高等代數(shù)第二學(xué)期題庫

PAGE第二學(xué)期高等代數(shù)試題庫一、單項(xiàng)選擇題第六章：線性空間1．下面集合對于所定義的線性運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上線性空間的是【】(A)次數(shù)等于n(n的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；(B)設(shè)A是一個實(shí)矩陣，A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(C)平面上不平行于某一向量的全體向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；(D)平面上全體向量所成的集合，對于向量的加法和如下數(shù)量乘法：2．實(shí)數(shù)域R上線性空間的維數(shù)【】(A)；(B)；(C)；(D)3．設(shè)均為維列向量，是矩陣，下列選項(xiàng)正確的是【】（A）若線性相關(guān)，則線性相關(guān).（B）若線性相關(guān)，則線性無關(guān).（C）若線性無關(guān)，則線性相關(guān).（D）若線性無關(guān)，則線性無關(guān). 4．實(shí)數(shù)域R上線性空間的維數(shù)為【】其中，，(A)4；(B)2；(C)3；(D)15．在中，向量在基，，，下的坐標(biāo)【】(A);(B)(C);(D)6．的解空間的維數(shù)【】(A)4；(B)2；(C)3；(D)17．全體正實(shí)數(shù)R，當(dāng)加法與數(shù)量乘法定義為（）時，該集合是向量空間【】(A)普通加法和數(shù)乘;(B)(C);(D)8．中全體對稱矩陣作成的數(shù)域P上的空間的維數(shù)【】；；；9.平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：，是否為線性空間？【】(A)是；(B)否；(C)不確定；(D)當(dāng)時，是10．實(shí)數(shù)域上由矩陣A的全部實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間V，其中A=，，則V的維數(shù)與一組基【】(A)(B)(C)(D)11．的過渡矩陣【】(A)(B);(C);(D)12.下面集合對于所定義的線性運(yùn)算不能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上線性空間的【】(A)階實(shí)對稱矩陣的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(B)A是一個實(shí)矩陣,A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(C)平面上不平行于某一向量的全體向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；(D)階實(shí)上三角矩陣的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；13.設(shè)P是數(shù)域，表示數(shù)域P上的所有矩陣的集合，對于矩陣的加法及數(shù)乘運(yùn)算，是上的線性空間，令V=,則V的維數(shù)【】(A)7;(B)8;(C)9;(D)614．如果U和W是線性空間V的維數(shù)相等的子空間，且子空間的維數(shù)分別是8和2，則U的維數(shù)等于【】(A)4；(B)5；(C)3；(D)215．在中，向量在基,，，下的坐標(biāo)【】(A);(B)(C);(D)16．由向量生成的子空間與由向量生成的子空間的交的基和維數(shù)分別為【】(A)；(B)；(C)無，0；(D)17．與對角矩陣可交換的矩陣全體構(gòu)成的集合關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成（），且維數(shù)為()【】(A)線性空間，2；(B)線性空間，4；(C)線性空間，3；(D)線性空間，1；18．全體正實(shí)數(shù)R，加法與數(shù)量乘法定義為，該集合是向量空間,則它的零元素和維數(shù)【】(A)1,2;(B)0,1；(C)1,2;(D)1,119．由生成的子空間的維數(shù)為【】(A)1；(B)2；(C)3；(D)420.在中，由基到基的過渡矩陣【】21．實(shí)數(shù)域上由矩陣A的全部實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間V，其中A=V的一組基是則在該基下的坐標(biāo)【】(A)(B)(3,1,0)；(C)(1,1,0);(D)(0,1，0)22．在空間中，向量組的極大線性無關(guān)組【】；；23.設(shè)V是數(shù)域P上一個線性空間，是V的子空間，則下列結(jié)論等價的有幾個？