湖南省岳陽市國防科大附屬中學高三數(shù)學理月考試卷含解析

湖南省岳陽市國防科大附屬中學高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列中，=1，若（n≥2），則的值是（

）（A）7

（B）5

（Ｃ）30（Ｄ）31參考答案：D略2.設隨機變量的分布列為：

123

若，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.當前，某城市正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張問題．已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（A）40

（B）36

（C）30

（D）20參考答案：C4.下列命題中，假命題是(

)A．?x∈R，2x﹣1＞0 B．?x∈R，sinx=C．?x∈R，x2﹣x+1＞0 D．?x∈R，lgx=2參考答案：B【考點】特稱命題；全稱命題；命題的真假判斷與應用．【專題】簡易邏輯．【分析】1．先理解特稱命題與全稱命題及存在量詞與全稱量詞的含義，再進行判斷．2．用符號“?x”表示“對任意x”，用符號“?x”表示“存在x”．含有全稱量詞的命題就稱為全稱命題，含有存在量詞的命題稱為特稱命題．【解答】解：由指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與性質易知，?x∈R，2x﹣1＞0，故選項A為真命題．由正弦函數(shù)y=sinx的有界性知，﹣1≤sinx≤1，所以不存在x∈R，使得sinx=成立，故選項B為假命題．由x2﹣x+1=≥＞0知，?x∈R，x2﹣x+1＞0，故選項C為真命題．由lgx=2知，x=102=100，即存在x=100，使lgx=2，故選項D為真命題．綜上知，答案為B．【點評】1．像“所有”、“任意”、“每一個”等量詞，常用符號“?”表示；“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞，常用符號“?”表示．全稱命題的一般形式為：?x∈M，p（x）；特稱命題的一般形式為：?x0∈M，p（x0）．2．判斷全稱命題為真，需由條件推出結論，注意應滿足條件的任意性；判斷全稱命題為假，只需根據(jù)條件舉出一個反例即可．判斷特稱命題為真，只需根據(jù)條件舉出一個正例即可；判斷特稱命題為假，需由條件推出矛盾才行．5.(2015·廣州執(zhí)信中學期中)下列說法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．命題“x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“x0＜0，＋x0－1＜0”C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為假命題D．若“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題參考答案：D“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，故A錯；否命題既否定條件，又否定結論；而命題的否定只否定命題的結論．“x≥0，x2＋x－1<0”的否定是“x0≥0，使＋x0－1≥0”，故B錯；命題“若A，則B”的逆否命題是“若綈B，則綈A”，因此“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為“若sinx≠siny，則x≠y”，這是一個真命題；“p∨q”為真命題時，p與q中至少有一個為真命題，故選D.6.已知為偶函數(shù)，且，當時，；若，則

（

）鄉(xiāng)村

參考答案：D7.若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內存在最小值，則實數(shù)k的取值范圍是（

）.A．

B．

C．

D．參考答案：B8.若向量的夾角為120°，且，則有

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.若復數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，則在復平面內z對應的點的坐標是

A．（4，2）

B．（4，-2）

C．（2，4）

D．（2，-4）參考答案：D10.拋物線y=4ax2（a≠0）的焦點坐標是(

) A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）參考答案：C考點：拋物線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：先將拋物線的方程化為標準式，再求出拋物線的焦點坐標．解答： 解：由題意知，y=4ax2（a≠0），則x2=，所以拋物線y=4ax2（a≠0）的焦點坐標是（0，），故選：C．點評：本題考查拋物線的標準方程、焦點坐標，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在邊長為的正方形內任取一點，則點到點的距離小于的概率為

參考答案：略12.在等差數(shù)列中，給出以下結論：①恒有；②數(shù)列的前n項和公式不可能是；③若，則“”是“”成立的充要條件；④若，，則必有．其中正確的是（

）A．①②③

B．②③

C．②④

D．④參考答案：D①恒有，錯誤，例如數(shù)列：1,1,1,1,1，……；②數(shù)列的前n項和公式不可能是，錯誤，有可能是，比如數(shù)列1,1,1,1,1，……；③若，則“”是“”成立的充要條件，錯誤，例如數(shù)列：1,1,1,1,1，……；④若，，則必有，正確，因為，所以。13.已知函數(shù)

