幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)

幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)6/16/20231第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日§1半群與群DEFINITION1.

設(shè)V=<S,?>是代數(shù)系統(tǒng)，?為二元運(yùn)算，如果?是可結(jié)合的，則稱V為半群。如：

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，其中+表示普通加法。(2)<Mn(R),·>是半群，其中·表示矩陣乘法。6/16/20232第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日可交換半群：半群V中的二元運(yùn)算可交換。含幺半群（獨(dú)異點(diǎn)）：半群V中的二元運(yùn)算含有幺元。子半群：半群的子代數(shù)。子獨(dú)異點(diǎn)：獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)。積半群：若V1,V2是半群，則V1V2是積半群。積獨(dú)異點(diǎn)：若V1,V2是獨(dú)異點(diǎn)，則V1V2是積獨(dú)異點(diǎn)。6/16/20233第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是可交換半群。(2)<Mn(R),·>不是可交換半群，因?yàn)榫仃嚦朔ú贿m合交換律。(1)中除了<Z+,+>外都是獨(dú)異點(diǎn)，其中普通加法的幺元是0。(2)<Mn(R),·>是獨(dú)異點(diǎn)，矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E。<Z+,+>,<N,+>都是<Z,+>的子半群，且<N,+>也是<Z,+>的子獨(dú)異點(diǎn)，但<Z+,+>不是<Z,+>的子獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)殓墼?Z，但0Z+。6/16/20234第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION2.設(shè)V1=<S1,?>,V2=<S2,*>為半群，:S1→S2，且x,yS1，有：(x?y)=(x)*(y)，則稱為半群V1到V2的同態(tài)。設(shè)V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>為獨(dú)異點(diǎn)，:S1→S2，且x,yS1，有：(x?y)=(x)*(y)，(e1)=e2，則稱為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)。6/16/20235第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE1設(shè)半群V1=<S,·>，獨(dú)異點(diǎn)V2=<S,·,>，其中，·為矩陣乘法。令：

，則TS，且T對(duì)矩陣乘法·是封閉的?！?lt;T,·>是V1=<S,·>的子半群。6/16/20236第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日在<T,·>中存在自己的幺元，因?yàn)椤?lt;T,·,>也構(gòu)成一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，但它不是V2=<S,·,>的子獨(dú)異點(diǎn)?！遃2中的幺元6/16/20237第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日令有：∴是半群V1的自同態(tài)，但不是滿自同態(tài)，且同態(tài)象為6/16/20238第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)V2=<S,·,>，還是同一個(gè)映射，根據(jù)前面的證明，對(duì)x,yS都有：(x·y)=(x)·(y)，但是而不是獨(dú)異點(diǎn)V2的幺元，∴不是獨(dú)異點(diǎn)V2的自同態(tài)。6/16/20239第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION3.設(shè)<G,?>是代數(shù)系統(tǒng)，?為二元運(yùn)算。如果?是可結(jié)合的，存在幺元eG，并且對(duì)G中的任意元素x都有x-1G，則稱G為群。如，(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群，而<Z+,+>,<N,+>不是群，因?yàn)?lt;Z+,+>中的元素都沒有逆元，而在<N,+>中只有0有逆元0。(2)<Mn(R),·>不是群，因?yàn)椴皇撬械膶?shí)矩陣都有逆矩陣。6/16/202310第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE2設(shè)G={a,b,c,e}，·為G上的二元運(yùn)算，由下表給出，不難證明G是一個(gè)群?！abceabceabcaecbbceacbae該運(yùn)算的特點(diǎn)：e為G中的幺元；·是可交換的；G中的任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素。稱這個(gè)群為Klein四元群。6/16/202311第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日一些特殊的群：交換群：群G中的二元運(yùn)算可交換。也叫阿貝爾(Abel)群。無限群：群G中有無限多個(gè)元素。有限群：群G中有有限個(gè)元素。有限群G中的元素個(gè)數(shù)叫做G的階，記作|G|。6/16/202312第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如，(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是阿貝爾群，Klein四元群也是阿貝爾群。(2)<Z,+>,<R,+>都是無限群，<Zn,>是有限群，其階是n，Klein四元群也是有限群，其階是4。6/16/202313第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理1：設(shè)G為群，則G中的冪運(yùn)算滿足(1)對(duì)xG，(x-1)-1=x.(2)對(duì)x,yG，(xy)-1=y-1x-1.(3)對(duì)xG，xnxm=xn+m.(4)對(duì)xG，(xn)m=xnm.m,n是整數(shù)。6/16/202314第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理2：設(shè)G為群，對(duì)a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解，且有唯一解。易證方程ax=b的唯一解是x=a-1b，而方程ya=b的唯一解是y=ba-1。6/16/202315第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如，S={1,2,3}，在群<P(S),>中有方程{1,2}x={1,3}，由定理2有x=a-1b={1,2}-1

