2024屆高考數(shù)學一輪復(fù)習 第二章 微專題4　破解嵌套函數(shù)的零點問題 課件（33張PPT）

微專題4破解嵌套函數(shù)的零點問題

函數(shù)的零點問題是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)等相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，再借助函數(shù)圖象、性質(zhì)求解.一、嵌套函數(shù)零點個數(shù)的判斷

A.4B.5C.6D.7解析

因為當x∈（0，2]時，f（x）＝（x－1）2，當x＞2時，f（x）＝f（x－2）＋1，所以將f（x）在區(qū)間（0，2]上的圖象向右平移2個單位長度，同時再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)f（x）在（2，4]上的圖象.同理可得到f（x）在（4，6]，（6，8]，…上的圖象.再由f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱得到f（x）在（－∞，0）上的圖象，從而得到f（x）在其定義域內(nèi)的圖象，如圖所示，令g（x）＝0，得f（x）＝0或f（x）＝1，由圖可知直線y＝0與y＝1和函數(shù)y＝f（x）的圖象共有6個交點，所以函數(shù)g（x）共有6個零點.故選C.答案

C點評

判斷嵌套函數(shù)零點個數(shù)的步驟：①換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g（x）與y＝f（t）的零點；②依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判斷圖象交點個數(shù).?

A.3B.5C.7D.8

二、求嵌套函數(shù)零點中的參數(shù)

解析

設(shè)t＝f（x），令g（x）＝f（f（x））－a＝0，則a＝f（t）.在同一平面直角坐標系內(nèi)作y＝a，y＝f（t）的圖象（如圖）.易知當a＜－1時只有一個零點，當a≥－1時，y＝a與y＝f（t）的圖象有兩個交點.設(shè)交點的橫坐標為t1，t2（不妨設(shè)t2＞t1），則t1＜－1，t2≥－1.當t1＜－1時，t1＝f（x）有一解；當t2≥－1時，t2＝f（x）有兩解.綜上，當a≥－1時，函數(shù)g（x）＝f（f（x））－a有三個不同的零點.答案

[－1，＋∞）點評

（1）求解本題的關(guān)鍵是抓住分段函數(shù)圖象的性質(zhì)，由y＝a與y＝f（t）的圖象，確定t1，t2的取值范圍，進而由t＝f（x）的圖象確定零點的個數(shù)；（2）處理含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，還應(yīng)注意讓參數(shù)的取值“動起來”，抓臨界位置，動靜結(jié)合.?

法二：作出函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖，由圖可知y＝f（x）的圖象與直線y＝－2和直線y＝2共有4個不同的交點，即y＝f[f（x）]有4個不同的零點.答案：4

?

A.2B.－2，0D.0

2.設(shè)函數(shù)f（x）＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的過程中，計算得到f（1）＜0，f（3）＞0，則方程的近似解落在區(qū)間

（

）

A.1B.2C.3D.4

4.已知函數(shù)f（x）＝ln｜x－2｜＋x2與g（x）＝4x，則兩函數(shù)圖象所有交點的橫坐標之和為

（

）A.0B.2C.3D.4解析：D

原問題可以轉(zhuǎn)化為求方程ln｜x－2｜＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln｜x－2｜和y＝4x－x2的圖象均關(guān)于直線x＝2對稱，且兩個函數(shù)的圖象有2個交點，故兩個交點的橫坐標之和為4.

A.1B.2

6.（多選）函數(shù)f（x）＝sinx＋2｜sinx｜，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝k的交點個數(shù)可能是

（

）A.1B.2C.4D.6

解析：當x＞0時，由f（x）＝0，即xln

x＝0得ln

x＝0，解得x＝1；當x≤0時，由f（x）＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，因為x≤0，所以x＝－1.綜上，函數(shù)f（x）的零點為1，－1.答案：1，－18.已知函數(shù)f（x）＝｜1－x2｜＋a，若f（x）有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

?.

解析：函數(shù)y＝f（x）有四個零點，即y＝－a與y＝｜1－x2｜有四個交點，作出函數(shù)y＝｜1－x2｜的圖象如圖，由圖可知0＜－a＜1，即－1＜a＜0.答案：（－1，0）9.方程2x＋3x＝k的解在[1，2）內(nèi)，則k的取值范圍是

?.

解析：令函數(shù)f（x）＝2x＋3x－k，則f（x）在R上單調(diào)遞增.當方程2x＋3x＝k的解在（1，2）內(nèi)時，f（1）·f（2）＜0，即（5－k）（10－k）＜0，解得5＜k＜10，又f（1）＝0時，k＝5.綜上，實數(shù)k的取值范圍是[5，10）.答案：[5，10）10.函數(shù)f（x）＝x2＋bx＋c的兩個零點為2，3.（1）求b，c的值；

（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋mx的兩個零點分別在區(qū)間（1，2），（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍.

?11.若關(guān)于x的方程x（｜x｜＋a）＝1有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的可能取值為

（

）A.－5B.－2C.2D.3

A.d＜aB.d＞bC.d＞cD.d＜c

答案：[－2，1）

（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點.

?

B.函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，＋∞）上單調(diào)遞增C.當m∈（1，2）時，方程有2個不同的實數(shù)解D.當m∈（－1