平面與平面平行

8.5.3

平面與平面平行課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.(數(shù)學(xué)抽象)3.會證明平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.(邏輯推理)4.能夠應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.(直觀想象、邏輯推理)激趣誘思知識點撥在我們教室里,天花板所在的平面與地面平行,那么在天花板上任意作一條直線,這條直線與地面是平行的嗎?再看天花板所在的平面與地面都和黑板所在的墻面相交,這兩條交線平行嗎?激趣誘思知識點撥知識點一、平面與平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行圖形語言符號語言a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α作

用證明兩個平面平行名師點析

定理中,要緊緊抓住“兩條”“相交”“平行”這六個字,否則條件不充分,結(jié)論不成立.激趣誘思知識點撥微練習(xí)(1)在長方體ABCD-A'B'C'D'中,下列結(jié)論正確的是(

)A.平面ABCD∥平面ABB'A'B.平面ABCD∥平面ADD'A'C.平面ABCD∥平面CDD'C'D.平面ABCD∥平面A'B'C'D'解析:在長方體ABCD-A'B'C'D'中,上底面ABCD與下底面A'B'C'D'平行.答案:D激趣誘思知識點撥(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.①如果一條直線和一個平面內(nèi)的另一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(

)②如果一個平面內(nèi)有兩條直線和另一個平面平行,那么這兩個平面平行.(

)③直線a∥平面β,直線b∥平面β,a?平面α,b?平面α?平面α∥平面β.(

)答案:①×

②×

③×

激趣誘思知識點撥知識點二、平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行圖形語言符號語言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b作用證明兩條直線平行激趣誘思知識點撥名師點析

(1)定理成立的條件:兩平面平行,第三個平面與這兩個平面都相交.(2)定理的實質(zhì):面面平行?線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理交替使用,可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.激趣誘思知識點撥微練習(xí)(1)若α∥β,a?α,b?β,下列幾種說法正確的是(

)①a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行;②a與β內(nèi)的任何一條直線都不垂直;③a∥β.A.①②

B.①③C.②③ D.①②③答案:B(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.①平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直線a,平面β∩平面γ=直線b?直線a∥直線b.(

)②平面α∥平面β,直線a?α,直線b?β?a∥b.(

)答案:①√

②×

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩個平面平行的判定例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點,求證:(1)E,F,B,D四點共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.分析(1)只需證明BD∥EF,即可證明E,F,B,D共面.(2)要證平面MAN∥平面EFDB,只需證MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(1)連接B1D1.∵E,F分別是B1C1和C1D1的中點,∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四點共面.(2)由題意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN?平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,連接MF.∵點M,F分別是A1B1與C1D1的中點,∴MFAD.∴四邊形ADFM是平行四邊形.∴AM∥DF.∵AM?平面EFDB,DF?平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

證明:兩個平面平行的方法證明兩個平面平行,可以用定義,也可以用判定定理.但用定義證明時,需說明兩個平面沒有公共點,這一點也不容易做到(可用反證法),所以通常用判定定理證明兩個平面平行,其步驟如下:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本例中,設(shè)P是棱AA1的中點,其他條件不變,求證:平面PMN∥平面C1BD.證明:連接AB1.∵P,M分別是AA1,A1B1的中點,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM?平面C1BD,C1D?平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測線面平行、面面平行判定定理的綜合例2在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M為PE的中點,在棱PC上是否存在一點F,使平面BFM∥平面AEC?并證明你的結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:當(dāng)F是棱PC的中點時,平面BFM∥平面AEC.證明如下,∵M(jìn)是PE的中點,∴FM∥CE.∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,

∴FM∥平面AEC.由EM=PE=ED,得E為MD的中點,連接BM,BD,如圖所示,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點.連接OE,則BM∥OE.∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,∴BM∥平面AEC.∵FM?平面BFM,BM?平面BFM,FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

探索型問題的類型及解法探索型問題是具有開放性和發(fā)散性的問題,此類題目的條件或結(jié)論不完備,需要自己去探索,結(jié)合已有條件,進(jìn)行觀察、分析、比較和概括得出結(jié)論.常見的有以下兩類:條件探索型和結(jié)論探索型.條件探索型問題是針對一個結(jié)論,條件未知需探索;結(jié)論探索型是先探索結(jié)論再去證明,在探索過程中常先從特殊情況入手,通過觀察、分析、歸納,進(jìn)行猜測,得出結(jié)論,再就一般情況去論證結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH的邊及其內(nèi)部運動,當(dāng)點M在