{1,3}={1,2}{1,3}={2,3}。即為原方程的解。⊕

?{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}?{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

?{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}{1}?{1,2}{1,3}{2}{3}{1,2,3}{2,3}{2}{1,2}?{2,3}{1}{1,2,3}{3}{1,3}{3}{1,3}{2,3}?{1,2,3}{1}{2}{1,2}{1,2}{2}{1}{1,2,3}?{2,3}{1,3}{3}{1,3}{3}{1,2,3}{1}{2,3}?{1,2}{2}{2,3}{1,2,3}{3}{2}{1,3}{1,2}?{1}{1,2,3}{2,3}{1,3}{1,2}{3}{2}{1}?同理可知，方程y{1}={2,3}的解是y={1,2,3}。abab6/16/202316第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理3：設(shè)G為群，則G中適合消去律，即對(duì)a,b,cG，有：(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.6/16/202317第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理4：設(shè)G為有限群，則G的運(yùn)算表中的每一行（每一列）都是G中元素的一個(gè)置換，且不同的行（或列）的置換都不相同。

這就是說，在G的運(yùn)算表的每一行里。G的每個(gè)元素都出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，行不同，元素的排列順序也不同。使用這個(gè)定理可以通過運(yùn)算表很快地判斷出哪些代數(shù)系統(tǒng)G=<S,?>不是群。6/16/202318第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION4.設(shè)群<G,*>，H是G的非空子集。如果H關(guān)于G中的運(yùn)算*構(gòu)成群，則稱H為G的子群，記作H≤G。如，在群<Z,+>中，取2Z={2z|zZ}，則2Z關(guān)于加法運(yùn)算構(gòu)成<Z,+>的子群。同樣，{0}也是<Z,+>的子群。6/16/202319第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理5：設(shè)G為群，H是G的非空子集，如果對(duì)x,yH，都有xy-1H，則H是G的子群。子群判定定理如，對(duì)xG，G為群，令H={xk|kZ}，即x的所有次冪的集合。則H是G的子群?！選m,xlH，有：xm(xl)-1=xmx-l=xm-lH。稱這個(gè)子群是由元素x生成的子群，記作<x>。6/16/202320第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE3群<Z6,>（其中表示模6加法）中由2生成的子群包含2的各次冪，21=2，22=22=4，23=222=0…∴<2>={0,2,4}。同理有：<0>={0}，<1>=<5>={0,1,2,3,4,5}，<3>={0,3}，<4>=<2>={0,2,4}。6/16/202321第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日又如，設(shè)G為群，令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即C={a|aG∧xG(ax=xa)}，則C是G的子群?！遖,bC，要證明ab-1C，只要證明ab-1與G中所有的元素都可交換就行了。xG，有：(ab-1)x

=ab-1x

=ab-1((x-1)-1)=a(x-1b)-1=a(bx-1)-1

=a(xb-1)=(ax)b-1=(xa)b-1=x(ab-1)

。∴C是G的子群。稱C為群G的中心6/16/202322第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION5.在群G中如果存在aG使得G={ak|kZ}，則稱G為循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元。如，<Z,+>是循環(huán)群，其生成元是1或-1，因?yàn)槿魏握麛?shù)都可以由若干個(gè)1或若干個(gè)-1相加而得到。

<Z6,>也是循環(huán)群，其生成元是1或5，因?yàn)?,1,…,5中的每個(gè)數(shù)都可以由1或5作若干次模6加法而得到。循環(huán)群都是阿貝爾群，但阿貝爾群不一定都是循環(huán)群。6/16/202323第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日循環(huán)群生成元的判定方法：對(duì)無限階循環(huán)群G=<a>，G的生成元是a和a-1。對(duì)n階循環(huán)群G=<a>={e,a,a2,…,an-1}，G的生成元是at當(dāng)且僅當(dāng)t與n是互質(zhì)的。