是直和；(2)零元素表示唯一；【】(A)5；(B)4;(C)3;(D)2。24.設(shè)和為兩個六維向量組，若存在兩組不全為零的數(shù)和，使，則【】(A)和都線性相關(guān);(B)和都線性無關(guān);(C)線性相關(guān);(D)線性無關(guān);25.下面實(shí)數(shù)域上線性空間中同構(gòu)的有幾個？【】(1)次數(shù)小于的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；(2)實(shí)對角矩陣的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(3)實(shí)對稱矩陣的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(4)實(shí)反對稱矩陣的全體,對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(A)4;(B)3;(C)2;(D)026.次數(shù)小于的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的線性空間中，向量組的秩【】(A)3;(B)2;(C)1;(D)427.如果U和W是線性空間V的維數(shù)分別為1和2的子空間，且子空間為直和，則的維數(shù)分別是()和()【】(A)3,1;(B)2,1;(C)3,0;(D)2,228.如果U和W是同構(gòu)的有限維線性空間，則【】(A)維(U)=維(V);(B)維(U)<維(V);(C)維(U)>維(V);(D)維(U)=維(V)+129.次數(shù)小于4的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體,對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的線性空間中，1,到1,的過渡矩陣【】(A);(B);(C);(D)30．在該基下的坐標(biāo)為【】(A)(B);(C);(D)二、填空題1.中全體反對稱矩陣作成的數(shù)域P上的線性空間V,則V的一組基=（）2.中全體對稱矩陣作成的數(shù)域P上的線性空間V,則給出V的一組基（），在該基下的坐標(biāo)（）3.中全體上三角矩陣作成的數(shù)域P上的線性空間V,則維(V)=（）4．分別時數(shù)域P上的齊次線性方程組與的解空間，則=()5.已知向量組所生成的向量空間的維數(shù)是2，則()6.分別是R上線性空間V的有限維子空間，維維，維，則維()7.中全體對稱矩陣作成的數(shù)域R上的線性空間V,則向量組的秩（）8．在中，基到基的過渡矩陣是9．設(shè)A為n階實(shí)矩陣，且秩A=r,,W是的子空間，W的維數(shù)（）三、計(jì)算題（每題10分）1、（10分，中）實(shí)數(shù)域上由矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間V，其中求V的維數(shù)。2、（10分，基礎(chǔ)）設(shè)，求在中全體與A可交換的矩陣組成的子空間的維數(shù)和一組基。四、證明題（每題10分）1、（10分，基礎(chǔ)）設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，是V的子空間，則是直和的充要條件是：如果，則。2、（10分，基礎(chǔ)）設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，是V的子空間，則是直和的充要條件是：維+維=維()3、（10分，難）（1）證明：在中，多項(xiàng)式是一組基，其中是互不相等得數(shù)；（2）在1）中，取是全體次單位根求由基到基的過渡矩陣。4、（10分，基礎(chǔ)）設(shè)P是數(shù)域，在中，令證明：均為的子空間；求，的維數(shù)和一組基。5、（10分，難）證:設(shè),且關(guān)于乘法兩兩可交換,且滿足,設(shè)方程的解空間為的解空間分別為,證:。6、（10分，難）設(shè)分別是齊次線性方程組Ax=0,Bx=0的解空間，證明：只有零解。7、（10分，基礎(chǔ)）如果是線性空間中三個互素的多項(xiàng)式，但其中任意兩個都不互素，那么它們線性無關(guān)。8、（10分，基礎(chǔ)）設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，是V的子空間，則是直和的充要條件是：第七章：線性變換1．設(shè)是4維線性空間V一組基，線性變換A在這組基下的矩陣，則A的零度和秩分別為【】(A)2,3；(B)2,4；(C)3,3；(D)2,22．，在基下的矩陣為【】(A)(B)(C)(D)3．相似于對角矩陣，則=（）【】(A)0；(B)1；(C)2；(D)34．4階矩陣A的特征值是1，2，3，4，則【】(A)384；(B)360；(C)254；(D)-3845．階矩陣A具有個線性無關(guān)的特征向量是A與對角矩陣相似的【】(A)充分必要條件;(B)充分而非必要條件;(C)必要而非充分條件;(D)既非充分也非必要條件。