專題提升以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明

專題提升(十)以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明類型之一以等腰三角形為背景的計(jì)算與證明【教材原型】

把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形.你能辦到嗎？請(qǐng)畫示意圖說明剪法.(浙教版八上P64作業(yè)題第6題)

解：如答圖，作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn) D.

在BA上截取BE＝BD，連結(jié)ED，則沿虛線BD， DE剪兩刀，分成的三個(gè)三角形都是等腰三角形．教材原型答圖【思想方法】等腰三角形的性質(zhì)常與角平分線、線段的垂直平分線結(jié)合在一起證明線段相等，或者與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合在一起求角度，或者通過列方程或方程組解決等腰三角形中關(guān)于邊的計(jì)算．【中考變形】1．如圖Z10－1，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC＝_______.圖Z10－145°【解析】

∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°.又∵AB＝AC，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵BE⊥AC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF＋∠CBE＝22.5°＋22.5°＝45°.2．[2015·河北]如圖Z10－2，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；

再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；

再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3； …

這樣畫下去，直到得第n條線段，

之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝______.圖Z10－29【解析】由題意可知，AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，當(dāng)n＝9時(shí)，底角為81°，當(dāng)n＝10時(shí)，底角為90°，不能構(gòu)成三角形，故答案為9.3．[2016·菏澤]如圖Z10－3，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE. (1)如圖①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，

①求證：AD＝BE，

②求∠AEB的度數(shù)；解：(1)①證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.圖Z10－3在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；∵∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，【中考預(yù)測(cè)】

如圖Z10－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分線，E是BC上一點(diǎn)，且BD＝BE.求∠DEC的度數(shù)．圖Z10－4類型之二以直角三角形為背景的計(jì)算與證明【教材原型】

已知：如圖Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且BF＝AC，DF＝DC.求證：BE⊥AC.(浙教版八上P82作業(yè)題第5題)圖Z10－5證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，又∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.【思想方法】

直角三角形角之間的聯(lián)系在幾何計(jì)算與證明中應(yīng)用廣泛，常與三角形全等知識(shí)結(jié)合使用．【中考變形】1．[金華中考]如圖Z10－6，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連結(jié)AA′，若∠1＝20°，則∠B的度數(shù)是 (

) A．70°B．65°C．60°D．55°圖Z10－6B【解析】

∵Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠B＝∠A′B′C＝65°.2．[2016·濟(jì)寧]如圖Z10－7，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點(diǎn)H，

請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)條件______________________，

使△AEH≌△CEB. 【解析】該題為開放型題，根據(jù)垂直關(guān)系，可

以找出△AEH與△CEB的兩對(duì)相等的對(duì)應(yīng)角，只

需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等就可以了．圖Z10－7AE＝CE(答案不唯一)∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B，∴∠B＝∠AHE.∴根據(jù)AAS添加AH＝CB或AE＝CE；根據(jù)ASA添加EH＝EB，可證△AEH≌△CEB.故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一，合理即可)．3．如圖Z10－8，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC

＝90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，

且BE＝BD，連結(jié)AE，DE，DC. (1)求證：△ABE≌△CBD； (2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．

解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，

∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，

∴∠ABE＝∠CBD.圖Z10－8∴△ABE≌△CBD(SAS)；(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.由(1)知∠BDC＝∠BEA，∴∠BDC＝75°.4．[2016·蘇州二模]如圖Z10－9，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)． (1)求證：△ACE≌△BCD； (2)若DE＝13，BD＝12，求線段AB的長(zhǎng)．圖Z10－9解：(1)證明：∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.5．[重慶中考]如圖Z10－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)CF，且∠ACF＝∠CBG.求證： (1)AF＝CG； (2)CF＝2DE.圖Z10－10證明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝CB，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；中考變形5答圖(2)如答圖，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G為BD中點(diǎn)，∠D＝∠EGC，∵E為AC中點(diǎn)，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(ASA)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.【中考預(yù)測(cè)】

一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)：

如圖Z10－11，已知在Rt△ABC中，AB＝ BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于點(diǎn)O.點(diǎn)P， D分別在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC

于點(diǎn)E.求證：△BPO≌△PDE. (1)理清思路，完成解答：本題證明的思路

可以用下列框圖表示：圖Z10－11根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程；(2)特殊位置，證明結(jié)論：若BP平分∠ABO，其余條件不變，求證：AP＝CD；(3)知識(shí)遷移，探索新知：若P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系(不必寫解答過程)．解：(1)證明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°.∵BO⊥A