2023年北京市高考理科數(shù)學(xué)試題及答案3

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)〔理〕〔北京卷〕

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一局部(選擇題共40分)

一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項。

(1)集合P=｛無辰4]｝,M=伍｝.假設(shè)尸[M=p，那么a的取值范圍是

(A)(-oo,-l](B)[l,+oo)(C)[-1,1](D)(―oo,-1]1[l,+oo)

⑵復(fù)數(shù)上心

1+2/

43.

(A)/(B)—i(C)-------1CD)--+-Z

5555

(3)在極坐標(biāo)系中，圓P=-2sin6的圓心的極坐標(biāo)是

(B)(1，-9

(A)嗚)(C)(1,0)(D)(1,1)

(4)

⑸

給出以下三個結(jié)論：

①AD+AE^AB+BC+CA；

②AFAG=ADAE.

其中，正確結(jié)論的序號是

(A)①②(B)②③

(C)①③(D)①②③

--r=,XVA

yJX

(6)根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為/(x)=

7X'X-A

(A,c為常數(shù))。工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘,

那么c和4的值分別是

(A)75,25(B)75,16(C)60,25(D)60,16

(7)某四面體的三視圖如下圖，該四面體四個面的面積中

最大的是

(B)672

(D)872

(8)設(shè)A(0,0),8(4,0),C(r+4,4),￡>(f,4)記N(f)為平行四邊形內(nèi)

部(不含邊界)的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，那么函數(shù)NQ)

值域為

(A){9,10,11}(B){9,10,12}(C){9,11,12}(D){10,11,12}

第二局部(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每題5分，共30分。

7T

(9)在AA8C中，假設(shè)b=5,N8=—，tanA=2f那么sinA=；a-o

(10)向量a=(J5,l),/?=(0,-l),c=(k,5,假設(shè)a-力與，共線，那么女=。

(11)在等比數(shù)列｛q｝中，假設(shè)q=萬，％=-4,那么公比q=；

|q|+1a?I+?+141=。

(12)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個。

(用數(shù)字作答)

(13)函數(shù)/(x)=，'X~2過關(guān)于x的方程/*)=k有兩個不同的實根，那么實數(shù)k

(九—1)\X<2

的取值范圍是。

(14)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點6(-1,0)和名(1,0)的距離的積等于常數(shù)的點

的軌跡，給出以下三個結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點；

②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；

③假設(shè)點P在曲線C上，那么居的面積不大于//；

其中，所有正確結(jié)論的序號是。

三'解答題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(15)(本小題共13分)

7T

函數(shù)/(%)=4cosxsin(x+—)-1,

6

(I)求/(x)的最小正周期；

(II〕求/(X)在區(qū)間［-2，生］上的最大值和最小值;

64

(16)(本小題共14分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，Q4_L平面A8C。，底面ABC。

是菱形，A6=2,ZB4O=60°。

⑴求證：平面PAC

(II)假設(shè)Q4=A5,求QB與AC所成角的余弦值；

(III)當(dāng)平面PBC與平面POC垂直時，求Q4的長；

(17)(本小題共13分)

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)植樹的棵數(shù)，乙組記錄中有T

無法確認(rèn)，在圖中以X表示。

9甲科04組89

1110

(I)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

(II)如果X=9,分別從甲、乙兩組中山機選取一名學(xué)生，求這兩名同學(xué)的植樹總棵

數(shù)y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

注：方差$2=匕&一元)2+(十一君2++(/一元)2］,其中元為石,巧,，%的平均數(shù)

n

(18)(本小題共13分)

X

函數(shù)/(%)=(%-&)21。

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)假設(shè)對于任意的XG(0,+O0),都有求上的取值范圍:

e

(19)(本小題共14分)

橢圓G:土+丁=1,過點(小,0)作圓/+,2=1的切線i交橢圓G于A,8兩點，

4

(I)求橢圓G的焦點坐標(biāo)及離心率；

(II)將|A8|表示為根的函數(shù)，并求|AB|的最大值；

(20)(本小題共13分)

假設(shè)數(shù)列4：%,4，(〃22)滿足4|=1優(yōu)=1,2,—1),那么稱A,,為

E數(shù)列，記S(A)=q+。2++a?■>

(I)寫出一個滿足q=%=0,且S(4)>0的E數(shù)列4；

(II)假設(shè)％=12,〃=2000,證明E數(shù)列A“是遞增數(shù)列的充要條件是4=2011；

(III)對任意給定的整數(shù)22),是否存在首項為0的E數(shù)列A“，使得S(A“)=0,

如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列A“；如果不存在，說明理由。

2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(共8小題，每題5分，總分值40分)

1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C

二、填空題(共6小題，每題5分，總分值30分)

9.2遮2-J1Q.10.111.-2,on~1-1

52

12.1413.(0,1)14.②③

三、解答題(共6小題，總分值80分)

aTT

15.解：(I)f(x)=4cosxsin(x+--)-1

6

=4cosx(乎sinx+/cosx)-1

=V3sin2x+2cos2x-1

=A/§sin2x+cos2x

=2sin(2x+—)

