2023年電大離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導

離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導

一、單項選擇題

1.若集合4={〃，{a},{1,2}},則下列表述對的的是（）.

A.{a,{a}}eAB.{1,2}史AC.{a}o4D.0eA

解由于ae/,所以{a}口4

2.若集合A={1,2},3={1,2,{1,2}},則下列表述對的的是（）.

A.AuB,且AeBB.BuA,且力€3

C.AuB,且AMDM”,且AcB

解由于{l,2}eB,A={\,2}

所以Au3,且AeB

3.若集合/={2,a,{a},4},則下列表述對的的是（）.

A.{a,{a}}eAB.0GA

C.{2}eAD.{a}GA

解由于awA,所以{a}cX

4.若集合A={a,{a}},則下列表述對的的是（）.

A.{a}cAB.{{{?}})o4

C.{a,{a}}&AD.0eA

解由于aeA,所以{a}q4

注：若請你判斷是否存在兩個集合A,B,使ZuB,且AwB同時成立，怎么做?

答：存在。如2題中的集合A、B。

或設4={a},8={a,{a}}。

注意:以上題型是重點，大家一定要掌握，還要靈活運用，譬如，將集合中的元素作一些調整，大家也

應當會做.

例如，下題是2023年1月份考試試卷的第1題：

若集合A={a,{l}},則下列表述對的的是（）.

A.{1}eAB.{1}cA

C.{a}eAD.0eA

解由于{1}是集合A的一個元素，所以{l}eA

5.設集合A={a},則A的事集為().

A.{{a}}B.{a,{a}}

C.{0,{a}}D.{0,a}

解A={a}的所有子集為

0元子集，即空集：0；

1元子集，即單元集:{。}.

所以P(A)={0,{a}}

6.設集合/={1,a}，則P(A)=().

A.{{1},{a}}B.{0,{1},{0}}

C.{0,{1},{a},{l,a}}D.{{1},{?},{1,?}}

解4={1,a}的所有子集為

0元子集，即空集：0;

1元子集，即單元集:{1},{a}；

2元子集：{1,a}.

所以P(Z)={0,{1},{a},{l,a}}.

注意：*若集合A有一個或有三個元素，那么P(/)怎么寫呢？

例如,2023年1月份考試題的第6題：

設集合A={a},那么集合A的基集是{0,{a}}_.

?若A是“元集，則累集尸(“)有2"個元素.當〃=8或10時，4的募集的元素有多少個？(應

當是256或1024個)

7.若集合A的元素個數(shù)為10,則其募集的元素個數(shù)為().

A.1024B.10C.lOOD.1

解HI=10,所以|P(A)|=2'°=1024

以下為2023年1月份考試題的第1題：

若集合A的元素個數(shù)為10，則其幕集的元素個數(shù)為().

A.10B.100C.1024D.1

8.設/、8是兩個任意集合，ftjA-B=00（）.

A.A=BB.AaBC.A^BD.B=0

解設xe/,則由于/-3=0,所以xeA-6,從而xeB,故Aq反

9.設集合4={1,2,3,4},/?是A上的二元關系，其關系矩陣為

-100T

1000

MR=

0001

1000

則R的關系表達式是（）.

A.{<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}

B.{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}

C.{<1,1>,<2,1>,<4,1>,<4,3>,<1,4>}

D.{<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,1>,<4,3>}

10.集合/={1,2,3,4,5,6,7,8}上的關系/?={<x,y>b+y=10且x,yeA},則R的性

質為（）.

A.自反的B.對稱的

C.傳遞且對稱的D.反自反且傳遞的

解R={<2,8>,<3,7>,<4,6>,<5,5>,<6,4>,<7,3>,<8,2>}

易見，若V則守，/>",所以H是對稱的.

答B(yǎng)

另，由于IGA,但<1,1>任R,所以R不是自反的。

由于5印,但<5,5>€〃,所以R不是反自反的。

由于<2,8且<8,2>eH,但<2,2>然,所以不是傳遞的。

規(guī)定大家能純熟地寫出二元關系R的集合表達式，并能判別R具有的性質.

11.集合A=[1,2,3,4}上的關系火={<乂例>=y且乂段4},則/?的性質為（）.

