復(fù)變函數(shù)習(xí)題課件

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1.

解析函數(shù)的概念；2.

函數(shù)解析性的判別難點(diǎn)：1.

解析函數(shù)的概念；2.

初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念第二章內(nèi)容復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分解析函數(shù)初等解析函數(shù)指

數(shù)

函

數(shù)三

角

函

數(shù)對(duì)

數(shù)

函

數(shù)冪

函

數(shù)性質(zhì)解析函數(shù)的判定方法可

導(dǎo)

與

微

分

的

關(guān)

系可導(dǎo)與解析的判定定理雙

曲

函

數(shù)1）導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w

=f

(z)定義于區(qū)域D,z0為D中的一點(diǎn),點(diǎn)z0

+Dz不出D的范圍,如果極限lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)=

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

.Dzfi

00dzf

￠(z

)

=

dwz=z0DzDzDzfi

0存在,那么就稱f

(z)在z0可導(dǎo).這個(gè)極限值稱為f

(z)在z0的導(dǎo)數(shù),記作1.

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定義

如果函數(shù)f

(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),我們就稱在區(qū)域內(nèi)D可導(dǎo).2)可導(dǎo)與連續(xù)函數(shù)f(z)在z0

處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導(dǎo).3)求導(dǎo)公式與法則(c)

=0,

其中c為復(fù)常數(shù).(zn

)

=nzn-1

,

其中n為正整數(shù).[

f

(z)

–

g(z)]

=

f

￠(z)

–

g￠(z).(4)

[f

(z)g(z)]

=

f

￠(z)g(z)

+

f

(z)g￠(z).(

g(z)

?

0)

f

(z)

=

f

￠(z)g(z)

-

f

(z)g￠(z)

.

g(z)

g2

(z)(5)(6)

{f

[g(z)]}

=f

￠(w)g￠(z).

其中w

=g(z)且j

￠(w)?0兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù),,

其中w

=f

(z)與z

=j

(w)是j

￠(w)1(7)

f

￠(z)

=設(shè)函數(shù)w

=

f

(z)在

z0

可導(dǎo),

則Dw

=

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

￠(z0

)

Dz

+

r(Dz)Dz,式中l(wèi)im

r(Dz)

=

0,

r(Dz)Dz

是

Dz

的高階無窮Dzfi

0小,

f

￠(

z0

)

Dz

是函數(shù)

w

=

f

(

z)的改變量

Dw

的線性部分.則f

(z0

)

Dz

稱為函數(shù)w

=f

(z)在點(diǎn)z0

的微分,dw

=

f

￠(z0

)

Dz.=

f

(z)dz.記作4)復(fù)變函數(shù)的微分在z0

可微.如果函數(shù)f

(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f

(z)在區(qū)域D內(nèi)可微.可導(dǎo)與微分的關(guān)系函數(shù)w

=f

(z)在z0

可導(dǎo)與在z0

可微是等價(jià)的.如果函數(shù)在z0

的微分存在,則稱函數(shù)f

(z)2.

解析函數(shù)1)定義如果函數(shù)f

(z)在z0

及z0

的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),那末稱f

(z)在z0

解析.如果函數(shù)

f

(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析,

則稱f

(

z)在區(qū)域D內(nèi)解析.

或稱

f

(

z)是區(qū)域

D

內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).如果函數(shù)f

(z)在z0

不解析,那末稱z0

為f

(z)的奇點(diǎn).2)性質(zhì)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)f

(z)與g(z)的和、差、積、商(除去分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析.設(shè)函數(shù)h

=g(z)在z

平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,函數(shù)w

=f

(h)在h

平面上的區(qū)域G

內(nèi)解析.如果對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z

,函數(shù)g(z)的對(duì)應(yīng)值h

都屬于G

,那末復(fù)合函數(shù)w

=f

[g(z)]在D內(nèi)解析.所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處解析.(d

)

任何一個(gè)有理分式函數(shù)

P(

z)

Q(z)

在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)解析,使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn).定理1

設(shè)函數(shù)f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D

內(nèi),則f

(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z

=x

+yi

可導(dǎo)的充要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,并且在該點(diǎn)滿足柯西－黎曼方程?u

=

?v

,

?u

=

-

?v

.?x

?y

?y

?x柯西－黎曼條件(C

-R條件)3)可導(dǎo)與解析的判定若函數(shù)f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z

=x

+yi

處可導(dǎo),則其導(dǎo)數(shù)公式:f

￠(z)

=

?u

+

i

?v

=

?u

-

i

?u?x

?x

?x

?y=

?v

-

i

?u

=

?v

+

i

?v

.?y

?y

?y

?x定理2

函數(shù)f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D

內(nèi)解析的充要條件是:u(x,y)與v(x,y)在D

內(nèi)可微,并且滿足柯西－黎曼方程.4)解析函數(shù)的判定方法如果能用求導(dǎo)公式與求

導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函數(shù)

f

(

z)

的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)處處存在,

則可根據(jù)解析函數(shù)的定義斷定

f

(

z)

在

D

內(nèi)是解析的.如果復(fù)變函數(shù)f

(z)=u

+iv

中u,v

在D內(nèi)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在、連續(xù)(因而u,v可微)并滿足C

-R

方程,那末根據(jù)解析函數(shù)的充要條件可以斷定f

(z)在D內(nèi)解析.3.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù)定義

設(shè)z

=

x

+

iy.稱ez

=

ex

(cos

y

+

i

sin

y)為z的指數(shù)函數(shù).性質(zhì)

(a)對(duì)任意復(fù)數(shù)z,

ez

=

ex

>

0,

則

ez

?

