分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次積分2023/6/162第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日運(yùn)用矢量力學(xué)分析非自由質(zhì)點(diǎn)系，必然會(huì)遇到約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣，能否建立不含未知約束力的動(dòng)力學(xué)方程？將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動(dòng)力虛功方程，廣義坐標(biāo)化，能量化，化為第二類(lèi)拉氏方程，實(shí)現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動(dòng)力系統(tǒng)。2023/6/163第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

一.方程的一般形式動(dòng)力學(xué)普遍方程或達(dá)朗貝爾－拉格朗日原理理想約束，不論約束完整，定常與否均適用§9-1動(dòng)力學(xué)普遍方程2.直角坐標(biāo)形式：1.矢量形式：2023/6/164第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.廣義坐標(biāo)形式設(shè)完整約束系統(tǒng)有K個(gè)自由度，可取廣義坐標(biāo).廣義主動(dòng)力廣義慣性力注意:

包含了慣性力虛功!2023/6/165第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1

圖示為離心式調(diào)速器已知：m1,m2

,l,,求：(θ)

的關(guān)系。BACllllθθ答：m1gm2gm1g2023/6/166第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2已知求a?答:2023/6/167第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日2023/6/168第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3已知重量 輪純滾,水平面光滑,求三棱柱加速度。2023/6/169第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解:加慣性力，受力如圖。選廣義坐標(biāo)。由有即(a)又由

有2023/6/1610第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日式(a)代入(b),可得令時(shí)，牽連慣性力并不為零；

令時(shí)，相對(duì)慣性力并不為零，兩者相互獨(dú)立。(b)即注意:2023/6/1611第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例4

均質(zhì)圓柱1與薄壁圓筒2用繩相連，并多圈纏繞圓筒(繩與滑輪A的重量不計(jì))。已知試求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輪心C與輪心O的加速度大小。

圖(a)2023/6/1612第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D(b)取兩輪轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，其受力與運(yùn)動(dòng)分析，如圖(b)所示，令

，由(a)有

(b)解:自由度k=22023/6/1613第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日將式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有

聯(lián)立(c)和(d)式，可得即(d)圖(b)2023/6/1614第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.本題中如何求繩的張力及圓柱純滾的條件?2.用動(dòng)力學(xué)普遍定理如何求解?3.計(jì)入滑輪A質(zhì)量,結(jié)果有何變化?圖(b)思考2023/6/1615第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

不便計(jì)算，拉格朗日方程利用兩個(gè)經(jīng)典微分關(guān)系。將能量化從而導(dǎo)出拉氏方程。

§9-2拉格朗日方程對(duì)于完整的約束系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)普遍方程的廣義坐標(biāo)形式為1)

“同時(shí)消點(diǎn)”2)“交換關(guān)系”（求導(dǎo)）

2023/6/1616第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、拉氏方程的一般形式第二類(lèi)拉氏方程，以t為自變量，為未知函數(shù)的二階常微分方程組，2k個(gè)積分常量，須2k個(gè)初始條件2023/6/1617第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日OARrM例1

均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m1、可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng),大齒輪半徑為R，小齒輪質(zhì)量為m2，半徑為r

，其上作用一常力偶M，設(shè)機(jī)構(gòu)處于水平面。求：該桿的運(yùn)動(dòng)方程。答：2023/6/1618第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2已知：m1,m2,R,f,F。求：板的加速度a。FCR答：Oxx2023/6/1619第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解:本系統(tǒng)為完整約束，主動(dòng)力非有勢(shì)，采用基本形式的拉氏方程求解。例３.

如圖所示，鉸盤(pán)半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上作用力偶矩為M的力偶，重物質(zhì)量分別為不計(jì)摩擦與滑輪質(zhì)量，求鉸盤(pán)的角加速度①判斷系統(tǒng)的自由度，取廣義坐標(biāo)。本題中，

，取

為廣義坐標(biāo)，2023/6/1620第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日②計(jì)算系統(tǒng)的T與則有2023/6/1621第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日③代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。代入中，得(a)代入

中，得(b)④解方程，求加速度。，得2023/6/1622第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、勢(shì)力場(chǎng)中的拉氏方程

若主動(dòng)力有勢(shì)則有

引入拉格朗日函數(shù)注意到2023/6/1623第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例１.圖示兩均質(zhì)圓輪沿斜面純滾，均質(zhì)桿AB與兩輪心鉸接。已知試求系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程及圓頻率。

2023/6/1624第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日，代入拉氏方程

中，有

解:系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標(biāo)。平衡位置為零勢(shì)能位置，則任意x位置時(shí)，系統(tǒng)的拉氏函數(shù):2023/6/1625第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日與簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程對(duì)比可知振動(dòng)圓頻率