A.不是自反的B.不是對稱的

C.傳遞的D.反自反

解/?={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}=〃是/上的恒等關系，是自反的、對稱的、

傳遞的。

答C

12.假如Ri和R?是A上的自反關系，則R|U7?2,照門修,為一&中自反關系有（）個.

A.OB.2C.1D.3

解對于任意放力,由于R和&是A上的自反關系，所以

<a,a>eR\,Va,a>w&,從而<a,a>&RiUR2,<a,a>eRir\R,,<a,a>^（R1-R2）

故H1UR2，Rin/?2是A上的自反關系用-&是/上的反自反關系.

答B(yǎng)

13.設集合4={1,2,3,4}上的二元關系

7?={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},

S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},

則S是R的（）閉包.

A.自反B.傳遞

C.對稱D.自反和傳遞

解R0S是對稱關系，且S去掉任意一個元素就不包含R或沒有對稱性，即S是包含R的具有

對稱性的最小的關系，從而S是7?的對稱閉包.

答C

14.設A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除關系，B={2,4,6},則集合B的最大元、

最小元、上界、下界依次為（）.

A.8、2、8、2B.8、1、6、1

C.6、2、6、2D.無、2、無、2

解7?={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,

<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,

<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,

<6,6>,<7,7>,<8,8>}

關系A的哈斯圖如下：

由圖可見，集合B={2,4,6}無最大元，其最小元是2.無上界，下界是2和1.

答D

15.設集合/={1,2,3,4,5},偏序關系4是A上的整除關系，則偏序集V/,上的元素5是集

合A的（).

A.最大元B.最小元

C.極大元D.極小元

<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

關系R的哈斯圖如下:

由圖可見，元素5是集合A的極大元.

答C

16.設集合A={1,2,3,4,5)

上的偏序關系的哈斯圖如右圖所示，若A

的子集6={3,4,5},則元素3為B的5

().

A.下界B.最小上界

C.最大下界D.最小元

答B(yǎng)

17.設4=伍,〃，B={\,2},Ri，4，砥是A到8的二元關系，且R]={<a,2>,<b,2>},R2=

(<a,1>,<a,2>,<b,l>},R3={<a,1>,<。,2>},則(）不是從A到8的函數(shù).

A.R\B.R2C.R3D.RI和R

解<a,l>eR,,<a,2>e4,即R2不滿足函數(shù)定義的單值性，因而不是函數(shù).

答B(yǎng)

注意：函數(shù)為，&的定義域、值域是什么？兩個函數(shù)R,凡是否能復合？

解Do01(/?!)=[a,8}=A,Ran因)={2};

Dorn(&3)={a,b}=A,Ran(&)={1,2}=B.

由于Ran(7?,)SDom(由3)，所以函數(shù)R和&不能復合。

18.設月={a,b,c},B={1,2},作了A一民則不同的函數(shù)個數(shù)為.

A.2B.3C.6D.8

解AXB={<a,l>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,

<c,1>,<c,2>}

AXB的任一子集即為從/到B的二元關系，在這些關系中滿足函數(shù)定義的兩個條件(①單值性；

②定義域是A)的關系只能是{Va,□>,<"口>,Vc,口〉}，其中每個有序對的第二元素可取1或

2,于是可知有2X2X2=8個不同的函數(shù).

答D

事實上,8個不同的函數(shù)為：

f\={<a,1>,<b,1>,<c,1>},

fi={<a,1>,<b,1>,<c,2>},

于3={<a,1>,<b,2>,<c,1>},

f4={<a,2>,<b,1>,<c,1>},

f5={<a,}>,<b,2>,<c,2>},

fi,={<a,2>,<b,1>,<c,2>},

力={<a,2>,<b,2>,<c,1>},

fs={<a,2>,<b,2>,<c,2>}.

19.設集合A={1,2,3}上的函數(shù)分別為：

f={<1,2>,<2,1>,<3,3>},

g={<1,3>,<2,2>,<3,2>},

h={<1,3>,<2,1>,<3,1>},

則/?=().

A.f°gB-g°fC.f。fD.g。g

解/g={<1,3>,<2,1>,<3,1>}=h

g。于={<L2>,<2,3>,<3,2>}

f={<1,1>,<2,2>,<3,3〉}

g°g={<1,2>,<2,2>,<3,2>}

答A

20.設函數(shù)/：NTN,M)=n+1,下列表述對的的是().

