專題02常用邏輯用語

專題02常用規(guī)律用語【命題方向名目】命題方向一：充分條件與必要條件的推斷命題方向二：依據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍命題方向三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假命題方向四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否認(rèn)命題方向五：依據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【2024年高考猜測】2024年仍將與其他學(xué)問結(jié)合，考查命題及其關(guān)系、含簡潔規(guī)律聯(lián)接詞的命題真假推斷、存在量詞命題與全稱命題真假推斷及其否認(rèn)的書寫、充要條件的判定，其中充要條件判定為重點．【學(xué)問點總結(jié)】一、充分條件、必要條件、充要條件設(shè)，那么p是q的充分條件p是q的必要條件p是q的充要條件且p是q的充分不必要條件且是的必要不充分條件且是的既不充分也不必要條件且且二．全稱量詞與存在量詞〔1〕全稱量詞與全稱量詞命題．短語“全部的〞、“任意一個〞在規(guī)律中通常叫做全稱量詞，并用符號“〞表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立〞可用符號簡記為“〞，讀作“對任意屬于，有成立〞．〔2〕存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個〞、“至少有一個〞在規(guī)律中通常叫做存在量詞，并用符號“〞表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立〞可用符號簡記為“〞，讀作“存在中元素，使成立〞〔存在量詞命題也叫存在性命題〕．三．含有一個量詞的命題的否認(rèn)〔1〕全稱量詞命題的否認(rèn)為，．〔2〕存在量詞命題的否認(rèn)為．注：全稱、存在量詞命題的否認(rèn)是高考常見考點之一．【方法技巧與總結(jié)】1、充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)，〔1〕假設(shè)是的充分條件，那么；〔2〕假設(shè)是的充分不必要條件，那么；〔3〕假設(shè)是的必要不充分條件，那么；〔4〕假設(shè)是的充要條件，那么．2、含有一個量詞命題的否認(rèn)規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論〞．3、命題與的否認(rèn)的真假性相反．【典例例題】命題方向一：充分條件與必要條件的推斷【通性通解總結(jié)】1、要明確推出的含義，是成立肯定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要條件在面對集合問題時，肯定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，肯定要留意各個學(xué)問面的培育．例1．〔2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M猜測〕方程有實根；函數(shù)為增函數(shù)，那么p是q的〔〕條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】方程有實根，故，函數(shù)為增函數(shù)，故，真包含于,p是q的必要不充分條件．應(yīng)選：B例2．〔2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模〕早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時，就制造性地提出了一個原理：“冪勢既同，那么積不容異〞，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，假如截得的兩個截面的面積、總相等，那么這兩個幾何體的體積、相等.依據(jù)“祖暅原理〞，“〞是“〞的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依據(jù)祖暅原理可知，當(dāng)時，肯定有成立，反之，當(dāng)成立時，不肯定有成立，比方兩個完全相同的三棱錐，正置和倒置時，，不肯定相等，故“〞是“〞的必要不充分條件.應(yīng)選：B例3．〔2023·全國·模擬猜測〕假設(shè)，，那么“〞的一個必要不充分條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項A：假設(shè)，那么，所以，又，，所以，所以“〞是“〞的充分條件，應(yīng)選項A錯誤；對于選項B：假設(shè)，那么，所以，即，所以“〞是“〞的充要條件，應(yīng)選項B錯誤；對于選項C：由得，另一方面取，，滿意，但，所以“〞是“〞的一個必要不充分條件，應(yīng)選項C正確；對于選項D：取，，滿意，但，所以“〞不是“〞的必要條件，應(yīng)選項D錯誤.應(yīng)選：C.變式1．〔2023·山東東營·東營中學(xué)?？级！砿，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，那么使成立的必要不充分條件是〔