即

為所求微分方程。

2023/6/1626第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例２與剛度為k

的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動(dòng)?；瑝KA上又連一單擺，擺長(zhǎng)l，擺錘質(zhì)量為m2

，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。答：2023/6/1627第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例３如圖所示，物A重為Ｇ１，物B重為Ｇ２，彈簧剛度系數(shù)為k，其O端固定于物A上，另一端與物B相連。系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦與彈簧質(zhì)量，且彈簧在初瞬時(shí)無(wú)變形，試求運(yùn)動(dòng)中物A的加速度。2023/6/1628第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：系統(tǒng)處于勢(shì)力場(chǎng)中，自由度為2，取A的絕對(duì)位移，B的相對(duì)位移(彈簧的絕對(duì)伸長(zhǎng)量)為廣義坐標(biāo)。取系統(tǒng)的初始位置為零勢(shì)能位置。在任意時(shí)刻t,2023/6/1629第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日將以上各項(xiàng)代入下列拉氏方程得

(a)(b)2023/6/1630第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日由式(a)和式(b)消去，得

(c)其中由式(c)解得由

時(shí)，

，得

故(d)

2023/6/1631第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得率為。

順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對(duì)于物A作在常力作用下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為，固有頻2023/6/1632第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考：本題中，a)如何求A，B兩物塊所受光滑面的約束力?b)若初瞬時(shí)彈簧有一初始伸長(zhǎng)結(jié)果有何變化?

c)試用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)能定理求解本例，并比較各種方法特點(diǎn)。2023/6/1633第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§9.3拉格朗日方程的初積分

拉氏方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階非線性常微分方程,尋求其解析解通常是十分困難的。但對(duì)于保守系統(tǒng)，在某些條件下，可經(jīng)首次積分降為一階，從而使得保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程進(jìn)一步簡(jiǎn)化。且具有明顯的物理意義。

循環(huán)坐標(biāo)－如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)qr

,則該坐標(biāo)稱(chēng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)。一、廣義動(dòng)量積分

保守系統(tǒng)拉格朗日方程的初積分包括：廣義動(dòng)量積分、廣義能量積分。2023/6/1634第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是拉氏方程成為稱(chēng)為循環(huán)積分稱(chēng)為廣義動(dòng)量，因此循環(huán)積分也可稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義動(dòng)量積分。保守系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于循環(huán)坐標(biāo)的廣義動(dòng)量守恒。2023/6/1635第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.廣義能量積分廣義能量積分

保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t時(shí)，保守系統(tǒng)的廣義能量守恒。

當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時(shí)，系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2023/6/1636第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

一個(gè)系統(tǒng)循環(huán)積分可能不止一個(gè)，有幾個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，便有幾個(gè)相應(yīng)的循環(huán)積分；但能量積分只可能有一個(gè)。

循環(huán)積分和能量積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。2023/6/1637第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例１質(zhì)量為m半徑為r的圓環(huán)在圓心A上鉸接一長(zhǎng)度為l質(zhì)量亦為m的單擺B如圖示。試就以下兩種情況討論其拉格朗日方程的初積分：（1）圓環(huán)作純滑動(dòng)；（2）圓環(huán)作純滾動(dòng)。答：(1)圓環(huán)作純滑動(dòng)

AxOφ(2)圓環(huán)作純滾動(dòng)

2023/6/1638第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例２均質(zhì)輪與均質(zhì)桿質(zhì)量均為m，輪半徑為r，桿長(zhǎng)l。若桿由水平靜止釋放，輪純滾。求時(shí)及。選x和θ為廣義坐標(biāo)。2023/6/1639第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日故有循環(huán)積分，常數(shù)(初始為0)又約束定常、完整、理想、且系統(tǒng)保守。即(b)x方向廣義動(dòng)量守恒，并非系統(tǒng)x方向動(dòng)量守恒。故常數(shù)2023/6/1640第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日時(shí)，(a)，(b)兩式為解之得1.若接觸平面光滑(f=0)，結(jié)果如何?2.若左邊連接一水平彈簧(k)，結(jié)果又如何?3.能否用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解?2023/6/1641第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3

如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的勻質(zhì)輪在質(zhì)量為、半徑為R的薄壁筒內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，設(shè)OC與重力方向夾角為，起始時(shí)系統(tǒng)靜止。試求運(yùn)動(dòng)中圓筒轉(zhuǎn)角與的關(guān)系。

2023/6/1642第四十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)保守且約束完整、定常，自由度為2，取與為廣義坐標(biāo)。設(shè)圓輪角速度為，由，有。

因L不含(為循環(huán)坐標(biāo))，故相應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒，并考慮到時(shí)，設(shè)O為零勢(shì)能位置，