<Z,+>是無限階循環(huán)群，生成元是1和-1，-1是1的加法逆元。

<Z6,>是6階循環(huán)群，1和5都與6互質(zhì)，所以1和5是生成元。

12階循環(huán)群G={e,a,…,a11}中，與12互質(zhì)的數(shù)有1,5,7,11，則G的生成元就是a,a5,a7,a11。6/16/202324第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日循環(huán)群G=<a>的子群仍是循環(huán)群。若G是無限階循環(huán)群，則G的子群除了{(lán)e}外都是無限階；N階循環(huán)群G=<a>的子群的階都是n的正因子。對(duì)于n的每個(gè)正因子d，G中只有一個(gè)d階子群，就是由an/d生成的子群。6/16/202325第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION6.設(shè)S={1,2,…,n}，S上的任何雙射函數(shù):SS構(gòu)成了S上n個(gè)元素的置換，稱為n元置換。如，S={1,2,3}，令:SS，且有(1)=2,(2)=3,(3)=1,則將1,2,3分別置換成2,3,1。此置換常被記為：6/16/202326第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日一般的n元置換可記為：n個(gè)不同元素有n!種排列方法。所以S上有n!個(gè)置換。如，{1,2,3}上有3!=6種不同的置換，即6/16/202327第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日簡(jiǎn)記法：設(shè)n元置換=(a1a2…am),m≤n，則的映射關(guān)系是：(a1)=a2,(a2)=a3,…,(am-1)=am,(am)=a1，而其它的元素a都有(a)=a，稱為m次輪換。任何n元置換都可表成不交的輪換之積。如，是{1,2,…,6}上的置換，且除了3和4這兩個(gè)保持不變的元素外，其它元素的映射關(guān)系為：(1)=6,(6)=1,(2)=5,(5)=2?！?(16)(25)6/16/202328第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日又如，也是{1,2,…,6}上的置換，且則有=(14325)。根據(jù)這種表法，{1,2,3}上的置換可記為：1=(1),2=(12),3=(13),4=(23),5=(123),6=(132)6/16/202329第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日設(shè)S={1,2,…,n}，S上的n!個(gè)置換構(gòu)成集合Sn，其中恒等置換IS=(1)Sn，在Sn上規(guī)定二元運(yùn)算?，對(duì)任意n元置換,Sn，?表示與的復(fù)合。證明Sn關(guān)于置換的復(fù)合構(gòu)成一個(gè)群。證明：(1)設(shè),Sn，與的復(fù)合?顯然也是S上的n元置換，即?Sn，∴Sn對(duì)?運(yùn)算是封閉的。(2),,Sn，顯然(?)?=?(?)，∴Sn對(duì)?運(yùn)算是可結(jié)合的。(3),Sn，有?IS=IS?=，則恒等置換IS

是Sn中的幺元，且的逆置換就是的逆元。∴Sn關(guān)于置換的復(fù)合?構(gòu)成一個(gè)群。S上的n元對(duì)稱群6/16/202330第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日

n元對(duì)稱群的任何子代數(shù)稱為n元置換群。如：S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}就是3元對(duì)稱群。因?yàn)镾3關(guān)于置換的復(fù)合運(yùn)算?不能交換，所以S3不是阿貝爾群。