6．是線性無關(guān)的3維列向量，A線性變換滿足，則【】(A)自同構(gòu)映射；(B)非可逆映射；(C)非線性映射；(D)以上都不對7．設(shè)2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于【】8.設(shè)1，2，3是A的特征值，則矩陣【】(A)(B)(C)(D)9．設(shè)階方陣A任意一行的個元素之和都是，則A有一個特征根【】(A)a;(B)-a;(C)0;(D)a的倒數(shù);10.，且A的特征值為1，2，3，則【】(A)(B)3;(C)4;(D)11.有一個特征向量，則【】(A)(B)(C)(D)12.階矩陣A具有個不同的特征值是A與對角句陣相似的(A)充分必要條件;(B)充分而非必要條件;(C)必要而非充分條件;(D)既非充分也非必要條件。13．在空間中，設(shè)變換為A：,在基下的矩陣【】(A)E；(B);(C)0;(D)14.是線性無關(guān)的3維列向量，線性變換滿足,，則A的零度【】(A)0；(B)1；(C)2；(D)315.是線性無關(guān)的2維列向量，，則A的非零特征值【】(A)1;(B)2;(C)3;(D)416．是線性無關(guān)的3維列向量，線性變換A滿足,則在基底下的坐標(biāo)為【】(A)；(B；(C)；(D)17．與相似，()【】(A)11;(B)17;(C);(D)2518．設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則線性無關(guān)的充分必要條件是【】（A） ;（B）;（C）;D）；19．n階矩陣A和B有相同的特征值，且都有n個線性無關(guān)的特征向量，則不成立是【】(A)與相似(B)(C)(D)A與B有相同的特征向量20．則線性變換的特征多項(xiàng)式是【】(A)(B)(C)(D)21．是線性無關(guān)的4位列向量，線性變換A滿足：,則A的特征值=【】(A)2,2,2,2;(B)1,2,1,4；(C)1,2,3,4；(D)3,3,3,322．相似，則和分別為【】(A)5,50;(B)17,70;(C),50;(D)15,6023．設(shè)3維線性空間V上的線性變換在基下的矩陣為,則在基下的矩陣【】(A)(B)(C)(D)24．【】(A)1；(B)0；(C)2；(D)325.已知的一個特征值為3，則【】(A)0；(B)1；(C)2；(D)326、已知,則【】(A)6；(B)0；(C)1；(D)827.已知三階矩陣A的特征值為，則下列結(jié)論中不正確的是【】(A)矩陣A是不可逆的;(B)矩陣A的主對角元素之和為0;(C)1和-1所對應(yīng)的特征向量是正交的;(D)的基礎(chǔ)解系有一個向量組成;28.A是3階可逆矩陣，它的特征多項(xiàng)式則【】(A)(B)(C)(D)29.下面結(jié)論正確的是【】(A)n階方陣A有個互不相同的特征值，則它一定可逆；(B)n階方陣A有個互不相同的特征值，則它一定不可逆；；(C)n階方陣A有個互不相同的特征值，則它一定不相似于對角矩陣；(D)n階方陣A有個互不相同的特征值，則它一定相似于對角矩陣；30．已知3階方陣A的三個特征值為4，5，6，則【】(A)120;(B)0;(C)100;(D)11031.設(shè)A為三階方陣，為其三個特征值，對應(yīng)特征向量依次為，若令，則等于【】(A);(B);(C);(D)32．中，，則為【】(A)不可逆線性變換；(B)非自同構(gòu)映射；(C)自同構(gòu)映射；(D)以上都不對33.是線性無關(guān)的3維列向量，線性變換A滿足，則A的秩【】(A)0；(B)1；(C)2；(D)334．4階矩陣A的特征值是1，2，3，4，則與矩陣()相似【】(A)；(B)；(C)；(D)E35．已知中線性變換在基下的矩陣是，則在基下的矩陣【】(A)(B)(C)（D）036．設(shè)A為n階矩陣,|A|≠0,若A的每行元素之和均為a(a≠0),則數(shù)()一定是矩陣3E+的特征值【】(A)；(B)a；(C)；(D)37．，AP=PB,則【】(A)1(B)0；(C)-8；(D)838．相似于對角矩陣，則=(),b=()【】(A)a=1,b=4；(B)a=1,b=6；(C)a=2,b=8；(D)a=3;b=839．實(shí)數(shù)域R上線性空間其中,，，,則核【】(A)；(B)；(C)；(D){0}40．4階矩陣A的特征值是1，2，3，4，則【】(A)0；(B)36；(C)25；(D)3841．是線性無關(guān)的3維列向量，線性變換A滿足：【】(A)；(B)0；(C)；(D)42．設(shè)是線性空間V的子空間，且，分別是的基底，線性變換滿足，則【】(A)是自同構(gòu)映射；(B)維()=1；(C)維()=2；(D)43.在中，定義如下.在基下的矩陣【】(A)；(B)；(C)0；(D)E44.設(shè)階方陣A任意一行的個元素之和都是1，則A有一個特征向量【】(A)(B)(C)(D)45.