〕A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，【答案】A【解析】對A，假設(shè)，，那么直線m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；假設(shè)，那么存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分條件，故A正確；對B，假設(shè)，，那么；假設(shè)，那么存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要條件，故B錯誤；對C，假設(shè)，，那么直線；假設(shè)，那么不存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對D，假設(shè)，，那么；假設(shè)，那么存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的充分必要條件，故D錯誤.應(yīng)選：A.變式2．〔2023·海南?？凇ば？寄M猜測〕集合，那么的充要條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，，假設(shè)，那么，故，可得.所以是的充要條件.應(yīng)選：B變式3．〔2023·貴州·統(tǒng)考模擬猜測〕命題“〞，命題“〞，那么p是q的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】對于命題，，得，可以推出，但是不能推出，p是q的充分不必要條件.應(yīng)選：A.變式4．〔2023·天津·校聯(lián)考二?！?，命題是一元二次方程的一個根，命題，那么是的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】對于命題，為方程的根，那么，充分性成立；對于命題，且，那么必是題設(shè)方程的一個根，必要性成立；所以是的充分必要條件.應(yīng)選：C命題方向二：依據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍【通性通解總結(jié)】1、集合中推出肯定是小集合推大集合，留意包含關(guān)系．2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要留意端點是否能取到問題，簡潔出錯．例4．〔2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二?！臣?，．假設(shè)“〞是“〞的充分不必要條件，那么的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】假設(shè)“〞是“〞的充分不必要條件，那么，所以，解得，即的取值范圍是.應(yīng)選：B.例5．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕假設(shè)“〞是“不等式成立〞的充分不必要條件，那么實數(shù)的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，是不等式成立的充分不必要條件，滿意，且等號不能同時取得，即，解得，應(yīng)選：C．例6．〔2023·全國·高三對口高考〕集合，假設(shè)“〞是“〞的充分非必要條件，那么的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，或，假設(shè)“〞是“〞的充分非必要條件，那么A是B的真子集，所以.應(yīng)選：A.變式5．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕設(shè)，，假設(shè)是的必要不充分條件，那么實數(shù)的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，，∵是的必要不充分條件，∴，解得.應(yīng)選：A變式6．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕方程至少有一個負(fù)實根的充要條件是〔

〕A． B． C． D．或【答案】C【解析】當(dāng)時，方程為有一個負(fù)實根，反之，時，那么，于是得；當(dāng)時，，假設(shè)，那么，方程有兩個不等實根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時，那么這兩根之積小于0，，于是得，假設(shè)，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，那么，解得，于是得，綜上，當(dāng)時，方程至少有一個負(fù)實根，反之，方程至少有一個負(fù)實根，必有.所以方程至少有一個負(fù)實根的充要條件是.應(yīng)選：C變式7．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕命題“〞為假命題的一個充分不必要條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】由命題“〞為假命題，那么該命題的否認(rèn)：“〞為真命題，也即，所以，所以為該命題的一個充分不必要條件，應(yīng)選：C.命題方向三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【通性通解總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性推斷較為簡潔，留意細(xì)節(jié)即可．例7．〔2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)〕命題〔為自然對數(shù)的底數(shù)〕，那么以下為真命題的是〔

〕A．真，假 B．真，真C．假，真 D．假，假【答案】C【解析】命題為假命題，，必有，所以，命題為真命題.應(yīng)選：C.例8．〔2023·山東棗莊·統(tǒng)考二?！臣?，，那么〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，那么集合是集合的真子集，所以，，，，故ABD錯誤，A正確.應(yīng)選：C.例9．〔2023·重慶·高三重慶市長壽中學(xué)校?？计谀砅，Q為R的兩個非空真子集，假設(shè)，那么以下結(jié)論正確的選項是〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由于，所以，如圖，對于選項A：由題意知P是Q的真子集，故，，故不正確，對于選項B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.對于選項C：由是的真子集知，，，故不正確，對于選項D：Q是的真子集，故，，故不正確，應(yīng)選：B變式8．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕集合，集合，那么以下命題為真命題的是〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題知，集合，集合，所以是的真子集，所以，或，或，，只有A選項符合要求，應(yīng)選：A.變式9．〔2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)〕以下命題中的假命題是〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A，，，，A正確；對于B，當(dāng)時，，B正確；對于C，當(dāng)時，，C錯誤；對于D，值域為，，，D正確.應(yīng)選：C.命題方向四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否認(rèn)【通性通解總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否認(rèn)是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否認(rèn)．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否認(rèn)要留意否認(rèn)是全否，而不是半否．例10．〔2023·河北衡水·高三衡水市其次中學(xué)期末〕命題“，〞的否認(rèn)是〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由存在量詞命題的否認(rèn)知：原命題的否認(rèn)為，.應(yīng)選：D.例11．〔2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二?！趁}p：，，那么為〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由于對全稱量詞的否認(rèn)用存在量詞，所以命題p：，的否認(rèn)為：，.應(yīng)選：D例12．〔2023·全國·模擬猜測〕命題，，那么為〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由題意知，，所以：，.應(yīng)選：B．變式10．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕命題“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個成立〞的否認(rèn)為〔

