AP+BP的最小值是 2.已知點A(-3,0),B(0,3),C(1,0),若點P為口。上一動點，且口。與y軸相切.⑴求4A+BP的最小值；⑵求△.面積的最小值.4.在平面直角坐標(biāo)系中，A(24.在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是4AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且NBPA=135°,則2PD+PC的最小值是試求試求爭C+PD的最小值.5.已知口0半徑為1,AC、BD為切線，AC=1,BD=2,P為弧AB上一動點，鞏固練習(xí)：.如圖，在nABC中，nB=90°,AB=CB=2,以點B為圓心作。B與AC相切，點P為圓B上任一動點，則PA+蘭PC的最小值是 ..如圖，菱形ABCD的邊長為2,ZABC=60°,OA與BC相切于點E,在。A上任取一點P,求PB+——PD的最小值..(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點P是。B上的一個動點，則PD+1PC的最小值

（2）如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,OB的半徑為6,點P是。B上的一個動點，那么PD+-PC3的最小值為 ；（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，口3=60°，圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，那么PD+-PC的最小值為PD+-PC的最小值為2.如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（存0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0<m<4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PMDAB于點M.（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)nPMN的周長為C]/AEN的周長為C2,若|，求m的值；2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE,，旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<90°），連接E,A、E'B，求E'A+2E'B的最小值.3問題提出：如圖1,在RtAABC中，ZACB=90,CB=4,CA=6,C半徑為2,P為圓上一動點，連結(jié)AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。⑴嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點D,使CD=1,則有CD/CP=CP/CB=1/2，又???NPCD=NBCP,AAPCD-ABCP.APD/BP=1/2,APD=1/2BP,.??AP+1/2BP=AP+PD.請你完成余下的思考,并直接寫出答案：AP+1/2BP的最小值為.⑵自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，1/3AP+BP的最小值為.(3)拓展延伸：已知扇形COD中，NCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,點P是CD'上一點，求2PA+PB的最小值。

反過來還原：如圖，點A,B在OO上，OA=OB=12且OA^OB點C是OA的中點，點D在OB上且OD=10,動點P在OO上，則PC+1/2PD的最小值是多少？ ，如下圖所示，在OA延長線上取點E,使得AE=OA連接OP,PE。因為OC/OP=1/2=OP/OE從而△OCPs^OPE(SAS)從而，PC/EP=1/2，即PE=2PC那么，PE+PD=2PC+PD=2(PC+1/2PD)那么只要求出PE+PD最小值，再除以2即可得到問題的解。很顯然，當(dāng)P點落在DE連線與圓O的交點P'上時，PE+PD取得最小值。此時，PE+PD=DE=V(ODA2+OEA2)=V(10A2+24A2)那么，PC+1/2PD的最小值即為26/2=13。⑴如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,求PD+1/2PC的最小值和PC-1/2PC的最大值；⑵如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點,那么PD+