S3有6個(gè)子群，即有6個(gè)3元置換群。見P135。6/16/202331第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日§2環(huán)與域DEFINITION7.設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，R為集合，+,·為二元運(yùn)算，如果(1)<R,+>為阿貝爾群；(2)<R,·>為半群；(3)乘法·對(duì)加法+適合分配律。則稱<R,+,·>是環(huán)。+可結(jié)合、可交換，存在幺元，且任何元素都有逆元?！た山Y(jié)合6/16/202332第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如：(1)<Z,+,·>,<Q,+,·>,<R,+,·>都是環(huán)。(2)<Mn(R),+,·>是環(huán)。(3)<Zn,,⊙>是模n的整數(shù)環(huán)。其中Zn={0,1,…,n-1}，和⊙分別表示模n的加法和乘法，即x,yZn，有：xy=(x+y)modnx⊙y=(xy)modn6/16/202333第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日交換環(huán)：在環(huán)<R,+,·>中，·適合交換律。含幺環(huán)：在環(huán)<R,+,·>中，·有幺元。此時(shí)，通常把+幺元記作0，·幺元記作1?？梢宰C明+的幺元恰好是·的零元。左（右）零因子：在環(huán)<R,+,·>中，若a,bR,a0,b0，但ab=0，則a為R中的左零因子。b為R中的右零因子。無零因子環(huán)：環(huán)R中既不含左零因子，也不含右零因子，即a,bR,ab=0a=0b=0.0為·的零元6/16/202334第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如：(1)<Z,+,·>,<Q,+,·>,<R,+,·>,<Zn,,⊙>都是交換環(huán)。<Mn(R),+,·>不是交換環(huán)，因?yàn)榫仃嚦朔ㄟ\(yùn)算不可交換。(2)它們都是含幺環(huán)。因?yàn)?是·的幺元，也是⊙的幺元。n階單位矩陣E是環(huán)Mn(R)的乘法幺元。(3)<Z,+,·>,<Q,+,·>,<R,+,·>都是無零因子環(huán)。而<Zn,,⊙>不一定是無零因子環(huán)。如<Z6,,⊙>中有2⊙3=0，但2和3都不是0，所以<Z6,,⊙>不是無零因子環(huán)，而<Z5,,⊙>是無零因子環(huán)。6/16/202335第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION8.若環(huán)<R,+,·>是交換、含幺、和無零因子的，則稱R為整環(huán)。若環(huán)<R,+,·>至少含有2個(gè)元素且是含幺和無零因子的，并且aR(a0)有a-1R，則稱R為除環(huán)。若環(huán)<R,+,·>既是整環(huán)，又是除環(huán)，則稱R是域。（至少含有2個(gè)元素、交換、含幺、無零因子、除0外都有逆元）6/16/202336第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如：(1)<Z,+,·>是整環(huán)但不是域。因?yàn)槌朔山粨Q，1是幺元，且不含零因子，所以是整環(huán)。但除了1之外，任何整數(shù)都沒有乘法的逆元，所以不是域。(2)<R,+,·>是域，即實(shí)數(shù)域。因?yàn)閤R，x0，有：x-1=1/xR.6/16/202337第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE4設(shè)S為下列集合，+和·為普通加法和乘法。(1)S={x|x=2n∧nZ}.(2)S={x|x=2n+1∧nZ}.(3)S={x|xZ∧x≥0}=N.(4)問S和+,·能否構(gòu)成整環(huán)？能否構(gòu)成域？為什么？6/16/202338第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日解：(1)不是整環(huán)，也不是域。因?yàn)槌朔ㄧ墼?，而1S.(2)不是整環(huán)，也不是域。因?yàn)?lt;S,+>不是群，S當(dāng)然就不是環(huán)，+的幺元是0，而0S.(3)<S,+>不是群，因?yàn)槌?以外任何正整數(shù)x的加法逆元是-x，而-xS.S當(dāng)然就不是環(huán)，更不是整環(huán)和域。6/16/202339第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日(4)S是域?！選1,x2S，有：∴S對(duì)+和·是封閉的。又∵乘法幺元1S，易證<S,+,·>是整環(huán)。∴<S,+,·>是域。6/16/202340第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理6：設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則：(1)aR，a·0=0·a=0.(2)a,bR，(-a)b=a(-b)=-(ab).(3)a,bR，(-a)(-b)=ab.(4)a,b,cR，a(b-c)=ab-ac.(b-c)a=ba-ca.在環(huán)中做加法和乘法只能遵從加法的交換律和結(jié)合律、乘法的結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律，以及此定理中所給出的算律。6/16/202341第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE5設(shè)<R,+,·>是環(huán)，a,bR，計(jì)算(a-b)2和(a+b)3.解：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ba-ab-b(-b)=a2-ba-ab+b2.(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3.冪運(yùn)算分配律及定理6(2)定理6(3)及冪運(yùn)算冪運(yùn)算分配律及冪運(yùn)算分配律及冪運(yùn)算注：乘法沒有交換律注：乘法沒有交換律6/16/202342第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日§3格與布爾代數(shù)格有兩種等價(jià)的定義：一種是從偏序集的角度給出格的定義，這種定義可以借助哈斯(Hasse)圖來表示，因而比較直觀、易于理解，這樣定義的格稱為偏序格；另一種是從代數(shù)系統(tǒng)的角度來給出格的定義，這種定義方法我們?cè)谏蠋坠?jié)的群、環(huán)的定義中已有所體會(huì)，用代數(shù)系統(tǒng)的方法定義的格稱為代數(shù)格。6/16/202343第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日布爾代數(shù)是計(jì)算機(jī)科學(xué)最重要的基礎(chǔ)理論之一，它在開關(guān)網(wǎng)絡(luò)及數(shù)字電路的設(shè)計(jì)上有廣泛深入的應(yīng)用。布爾代數(shù)是計(jì)算機(jī)科學(xué)工作者必備的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)掌握格與布爾代數(shù)的一般理論和方法。6/16/202344第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION7.設(shè)<S,≤>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，則稱S關(guān)于≤構(gòu)成一個(gè)格?？蓪⑶髙x,y}的最小上界和最大下界看成x與y的二元運(yùn)算∨和∧，即x∨y和x∧y。偏序格6/16/202345第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE6設(shè)n為正整數(shù)，Sn為n的正因子的集合，D為整除關(guān)系，則<Sn,D>構(gòu)成格。x,ySn，x∨y是x與y的最小公倍數(shù)，x∧y是x與y的最大公約數(shù)。<S8,D><S6,D><S30,D>8421123612356101530如：6/16/202346第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE7判斷下圖中偏序集是否構(gòu)成格，為什么？abcdefabdeceabdfc解：都不是格。(1)中的{a,b}沒有下界。(2)中的{b,d}有上界c和e，但沒有最小上界。(3)中的{b,c}有上界d,e,f，但沒有最小上界。(1)(2)(3)6/16/202347第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日格的對(duì)偶原理：設(shè)f是含有格中的元素以及符號(hào)=,≤,≥,∨,∧的命題，令f*是將f中的≤改寫成≥，≥改寫成≤，∨改寫成∧，∧改寫成∨所得到的命題，稱為f的對(duì)偶命題。若f對(duì)一切格為真，則f*也對(duì)一切格為真。6/16/202348第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日定理7：設(shè)<L,≤>為格，則運(yùn)算∨和∧適合交換律、結(jié)合律、冪等律和吸收律，即：(1)a,bL，有a∨b=b∨a,a∧b=b∧a.(2)a,b,cL，有(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c).(3)aL，有a∨a=a,a∧a=a.(4)a,bL，有a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.6/16/202349第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日證明：(1)a∨b和b∨a分別是{a,b}和{b,a}的最小上界，由于{a,b}={b,a}，所以a∨b=b∨a。同理可證a∧b=b∧a.(2)由最小上界的定義有：