〕A．a(chǎn)，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一個成立B．a(chǎn)，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立C．a(chǎn)，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一個成立D．a(chǎn)，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立【答案】D【解析】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個成立〞的否認(rèn)為：a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.應(yīng)選：D變式11．〔2023·河南鄭州·統(tǒng)考二?！趁}：，的否認(rèn)是〔

〕A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由全稱命題的否認(rèn)為存在量詞命題，那么原命題的否認(rèn)為，.應(yīng)選：D命題方向五：依據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【通性通解總結(jié)】1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，假如哪個是假命題，去求真命題的補(bǔ)級即可．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要留意端點出點是否可以取到．例13．〔2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬猜測〕命題，假設(shè)為真命題，那么實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】假設(shè)為真命題，等價于，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，即，可得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例14．〔2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬猜測〕假設(shè)命題“，〞為真命題，那么實數(shù)的取值范圍為___________.〔用區(qū)間表示〕【答案】【解析】由于，即函數(shù)的值域為，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：例15．〔2023·上海徐匯·統(tǒng)考二?！趁}“假設(shè)，那么〞是真命題，實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由可得：，解得：或，“假設(shè)，那么〞是真命題，那么能推出或成立，那么.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式12．〔2023·吉林·統(tǒng)考二?！趁}“，〞為假命題，那么實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由題意可知，命題“，〞為真命題.當(dāng)時，由可得，不符合題意；當(dāng)時，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式13．〔2023·河南·統(tǒng)考模擬猜測〕設(shè)命題：，.假設(shè)是假命題，那么實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】由于是假命題，所以是真命題，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：變式14．〔2023·河南鄭州·統(tǒng)考一?！臣僭O(shè)“〞為假命題，那么實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由條件可知“〞為真命題，那么，即.故答案為：變式15．〔2023·四川成都·成都七中?？寄M猜測〕命題“，使得〞為假命題，那么a的取值范圍為________.【答案】【解析】假設(shè)“，使得〞為假命題，可得當(dāng)時，恒成立，只需.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：【過關(guān)測試】一、單項選擇題1．〔2023·四川成都·石室中學(xué)?？既！常敲础皑暿恰坝袃蓚€不同的零點〞的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】假設(shè)有兩個不同的零點，那么，解得或，所以“〞是“有兩個不同的零點〞的充分不必要條件.應(yīng)選：A2．〔2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M猜測〕圓和圓，其中，那么使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】由且半徑，且半徑，結(jié)合a大于0，所以時，兩圓相交，那么，由選項可得A選項為的充要條件；B、D選項為的必要不充分條件；C選項為的充分不必要條件；應(yīng)選：C3．〔2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬猜測〕，q：任意，那么p是q成立的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】命題：一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，當(dāng)時，,符合題意；當(dāng)時，有，即，解為，∴：．又：，設(shè)，那么是的真子集，所以p是q成立的充分非必要條件，應(yīng)選：A．4．〔2023·河南·校聯(lián)考模擬猜測〕命題：，命題：，那么是的〔

〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意得，命題：，命題：，故是的必要不充分條件.應(yīng)選:B.5．〔2023·安徽·校聯(lián)考三?！辰o出以下四個命題，其中正確命題為〔

〕A．“，〞的否認(rèn)是“，〞B．“〞是“〞的必要不充分條件C．，，使得D．“〞是“〞的充分不必要條件【答案】C【解析】對于A，“，〞是全稱量詞命題，其否認(rèn)是存在量詞命題，該命題的否認(rèn)為，，A錯誤；對于B，“假設(shè)，那么〞是假命題，如，而，B錯誤；對于C，取，那么，C正確；對于D，由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，那么“〞是“〞的充要條件，D錯誤．應(yīng)選：C6．〔2023·福建·統(tǒng)考模擬猜測〕，恒成立，那么的一個充分不必要條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】D【解析】，，得，A是的必要不充分條件，B是的必要不充分條件，C：是的充要條件，D：是的充分不必要條件．應(yīng)選：D．7．〔2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)〕條件，，那么的一個必要不充分條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】假設(shè)，使得，那么，可得，那么，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時，，即，所以，的一個必要不充分條件是.應(yīng)選：A.8．〔2023·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)〕命題“，〞為真命題，那么實數(shù)的取值范圍是〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】由于命題“，〞為真命題，所以，命題“，〞為真命題，所以，時，，由于，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.所以，時，，即實數(shù)的取值范圍是應(yīng)選：C二、多項選擇題9．〔2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)〕：，恒成立；：，恒成立.那么〔