A../"存在反函數(shù)B/是雙射的C.7是滿射的D.f是單射函數(shù)

解由于任意〃1,%eN,”產〃2，

則/(?))=?!+1=/(〃2)，

所以一是單射.

對于OwN,不存在使/(〃)=〃+1=0,

所以f不是滿射.

從而f不是雙射，也不存在反函數(shù).

答D

二、填空題

1.設集合A={1,2,3},3={1,2},則P(A)~P(B)=,Ax

B=.

解P(A)={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

P(fi)={0,{l},{2},{l,2}}

答{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}

2.設集合力有10個元素，那么A的塞集合P(A)的元素個數(shù)為.

答210

3.設集合A={0,1,2,3},8={2,3,4,5},H是4到8的二元關系，

R={<x,y>wA且yeB班,yGAr^B}

則R的有序對集合為.

答R={<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

注意:假如將二元關系R改為

R={<x,y>卜eA且yeB且/=y}

或

/?={<%,y>|xeA且yGBSLX+1=y}

則R的有序對集合是什么呢？

答R={<2,4>}

或H={<1,2>,<2,3>,<3,4>}

4.設集合4={1,2,3,4},B={6,8,12},4到8的二元關系

/?={<x,y>|y=2x,xeA,ye8}

那么R-I={<6,3>,<8,4>}

5.設集合4={。，b,c,d},A上的二元關系/?={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},

則R具有的性質是.

由于任意xeA,<所以R是反自反的.

答反自反的

6.設集合4={&,b,c,d},/上的二元關系R={Va,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>},

若在R中再增長兩個元素,則新得到的關系就具有對稱性.

答<c,b>,<d,c>

注意:第5,6題是重點，我們要純熟掌握，特別是5和R的元素都減少的情況。假如6題新得到的關

系具有自反性，那么應當增長哪兩個元素呢？

答應增長Vc,c>,<d,d>兩個元素

7.假如Hi和&是A上的自反關系，則RU&,*AR2,中自反關系有個.

答2(見:一、9題)

8.設A={1,2}上的二元關系為R={<x,y>IXEA,yeA,x+y=10},則R的自反閉包

為.

由于R=0,所以R的自反閉包S(R)=〃={<1,1>,<2,2>}

答2>}

注意:假如二元關系改為R={Vx,y>IxeA,yeA,x+y<\0}，則R的自反閉包是什么呢？

解R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}是A上的全關系，它的自反閉包是它自己。

答R或{<1,1>,<1,2>,<2』>,<2,2>}

9.設/?是集合A上的等價關系，且1,2,3是A中的元素，則R中至少包含

等元素.

答<1,1>,<2,2>,<3,3>

由于等價關系一定是自反的、對稱的、傳遞的，由二元關系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,

2>,<3,3>等元素.

注：假如給定二元關系凡你能否判斷r是否是等價關系？

10.設集合A={1,2},B={a,。},那么集合A到3的雙射函數(shù)是

/={<\,a>,<2,/?>}^={<\,h>,<2,a>}

想一想:集合4到B的不同函數(shù)的個數(shù)有幾個？

答有4個，除上述兩個雙射函數(shù)外，尚有

h-{<\,a>,<2,a>},z={<l,b>,<2,b>}.

（參考:一、14題）

三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由.）

1.若集合4={1,2,3}上的二元關系7?={<1,1>,<2,2>,<1,2>},則

（1）/?是自反的關系；（2）R是對稱的關系.

解（1）錯誤.由于3eA,但<3,3>任R.

（2）錯誤.由于<1,2>wR,但<2,1>隹R.

2.假如Ri和&是A上的自反關系，判斷結論：“父、RiU&、凡0凡是自反的”是否成立?并說

明理由.

解成立.

由于R1和R2是A上的自反關系，所以

任意口"，有<。,。>€與，<a,a>e4,

從而有「（逆關系定義），

<a,a>￡&（JR2<。,〃>￡?□與

9?

故與’、R1UR2、R1PR2是自反的.

3.若偏序集V/,R>的哈斯圖如圖一所示,

則集合A的最大元為a,最小元不存在.