6

所以函數(shù)的最小正周期為n

(ni-2E<x<2L,

64

--<2x+—<m

663

，當(dāng)2X+H=H,即x=H時，f（x）取最大值2

626

當(dāng)2X+E=-H時，即x=-H時，f（x）取得最小值-1

666

16.解：⑴證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC_LBD,

又因為PA_L平面ABCD,所以PA_LBD,PAnAC=A

所以BD_L平面PAC

（II）設(shè)ACCBD=O,因為NBAD=60°,PA=AB=2,

所以BO=1,A0=0C=V3，

以。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B,0C,為x軸，以過。且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,那么

P（0,一炳,2）,A（0,一如,0）,B（1,0,0）,C（0,00）

所以而=（1,V3.-2），AC=（0,26，0）

設(shè)PB與AC所成的角為0,那么cos6=|E-gI-__產(chǎn)巫

IPB11ACI12&X2炳4

（no由（ID知前=（-1,弧,o）,設(shè)P（o,-M，t）（t>o）,

那么而=（-1,-a，t）

設(shè)平面PBC的法向量n=（X,y,z）

那么BJITFOBP?ir=O,

所以「十之月'令尸正，則x=3,z=9

-x+V3y+tz=0t

平面PBC的法向量所以會（3,,

同理平面PDC的法向量轉(zhuǎn)（-3,《），因為平面PBCJ■平面PDC,

所以m"n=。，即-6+.3g=o,解得t=，^,

_t2

所以PA-V6-

17.解：⑴當(dāng)X=8,乙組同學(xué)植樹棵樹是8,8,9,10

平均數(shù)是又=8+8+：+1°=華

方差為弓［（8-尊）2（8-槳2+（9-斗））（10-斗）2］嗎

4444416

（II）當(dāng)X=9時，甲同學(xué)的指數(shù)棵樹是9,9,11,11；

乙組同學(xué)的植樹棵樹是9,8,9,10,

分別從甲和乙兩組中隨機取一名同學(xué)，共有4x4=16種結(jié)果，

這兩名同學(xué)植樹的總棵樹Y可能是17,18,19,20,21,

事件Y=17,表示甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵,

.?lP(Y=17)=2Jp(Y=18)=lp(Y=19)=lp(Y=20]=1,P(Y=21)=1

168448

???隨機變量的期望是EY=17X-1+18x1+19X

2-k2)『

18.解(x)=2(X-k)

令f(x)=0,得x=±k

當(dāng)k>0時，f(x)f(x)隨x的變化情況如下：

所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-k),和(k,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-k,k)；

當(dāng)kVO時，V(x)f(x)隨x的變化情況如下：

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,k),和(-k,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(k,-k);

k+1

〔口)當(dāng)k>0時，，-.f(k+1)=e卜>1,

e

不會有任意的xe(o,+8),都有flx)<1,

e

當(dāng)k<0時，由⑴知f(x)在(0,+8)上的最大值是f(-k)=魚/，

e

2

「?任意的x￡(0,+°°),f(x)<A,4(-k)二,9七具,

eee

解得-=<k<0，

故對于任意的xW(0,+oo),都有f(x)<1,k的取值范圍是

e2

19.解：⑴由題意得a=2,b=l,所以c=JW?.橢圓G的焦點坐標(biāo)(-遙，0)(遙，0)

離心率e=￡二

a2

(II)由題意知:|m|>l,

當(dāng)m=l時，切線I的方程為x=l,點A(1,登)點B(1,-登)此時|AB|=F；

22

當(dāng)m=-l時，同理可得|AB|=J5；

y=k(x-ID)

當(dāng)mw±l時，設(shè)切線I的方程為：y=k(x-m),由<2=>[l+4k2)x2-8k2mx+4k2m2

T+y=1

-4=0,

222

設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2)那么xi+X2=x<*x9=——~~

1+4儲1+4—

又由I與圓圓x2+y2=l相切.??圓心到直線I的距離等于圓的半徑即/ml冰=坐!

Gk2

所以

2-2=22

IABI(XJ-X2)+(yjy2^^(1+k)[(Xj+x2)~4x1,x2]

=(]+k2).[64k41n2一4(4k2m2-4)=4五|m|,由于當(dāng)m=±1時，?AB|=?,

y(l+4k2)2l+4k?m2+3

當(dāng)mw±l時，|AB|=."^周,此時mW(-8,-1]U[1,+~)

ro2+3

又|AB|=2冬也=—曳4^2(當(dāng)且僅當(dāng)m=±F時，MB|=2),

一周+忌

所以，IAB|的最大值為2.

故|AB|的最大值為2.

20.解：(I)0,1,0,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列As

(口)必要性：因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列

所以ak+i-ak=l(k=l,2,1999)

所以An是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.

所以22000=12+(2000-1)xl=2023

充分性：由于a2000-ai999Vl

91999~31998^1

92-81<1,

所以32000~ai<1999,即a2ooo?ai+199