〕A．“〞是的充分不必要條件 B．“〞是的必要不充分條件C．“〞是的充分不必要條件 D．“〞是的必要不充分條件【答案】BC【解析】：，恒成立，那么方程無實根，所以恒成立，即，故“〞是的必要不充分條件，故A錯誤，B正確；又：，恒成立，所以在時恒成立，又函數(shù)的最大值為，所以，故“〞是的充分不必要條件，故C正確，D錯誤.應(yīng)選：BC.10．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕平面α，β，直線l，m，那么以下命題正確的選項是〔

〕A．假設(shè)，，那么B．假設(shè)，，那么C．假設(shè)，那么“〞是“〞的充分不必要條件D．假設(shè)，，那么“〞是“〞的必要不充分條件【答案】ACD【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可知A正確,對于B,假設(shè)，，那么,或者異面，故B錯誤,對于C,假設(shè),那么,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正確，對于D,假設(shè)，，,不能得到,由于有可能異面，但是，，，那么，故D正確，應(yīng)選：ACD11．〔2023·全國·高三專題練習(xí)〕命題“〞為真命題的一個充分不必要條件是〔

〕A． B． C． D．【答案】AC【解析】由于為真命題，所以或，所以是命題“〞為真命題充分不必要條件，A對，所以是命題“〞為真命題充要條件，B錯，所以是命題“〞為真命題充分不必要條件，C對，所以是命題“〞為真命題必要不充分條件，D錯，應(yīng)選：AC12．〔2023·云南德宏·高三統(tǒng)考期末〕在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的全部整數(shù)組成一個“類〞，記為，，那么以下結(jié)論正確的為〔

〕A． B．C． D．整數(shù)屬于同一“類〞的充要條件是“〞【答案】BCD【解析】對于A，由得，故A錯誤；對于B，由得，故B正確；對于C，全部整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有四種狀況，即剛好分成共4類，故，故C正確.對于D，假設(shè)整數(shù)屬于同一“類〞，那么，故，所以；反之，不妨設(shè)，那么，假設(shè)，那么，即，所以整數(shù)屬于同一“類〞；故整數(shù)屬于同一“類〞的充要條件是“〞，即D正確.應(yīng)選：BCD.三、填空題13．〔2023·山東濰坊·統(tǒng)考二?！臣僭O(shè)“〞是“〞的一個充分條件，那么的一個可能值是__________.【答案】〔只需滿意即可〕【解析】由可得，那么，所以，，解得，由于“〞是“〞的一個充分條件，故的一個可能取值為.故答案為：〔只需滿意即可〕.14．〔2023·江蘇南京·高三南京師范高校附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí)〕“〞是“〞的_________條件．〔請從“充分不必要〞，“必要不充分〞，“充要〞，“既不充分也不必要〞中選擇一個〕【答案】充分不必要．【解析】假設(shè)，那么，反之，假設(shè)，那么，那么，那么，那么〞是“〞的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．15．〔2023·高三課時練習(xí)〕是的充分非必要條件，是的必要條件，是的必要條件，那么的一個______條件是．【答案】必要非充分【解析】用雙箭頭符號表示的關(guān)系:,即，即，又不能推出，故是的一個必要非充分條件.故答案為：必要非充分16．〔2023·全國·模擬猜測〕假設(shè)“〞是“函數(shù)對一切恒有意義〞的充分條件，那么a的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)對一切恒有意義，即在上恒成立，即恒成立．由“〞是“函數(shù)對一切恒有意義〞的充分條件，故在上恒成立，令，為關(guān)于b的一次函數(shù)，要使在上恒成立，只需，即，留意到，解得．所以a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．〔2023·河南許昌·高三?？计谀臣希?1)求A；(2)假設(shè)“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要條件，求m的取值范圍．【解析】〔1〕由，可得，所以，所以集合.〔2〕假設(shè)“〞是“〞的充分不必要條件，那么集合是集合的真子集，由集合不是空集，故集合也不是空集，所以，當(dāng)時，滿意題意，當(dāng)時，滿意題意，故，即m的取值范圍為.18．〔2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試〕命題：實數(shù)滿意，其中，命題：實數(shù)滿意．(1)假設(shè)，那么是的什么條件？(2)假設(shè)是的必要條件，求的取值范圍．【解析】〔1〕由，得，記集合，，記集合．由于B是A的真子集，所以是的必要