.參考答案：2

14.在等差數(shù)列中，，，則________.參考答案：9915.若函數(shù)的圖象過點（0，1），且向右平移個單位（保持縱坐標不變）后與平移前的函數(shù)圖象重合，則φ=，ω的最小值為．參考答案：，12.【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)圖象過點（0，1），求得φ的值，再由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得ω的最小正值．【解答】解：∵函數(shù)的圖象過點（0，1），∴2sinφ=1，即sinφ=，∴φ=，函數(shù)即y=2sin（ωx+）．把函數(shù)的圖象向右平移個單位（保持縱坐標不變）后，可得y=2sin[ω（x﹣）+）]=2sin（ωx﹣+）的圖象，根據(jù)所得圖象與平移前的函數(shù)圖象重合，則=2kπ，k∈Z，∴ω的最小正值為12，故答案為：，12．16.若不等式對一切非零實數(shù)均成立,記實數(shù)的取值范圍為.已知集合，集合，則集合

.參考答案：略17.若函數(shù)的解集是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2017?衡陽一模）在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an．（Ⅰ）證明數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=log2（an+1），{bn}的前n項和為Sn，求證＜2．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的性質．【分析】（Ⅰ）由an+2=3an+1﹣2an得：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），結合a1=1，a2=3，即a2﹣a1=2，可得：{an+1﹣an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，進而利用疊加法可得數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=log2（an+1）=n，則，利用裂項相消法，可得=2＜2．【解答】證明：（Ⅰ）由an+2=3an+1﹣2an得：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），又∵a1=1，a2=3，即a2﹣a1=2，所以，{an+1﹣an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．…an+1﹣an=2×2n﹣1=2n，…an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1；…（7分）（Ⅱ）bn=log2（an+1）=log22n=n，…（8分）Sn=，…（9分），所以=2＜2．…（14分）【點評】本題考查數(shù)列的概念及簡單表示法，考查等比關系的確定及等比數(shù)列的求和，考查轉化與分析推理能力，屬于中檔題．19.為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（已知高一年級共有1200名學生）（1）據(jù)圖估計該校學生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)；（2）規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀”，否則為“非優(yōu)秀”，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”．

基礎年級高三合計優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

300

0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：參考答案：解：（1）該校學生每周平均體育運動時間為；（3分）樣本中高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)為：（人；又樣本中高一的人數(shù)有120人，所以高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數(shù)為（人；（6分）（2）由題意填寫列聯(lián)表如下：

基礎年級高三合計優(yōu)秀10530135非優(yōu)秀10560165合計21090300（8分）假設該校學生的每周平均體育運動時間是否優(yōu)秀與年級無關，則，又，所以有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀”與年級有關”．（12分）20.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，（1）求A的大?。唬?）若a=7，求△ABC的周長的取值范圍．參考答案：考點：解三角形的實際應用．專題：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，結合和差的正弦公式，化簡可得結論；（2）利用余弦定理結合基本不等式，可求△ABC的周長的取值范圍．解答： 解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由題意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（當且僅當b=c時取等號），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周長的取值范圍為（14，21]．點評：本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．21.（12分）已知橢圓過點，且離心率。（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。參考答案：解析：（1）由題意橢圓的離心率

∴橢圓方程為……2分又點在橢圓上

∴橢圓的方程為（4分）（2）設由消去并整理得……6分∵直線與橢圓有兩個交點，即……8分又中點的坐標為……10分設的垂直平分線方程：在上即……12分將上式代入得

即或的取值范圍為…………（8分）22.(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點H作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當?shù)慕瞧椒志€垂直軸時，求直線的斜率；參考答案：（I）；（II）；【知識點】圓與圓錐曲線的綜合；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；拋物線的標準方程B11B12H7H8解析：（Ⅰ）∵點到拋物線準線的距離為，∴，即拋物線的