時,有MN∥平面B1BDD1.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:點M在F,H的連線上時,有MN∥平面B1BDD1.如圖,平面BDD1B1是正方體ABCD-A1B1C1D1的對角面,探究過點N且與平面BDD1B1平行的直線,可取B1C1的中點N1,連接N1N,則NN1∥平面BDD1B1,連接NH,則NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.∵M(jìn)N?平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即點M在點F,H的連線上時,有MN∥平面B1BDD1.答案:點F,H的連線上探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用角度1

證明線線平行例3如圖,已知平面α∥平面β,點P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C,D.(1)求證:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.分析(1)由面面平行的性質(zhì)定理直接推證;(2)先由三角形相似得對應(yīng)線段成比例,再求值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

證明線線平行的方法(1)定義法:在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行.(2)平行公理:平行于同一條直線的兩條直線平行.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在本例中,若P在α與β之間,在第(2)問條件下求CD的長.解:如圖,∵PB∩PC=P,∴PB,PC確定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測角度2

證明線面平行例4如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點,在棱AB上是否存在一點E,使DE∥平面AB1C1?并證明你的結(jié)論.分析先找出過DE與平面AB1C1平行的平面,可直接找出過D,E與△AB1C1的三邊平行的直線,進(jìn)而確定平面,然后確定其與棱AB的交點,即可找出E點位置,然后利用定理進(jìn)行證明即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:當(dāng)E為棱AB的中點時,DE∥平面AB1C1.證明如下,如圖所示,取BB1的中點F,連接EF,FD,DE,AC1.因為D,E,F分別為CC1,AB,BB1的中點,所以EF∥AB1.因為AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.因為EF∩FD=F,EF?平面EFD,FD?平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1.因為DE?平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

證明線面平行的方法證明直線與平面平行,除了定義法,判定定理法以外,還可以用兩平面平行的性質(zhì),也就是說為了證明直線與平面平行,也可以先證明兩平面平行,再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

若在△ABC內(nèi)找一點E呢?點E只有一個嗎?若只有一個,確定點E的位置;若不是,試寫出點E的集合.解:能找到.點E有無數(shù)個,點E的集合是線段PQ.如圖,取棱AB的中點P,棱AC的中點Q.連接PD,PQ,QD.在△ABC中,P,Q分別是AB,AC的中點,所以PQ∥BC.在?CBB1C1中,因為D,F分別為CC1,BB1的中點,所以DF∥B1C1,所以PQ∥DF,故四邊形PQDF是一個梯形.又DF∥B1C1,DF?平面AB1C1,B1C1?平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.同理,PF∥平面AB1C1.又PF∩DF=F,PF?平面PQDF,DF?平面PQDF,所以平面PQDF∥平面AB1C1.故點E的集合是線段PQ.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測轉(zhuǎn)化與化歸思想在線面、面面平行性質(zhì)定理中的應(yīng)用典例已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內(nèi),P,Q分別是對角線AE,BD的中點.求證:PQ∥平面CBE.證明:(方法一)如圖①,取AB的中點G,連接PG和GQ.因為P是AE的中點,所以PG∥EB.又PG?平面CBE,EB?平面CBE,所以PG∥平面CBE.同理可證GQ∥平面CBE.又PG∩GQ=G,PG?平面PGQ,GQ?平面PGQ,所以平面PGQ∥平面CBE.因為PQ?平面PGQ,PQ?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)如圖②,連接AC,則Q∈AC,且Q是AC的中點.因為P是AE的中點,所以PQ∥EC.因為PQ?平面CBE,EC?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

(1)線線、線面、面面間的平行關(guān)系的判定和性質(zhì),常常是通過線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化來表達(dá)的,因此在證明有關(guān)問題時,應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法來達(dá)到論證的目的.(2)空間中線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化如下:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列說法正確的是(

)A.若兩條直線與同一條直線所成的角相等,則這兩條直線平行B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C.若一條直線分別平行于兩個相交平面,則一定平行于它們的交線D.若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:A錯,由兩條直線與同一條直線所成的角相等,可知兩條直線可能平行,可能相交,也可能異面;B錯,若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面可能平行或相交;

C正確,設(shè)α∩β=l,m∥α,m∥β,利用線面平行的性質(zhì)定理,在平面α中存在直線a∥m,在平面β中存在直線b∥m,所以可知a∥b,根據(jù)線面平行的判定定理,可得b∥α,然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知b∥l,所以m∥l;D錯,兩個平面可能平行,也可能相交.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.若P,Q,R分別是三棱錐S-ABC三條側(cè)棱SA,SB,SC的中點,則平面ABC與平面PQR的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交C.重合 D.相交或平行解析:由三角形中位線的性質(zhì)知PQ∥AB,PR∥AC,由線面平行的判定定理,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根據(jù)面面平行的