0;(b)

ez在z平面上處處解析,而且(ez

)

=

ez

;=

ez1

+z2

;(c)

ez1

ez2(d

)ez是以2pi為周期的周期函數(shù).2)三角函數(shù)定義

sin

z

=2,稱為正弦函數(shù).2ieiz

+

e-izcos

z

=

,稱為余弦函數(shù).eiz

-

e-iz性質(zhì)

(1)

sin

z

是奇函數(shù),cos

z

是偶函數(shù).sin(-z)

=

-sin

z,

cos(-z)

=

cos

z.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都以2π

為周期.sin(

z

+

2p)

=

sin

z,

cos(z

+

2p)

=

cos

z.eiz

=

cos

z

+

i

sin

z.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)(sin

z)

=

cos

z, (cos

z)

=

-sin

z.sin2

z

+cos2

z

=1,但sin

z,cos

z不是有界函數(shù).定義

tan

z

=

sin

z

稱為正切函數(shù).cos

z性質(zhì)

(1)

tan

z

是奇函數(shù)

:

tan(-z)

=

-tan(z).(2)tan

z

是以p為周期的周期函數(shù):tan(z

+p)=tan

z.其它復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)的定義余切函數(shù)cot

z

=cos

z

,sin

z1,cos

z1正割函數(shù)secz

=.sin

z余割函數(shù)csc

z

=.cos2

z1(3)tan

z

在解析區(qū)域有(tan

z)￠=3)雙曲函數(shù)ez

-e-z2,稱為雙曲正弦函數(shù).2ez

+

e-zchz

=

,稱為雙曲余弦函數(shù).定義

shz

=性質(zhì)

(1)

sh

z

是奇函數(shù)

:

sh(-z)

=

-sh

z;ch

z

是偶函數(shù)

:

ch(-z)

=

ch

z;sh

z,ch

z都是以2pi為周期的周期函數(shù);sh

z,ch

z在z平面上處處解析,且(ch

z)

=

sh

z;(sh

z)

=

ch

z,ch2

z

-

sh2

z

=

1;sin(iz)

=

-i

sh

z,cos(iz)

=

ch

z.4）對(duì)數(shù)函數(shù)滿足方程

ew

=

z

(

z

?

0)的函數(shù)

w

=

f

(

z)稱為對(duì)數(shù)函數(shù),

記為

w

=

Ln

z.因此

w

=

Ln

z

=

ln

z

+

i

Arg

z=

ln

z

+

i

arg

z

+

2kpi

(k

=

0,–1,

–

2,).其中l(wèi)n

z

=ln

z

+i

arg

z(-p<arg

z

￡

p)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)Ln

z的主值(支),所以Ln

z

=

ln

z

+

2kpi(k

=

0,–1,–2,).稱為L(zhǎng)n

z

的一個(gè)分支.性質(zhì)

(1)

Ln

z是一個(gè)無窮多值的函數(shù)

;(2)

設(shè)z1

?

0,

z2

?

0,則對(duì)于每一個(gè)固定的

k

,

可確定一個(gè)單值函數(shù)

,=

Ln

z1

-

Ln

z2;Ln

z1z2

=

Ln

z1

+

Ln

z2

,

Ln21zz(3)在平面上除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外,ln

z處處解析,且z(ln

z)￠=

1

.5)冪函數(shù)定義

設(shè)a是任意復(fù)數(shù),

對(duì)于z

?

0,

用下列等式定義=

ea

Ln

zz

的冪函數(shù):w

=

za

(z

?

0).當(dāng)a

是正實(shí)數(shù)時(shí),補(bǔ)充規(guī)定z

=0

時(shí),za

=0.性質(zhì)

(1)

一般說來,

za

是一個(gè)無窮多值函數(shù).

當(dāng)Ln

z取主值ln

z時(shí),za

=ea

ln

z稱為冪函數(shù)za

的主值;(2)

(za

)

=

aza

-1

.三、典型例題例1

證明函數(shù)

f

(

z)

=

x

3

-

y3

i僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)

.證limzfi

0z

x

+

iyf

(z)

-

f

(0)

x3

-

y3i=

lim(

x

,

y

)fi

0=

lim (

x2

-

xyi

-

y2

)

=

0(

x

,

y

)fi

0故f

(z

)在z

=0處的導(dǎo)數(shù)為0.再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存在.