解不對的。

可見a大于等于A中的元素1)、c、d、e、

圖一

f,但與元素g、h沒有關系，所以a不是A的最大元。沒有一個元素小于等于A中的所有元素,

所以A沒有最小元。

注：本題中，極大元為a、g,極小元為e、f、h.

注意：題目修改為:若偏序集<A,/?>的哈斯圖如右a

圖所示，則集合A的最大元為a,極小元不存在.

解結論不成立。

力的最大元為a,極小元為"、c.

問：是否存在一個元素a,它既是偏序集<4,R>的最大元，也是<4,的最小元?

4.設集合/={1,2,3,4},B={2,4,6,8},判斷下列關系了是否構成函數(shù)/：Af并

說明理由.

(1)戶{<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>};

(2)戶{VI,6>,<3,4>,<2,2>};

⑶戶{<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}.

解(1)關系f不構成函數(shù).

由于Dom(f)={L2,4}#A,不滿足函數(shù)定義的條件.

(2)關系f不構成函數(shù).

由于Dom(f)={l,2,3}HA,不滿足函數(shù)定義的條件.

(3)關系f構成函數(shù).

由于

①任意awDom(f),都存在唯一的beRan(f),使<a,b>ef;

②Dom(f)=A.

即關系f滿足函數(shù)定義的兩個條件，所以關系f構成函數(shù).

四、計算題

1.設石={1,2,3,4,5},4={1,4},8={1,2,5},。={2,4},求:

(1)(/ln^)u~C；(2)(Au5)-(5nA)；

(3)P(A)-P(O；(4)A?B.

解(1)(AriB)U-C={l}U{l,3,5}={l,3,5};

(2)(AUB)—(3nA)={l,2,4,5}—{1}={2,4,5}；

(3)P(A)-P(C)={0,{l},{4},{l,4}}-{0,{2},{4},{254})

={{1},{1,4}}.

(4)A十8=(AUB)-(An8)=(AUB)-(BnA)={2,4,5}.

2.設A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},試計算

(1)(A-8);(2)(APB)；(3)AXB.

解(1)A-B={{1},{2});

⑵Ans={l,2}；

(3)AxB={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,

<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,

<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,

<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>}

3.設/=[1,2,3,4,5},R={<x,y>\xeA,y&AJ3_x+y<4},S={<r,y>beA,ye/且x+y<0},試

求R,S,R?S,S?R,R-',S',r{S),s(R).

解R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}(S=0

R?S=0,S?R=0,

={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}=R

S-'=0,

r(S)=S\JIA=IA=[<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

S(R)=RURT=R

={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4.設/={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除關系，B=[2,4,6).

(1)寫出關系R的表達式；(2)畫出關系R的哈斯圖；

(3)求出集合笈的最大元、最小元.

解(1)k={<1[>，<1，2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,

<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,

<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,

<6,6>,<7,7>,<8,8>}

⑵關系R的哈斯圖如下：

(3)集合B={2,4,6}無最大元，其最小元是2.

五'證明題

1.試證明集合等式：Au(3cC)=(AuB)n(

證明任意xeAU/nC),則x",或xwsnc.

若xwA,則xwAU8,XGAIJC,從而xe(AUB)n(AUC)；

若xeBClC,則xeB,AIJB,xeAU。

從而尤e(AUB)n(4UO.

所以AU(6nC)￡(AU6)n(AUO.

任意xe(AUB)n(AUC),貝ijxeAljB且xeAUC.

由xeAUB知,xeA或xeB.

若xwA,則xwAU(8ClC)；

若“史&則必有由XGAUC知，也有XGC,從而xwBDC,進而xeAU(BnC).

所以(AU8)n(AUC)=AU(8nC).

故AU(B「C)=(AU5)n(4UC).

2.試證明集合等式Ac(BuC)=(AnB)u(AcC).

證明任意xeACKBUC),貝jjx"且xeBUC

即X￡A且或.

即尤eA且xcB,從而xeAflB,

或xwA且xeC,從而xeADC.

于是有xe(AnB)U(AnO,

所以An(8uc)=An8)u(Aric).

任意xe(AnB)U(AnC),貝gxeAflB或xeAflC.

若xeADB,貝iJxeA且xe3,從而xeA且xeBUC,xeAA(filjQ;

若xeADC,則