新教材2023版高中數(shù)學(xué)章末質(zhì)量檢測一數(shù)列北師大版選擇性必修第二冊

章末質(zhì)量檢測(一)數(shù)列一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．－401是等差數(shù)列－5，－9，－13…的第()A．98項B．99項C．100項D．101項2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a5＋a9＝50，a4＝13，則S10＝()A．170B．190C．180D．1893．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶34．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝－2n－1B．a(chǎn)n＝2n－1C．a(chǎn)n＝2n－3D．a(chǎn)n＝2n－1－25．在正項等比數(shù)列{an}中，若3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a2018－a2019,a2016－a2017)＝()A．3或－1B．9或1C．3D．96．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列．若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為()A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺7．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，則{bn}的前10項之和為()A．eq\f(4,13)B．eq\f(5,13)C．eq\f(8,39)D．eq\f(10,39)8．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1＞0，a2020＋a2021＞0，a2020·a2021＜0，則滿足Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．4039B．4040C．4041D．4042二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)首項a1和d變化時，a3＋a8＋a13是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的有()A．a(chǎn)7B．a(chǎn)8C．S15D．S1610．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日確診病例變化曲線如圖所示．若該地這段時間的新冠肺炎每日的確診人數(shù)按日期先后順序構(gòu)成數(shù)列{an}，{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an}的最大項為a11D．?dāng)?shù)列{Sn}的最大項為S1111．已知遞減的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝S9，則()A．a(chǎn)7＞0B．S7最大C．S14＞0D．S13＞012．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，則稱數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)7＝13B．a(chǎn)1＋a3＋a5＋……＋a2019＝a2020C．S7＝54D．a(chǎn)2＋a4＋a6＋……＋a2020＝a2021三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，eq\f(an＋1,3)＝eq\f(an,3)＋1，則an＝____________．14．我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》有“分錢問題”：今有與人錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？意思是：將錢分給若干人，第一人給3錢，第二人給4錢，第三人給5錢，以此類推，每人比前一人多給1錢，分完后，再把錢收回平均分給各人，結(jié)果每人分得100錢，問有多少人？則題中的人數(shù)是________．15．已知－7，a1，a2，－1四個實數(shù)成等差數(shù)列，－4，b1，b2，b3，－1五個實數(shù)成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________．16．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝－7，S3＝－15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.18．(本小題滿分12分)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.19．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a7－a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，若Sn＝eq\f(2,25)，求n的值．20．(本小題滿分12分)已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an)＋2log2an－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.21．(本小題滿分12分)在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，a1＝2，且滿足Sn＝eq\f(1,2)an＋1＋n，(n∈N*).(1)證明：n≥2，n是整數(shù)時，數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(4n－2)an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.章末質(zhì)量檢測(一)數(shù)列1．解析：等差數(shù)列－5，－9，－13…中，a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4∴an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，令－401＝－4n－1，得n＝100，∴－401是這個數(shù)列的第100項．故選C.答案：C2．解析：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，∵a5＋a9＝50，a4＝13，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋12d＝50,a1＋3d＝13))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))∴S10＝10×1＋eq\f(10×（10－1）,2)×4＝190，故選B.答案：B3．解析：在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.答案：A4．解析：∵Sn＝2an＋1，∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，化為：an＝2an－1.n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2∴an＝－2n－1，故選A.答案：A5．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，因為3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，故a3＝3a1＋2a2?a1q2＝3a1＋2a1q?q2－2q－3＝0?(q－3)(q＋1)＝0.因為q>0故q＝3.故原式＝eq\f(（a2016－a2017）q2,a2016－a2017)＝q2＝9.故選D.答案：D6．解析：∵冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列．冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長分別為an(n＝1，2，3，…，12)，則{an}是等差數(shù)列，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋2d）＋（a1＋4d）＝40.5,a1＋11d＝4.5))，解得a1＝15.5.則冬至的日影子長為15.5尺．故選D.答案：D7．解析：數(shù)列{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，∴bn＝eq\f(1,n2＋5n＋6)＝eq\f(1,（n＋2）（n＋3）)＝eq\f(1,n＋2)－eq\f(1,n＋3)，∴{bn}的前10項之和為：S10＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,12)－eq\f(1,13)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,13)＝eq\f(10,39).故選D.答案：D8．