0

=

0

0

f

(z)

-

f

(z

)

x3

+

iy3

-

x3

-

iy3z

-

z0

(

x

+

iy)

-

(

x0

+

iy0

)若z沿路徑y(tǒng)

=y0

,則00z

-

z x

-

xf

(z)

-

f

(z

)

x3

-

x3

0

=

0

fi若z沿路徑x

=x0

,則00-3

y2

(當(dāng)yfi

y

)0

0

0

=

0

fiz

-

z

i(

y

-

y

)f

(z)

-

f

(z

)

-

iy3

+

iy3故除非x0

=y0

=0,否則f

(z)的導(dǎo)數(shù)不存在.003

x2

(當(dāng)x

fi

x

)例2函數(shù)f

(z)=(x2

-y2

-x)+i(2

xy

-y2

)在何處可導(dǎo)，何處解析.解u(

x,

y)

=

x2

-

y2

-

x,ux

=

2

x

-

1,

uy

=

-2

y;v(

x,

y)

=

2

xy

-

y2

,

v=

2

x

-

2

y;=

2

y

,vyxux

=

vy

,

uy

=

-vx

.2故

f

(z)

僅在直線

y

=

1

上可導(dǎo).1由解析函數(shù)的定義知,

f

(z)

在直線

y

=

2

上處處不解析,

故

f

(z)

在復(fù)平面上處處不解析.2當(dāng)且僅當(dāng)y

=1時(shí)，例3設(shè)ay3

+bx2

y

+i(x3

+cxy2

)為解析函數(shù)，求a,b,c

的值.解故設(shè)f

(z)=(ay3

+bx2

y)+i(x3

+cxy2

)=u

+ivu

=

ay3

+

bx2

y,

v

=

x3

+

cxy2?x

?y

?x

?y?u

=

2bxy,

?v

=

2cxy,

?v

=

3

x2

+

cy2

,

?u

=

3ay2

+

bx2

,由于f

(z)

解析，所以?x

?y

?y

?x?u

=

-

?v?u

=

?v

,即2bxy

=

2cxy

b

=

c,3ay2

+

bx2

=

-3

x2

-

cy2

3a

=

-c,b

=

-3a

=

1,

b

=

-3,

c

=

-3.故例4在原點(diǎn)的可導(dǎo)性.-

10

,

z

=

0e討論函數(shù)f

(z)=z2

,

z

?

01=

limz

-

0f

(

z

)

-

f

(0

)f

￠(0

)

=

limz

fi

0x

fi

0

x-1x

2e

=

0limz

fi

01e

y

2z

-

0

yif

(

z

)

-

f

(

0

)

1=

lim

=

+￥y

fi

0f

(

z

)

-

f

(

0

)

=

￥

,z

-

0

limz

fi

0故f

(z)在原點(diǎn)不可導(dǎo).函數(shù)沿z

=x

趨于0時(shí),解當(dāng)z

沿正虛軸z

=iy

趨于0時(shí)，有設(shè)z0

=x0

+iy0為z

平面上任意一定點(diǎn),f

(

z

)

-

f

(

z

0

)

=

1

+

Re(

z

-

z

0

)z

-

z

0

z

-

z

0當(dāng)點(diǎn)

z

沿直線

z

=

x

+

iy0

(-￥

<

x

<

￥

)趨于z0

時(shí),有f

(

z

)

-

f

(

z

0

)

=

1

+

x

-

x

0z

-

z

0

x

-

x

0=

2解例5

研究

f

(z)

=

z

+

Re

z

的可導(dǎo)性.f

(

z)

-

f

(

z0)

=

1

+

0z

-

z0

i(

y

-

y0

)=

1,當(dāng)點(diǎn)

z

沿直線

z

=

x0

+

iy

(-￥

<

y

<

￥

)趨于z0

時(shí),有故f

(z)在z0處不可導(dǎo)且由z0的任意性知f

(z)處處不可導(dǎo).例5

研究

f

(z)

=

z

+

Re

z

的可導(dǎo)性.例6

解方程sin

z

=

0解=

0sin

z

==2i

2ieizeiz

-

e-iz

e2iz

-

1=

1

e2iz

e2

iz

=

e2

kpi

z

=

kp.(k

=

0,

–

1,

–

2,)的值.2例7

求出(-2)解2

ln(-2)(-2)

2

=

e2[ln

2+i

(

p+2kp)]=

e=

e

2

ln

2{cos[

2(2k

+

1)p]

+

i

sin[

2(2k

+

1)p]}(k

=

0,

–

1,

–

2,)解例8

試求

(1

+

i)1-i

函數(shù)值及其主值:(1

+

=

pi)1-i

e(1-i

)

ln(1+i

)

=

e2+i

4

+2kp

(1-i

)ln

p

p

44

ln

2+

+2kp+i

+2kp-ln

2

p-

ln 2

42

+

i

sin

p

4=

e=

2e

4

cos

-

l