a≤a∨(b∨c),①b≤b∨c≤a∨(b∨c),②c≤b∨c≤a∨(b∨c).③由式①和②有：a∨b≤a∨(b∨c).④再由式③和④有：(a∨b)∨c≤a∨(b∨c).同理可證：(a∨b)∨c≥a∨(b∨c).根據(jù)偏序關(guān)系的反對(duì)稱性有：(a∨b)∨c=a∨(b∨c).類似地可以證明：(a∧b)∧c=a∧(b∧c).6/16/202350第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日(3)顯然a≤a∨a，又由a≤a可得a∨a≤a。根據(jù)偏序關(guān)系的反對(duì)稱性有：a∨a=a.同理可證：a∧a=a.(4)顯然a∨(a∧b)≥a。⑤又由a≤a,a∧b≤a，可得：

a∨(a∧b)≤a.⑥由式⑤和⑥可得：a∨(a∧b)=a.同理可證：a∧(a∨b)=a.6/16/202351第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION8.設(shè)<S,*,?>是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，且對(duì)于*和?適合交換律、結(jié)合律、吸收律，則可以適當(dāng)定義S中的偏序≤，使得<S,≤>構(gòu)成一個(gè)格，且a,bS，有a∧b=a*b,a∨b=a?b.代數(shù)格只要吸收律成立，則冪等律就一定成立。證：aS，有a?a=a?(a*(a?a))=a.

同理可證a*a=a.6/16/202352第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION9.設(shè)<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)成立，則稱L為分配格。6/16/202353第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION10.在格<L,∧,∨>中存在一個(gè)元素a，bL,a≤b(或b≤a)，則稱a為格L的全下界（或全上界），記為0（或1）。具有全上界和全下界的格稱為有界格。記作<L,∧,∨,0,1>.6/16/202354第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日DEFINITION11.設(shè)<L,∧,∨,0,1>是有界格，aL，若存在bL，使得a∧b=0,a∨b=1，則稱b為a的補(bǔ)元。若格中每個(gè)元素都至少有一個(gè)補(bǔ)元，則稱這個(gè)格為有補(bǔ)格。對(duì)分配格L來說，若aL有補(bǔ)元，則一定是唯一的補(bǔ)元。6/16/202355第五十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日EXAMPLE8判斷下圖中的格是不是分配格、有補(bǔ)格？abceabdfcghaedbc??abc???01cab