解析：∵等差數(shù)列{an}滿足，首項a1＞0，a2020＋a2021＞0，a2020·a2021＜0，∴等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減，a2020＞0，a2021＜0，∵S4040＝eq\f(4040（a1＋a4040）,2)＝2020(a2020＋a2021)＞0，S4041＝eq\f(4041（a1＋a4041）,2)＝4041a2021＜0，則滿足Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4040.故選B.答案：B9．解析：由等差中項的性質(zhì)可得a3＋a8＋a13＝3a8為定值，則a8為定值，S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8為定值，但S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)不是定值．故選BC.答案：BC10．解析：因為12月27日新增確診人數(shù)小于12月26日新增確診人數(shù)，即a7＞a8，所以{an}不是遞增數(shù)列，所以A錯誤；因為1月22日新增確診病例為0，即S33＞S34，所以{Sn}不是遞增數(shù)列，所以B正確；因為12月31日新增確診病例最多，從12月20日算起，12月31日是第11天，所以數(shù)列{an}的最大項是a11，所以C正確；數(shù)列{Sn}的最大項是最后一項，所以D錯誤，故選BC.答案：BC11．解析：∵遞減的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝S9，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d<0,5a1＋\f(5×4,2)d＝9a1＋\f(9×8,2)d))，解得a1＝－eq\f(13,2)d，故a7＞0，S13＞0，S14＜0，∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－eq\f(13,2)nd＋eq\f(n2,2)d－eq\f(n,2)d＝eq\f(1,2)d(n2－14n)＝eq\f(1,2)d(n－7)2－eq\f(49,2)d∴當(dāng)n＝7時，Sn取最大值．故選ABD.答案：ABD12．解析：因為a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，所以a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8，a7＝a6＋a5＝13，所以A正確；S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，所以C不正確；a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a1＋a2＋a1＋a4＋a3＋…＋a2018＋a2017＝a1＋S2018＝1＋S2018，又因為an＋2＝an＋1＋an＝an＋an－1＋an－1＋an－2＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－3＋an－4＝…＝Sn＋1，所以a2020＝S2018＋1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2019，所以B正確；a2＋a4＋a6＋…＋a2020＝a2＋a3＋a2＋a5＋a4＋…＋a2019＋a2018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2019＝S2019，因為S2019＋1＝a2021，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2020≠a2021，所以D不正確．故選AB.答案：AB13．解析：a1＝1，eq\f(an＋1,3)＝eq\f(an,3)＋1，則an＋1＝an＋3，∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.答案：3n－214．解析：設(shè)共有n人，根據(jù)題意得3n＋eq\f(n（n－1）,2)＝100n，解得n＝195，所以一共有195人．答案：19515．解析：由題意知a2－a1＝eq\f(－1－（－7）,3)＝2，beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(－4)×(－1)＝4.又因為b2是等比數(shù)列中的第三項，所以b2與第一項同號，即b2＝－2，所以eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(2,－2)＝－1.答案：－116．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝－10，所以a3＝－2，又因為a2＝－3，所以d＝a3－a2＝1，所以a1＝a2－d＝－4，a5＝a3＋2d＝0，Sn＝－4n＋eq\f(1,2)n(n－1)＝eq\f(1,2)n2－eq\f(9,2)n＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(81,8)，又n∈N*，故當(dāng)n＝4或5時，Sn取得最小值－10.答案：0－1017．解析：(1)依題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為S3＝3a2＝－15，所以a2＝－5，又a1＝－7，所以公差d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－7＋2(n－1)＝2n－9.(2)由(1)知a1＝－7，d＝2，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－7n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n(n－8).18．解析：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f(1－（－2）n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.19．解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因為a7－a2＝10，所以5d＝10，解得d＝2.因為a1，a6，a21依次成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5.所以an＝2n＋3.(2)由(1)知bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,（2n＋3）（2n＋5）)，所以bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋3)－\f(1,2n＋5)))，所以Sn＝eq\f(1,2)[(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))＋…＋(eq\f(1,2n＋3)－eq\f(1,2n＋5))]＝eq\f(n,5（2n＋5）)，由eq\f(n,5（2n＋5）)＝eq\f(2,25)，得n＝10.20．解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵a1，a2，a3－2成等差數(shù)列，a1＝2，∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，∴q＝eq\f(a3,a2)＝2，∴an＝a1qn－1＝2n(n∈N*)(2)bn＝eq\f(1,an)＋2log2an－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＋2log22n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＋2n－1則Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＋[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3]＋[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋5]＋…＋[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＋(2n－1)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(3)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)))＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＋eq\f(n[1＋（2n－1）],2)＝n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＋1(n∈N*)21．解析：方案一：選條件①.設(shè){bn}的公比為q，則q3＝eq\f(b5,b2)＝－27，即q＝－3.所以bn＝－(－3)n－1.從而a5＝b1＝－1，a2＝b1＋b3＝－10，由于{an}是等差數(shù)列，所以an＝3n－16.因為Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2等價于ak＋1<0且ak＋2>0，所以滿足題意的k存在時，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（k＋1）－16<0，,3（k＋2）－16>0，))即k＝4.方案二：選條件②.設(shè){bn}的公比為q，則q3＝eq\f(b5,b2)＝－27，即q＝－3，所以bn＝－(－3)n－1.從而a5＝b