有解向量，則下列結(jié)論成立的是【】(A)是A屬于特征值1的特征向量；(B)是A屬于特征值1的特征向量；(C)是A屬于特征值0的特征向量；(D)是A屬于特征值0的特征向量；46．的基是線性變換，在基下的矩陣是【】47.設(shè)V是數(shù)域K上n維線性空間，是V上的一個線性變換，滿足，A為在某組基下的矩陣，，=【】(A)(B)0;(C)2;(D)148.已知3階方陣A的三個特征值為4，5，6，則【】(A)E；(B)A；(C)；(D)049.設(shè)A，B，C，D是同階方陣，且A與B相似，C與D相似，則【】相似；相似；相似；相似；50.中任何非零向量都是n階實(shí)矩陣A的特征向量，則【】（A）A=E ;（B）;（C）A=0 ;(D）A必可逆 51.設(shè)V是復(fù)數(shù)域P上一個線性空間，線性變換的特征多項(xiàng)式無重根，則在某祖基下的矩陣是【】(A)對稱矩陣;(B)上三角矩陣;(C)對角矩陣;(D)可逆矩陣52．已知，A的一個特征值為3，則A與()相似且合同【】53.設(shè)V是向量空間，是V上線性變換，則它們像空間維數(shù)相同的充要條件是【】（A）都是可逆變換；（B）的核空間相同；（C）的像空間相同；（D）在任意一組基下的表示矩陣的秩相同。54.設(shè)A為三階方陣，為其三個特征值，則的秩【】(A)1;(B)3;(C)2;(D)055.設(shè)A、B為n階方陣，則【】(A)A與B均不可逆的充要條件是AB不可逆;(B)與均成立的充要條件是;(C)與同解的充要條件是A與B為等價矩陣;(D)A與B相似的充要條件是與相似;56.設(shè)A為3階方陣，為三維線性無關(guān)列向量組，且有，，,則【】(A)(B)(C)(D)57.已知A，B為4階矩陣，若滿足且行列式則A的特征值和行列式的值分別為【】(A)(B)(C)(D)58．已知3階方陣A，A*的三個特征值為2，6，12，,則【】(A)12;(B)-12;(C)10;(D)1159.設(shè)A為三階方陣，為其三個特征值，對應(yīng)特征向量依次為，P=(),則=【】(A);(B);(C);(D)60.已知三階矩陣A的特征值為，則下列結(jié)論中不正確的是【】（A）矩陣A的秩=2（B）（C）的通解：（D）的通解：61.設(shè)，則【】(A);(B);(C);(D)62．已知3階方陣A，A*的三個特征值為2，6，12，,則A與對角矩陣（）相似。【】(A);(B);(C);(D)二、填空題（每題5分）1.設(shè)是3階非奇異矩陣A的一個特征值,3，則矩陣有一個特征值等于()2.設(shè)是4維線性空間V一組基，線性變換A在這組基下的矩陣，則A的特征值為（）3是的一個特征向量，則（）4.設(shè)A是實(shí)矩陣，，則（）且A與相似。5．則A相似于6．設(shè)A為3階不可逆矩陣，則的特征值是（）7.四階方陣A滿足，則伴隨矩陣的一個特征值為（）8（）9有三個線性無關(guān)的特征向量，則（）10.在中，定義如下,，則在基下的矩陣()11．設(shè)是4維線性空間V一組基，線性變換A在這組基下的矩陣，則A的零度和AV的一組基分別為（）12.設(shè)A是可逆矩陣且是A屬于特征值的特征向量，則的特征值（），屬于該特征值的特征向量（）13.設(shè)A與B是相似的三階矩陣，A有特征值1，B有特征值2，3，則（）14.設(shè)A為三階實(shí)矩陣,且滿足，已知,則A的全部特征值()15.A是一個矩陣，則A與對角矩陣相似。16．設(shè)是維線性空間的線性變換，則A是單射().17．則與A相似的對角矩陣是()18．相似于()19．四階方陣A滿足，則伴隨矩陣的一個特征根為()20．相似于對角矩陣為21．已知A、B為三階相似矩陣，為A的兩個特征值，行列式，則行列式()22．的特征值與特征向量（）23．設(shè)A是有限維空間V的線性變換，是A的特征多項(xiàng)式，，其中是一多項(xiàng)式，則（）24.已知且不可逆,則A相似對角矩陣25.已知A為三階方陣，且滿足，行列式，則行列式()26.已知A為三階可對角化方陣為其三個特征值，為A的伴隨矩陣，則行列式()27.在線性空間中,線性變換,則D的特征值是(),D的核()28．設(shè)是4維線性空間V一組基，線性變換A在這組基下的矩陣，則的一組基()29．已知三階方陣A的三個特征根為1,-2,3,則()，A*的特征根為()30．且A的特征值為：2，1，3，則=()31．設(shè)是線性空間上的線性變換，如果但，在()基下的矩陣為32．設(shè)A為方陣，則的特征值是()33.已知A為三階可對角化方陣為其三個特征值，則齊次線性方程組的解空間的維數(shù)()34.V是數(shù)域P上3維線性空間，是V上線性變換，是V的一組基,，則()35.在中，定義如下,，則的秩()和零度()36．37.在中，定義如下.，則（）38．V是一個維線性空間，是線性變換，()39.設(shè)A是三階矩陣，已知，B與A相似，則B*的相似標(biāo)準(zhǔn)形為()40.，定義線性變換如下：的維數(shù)是2，則t=()41.已知A、B為三階相似矩陣，為A的兩個特征值，行列式，則矩陣與()相似。42.設(shè)n階方陣A、B相似，，則行列式()43.已知的秩為1，則矩陣的一個特征值()44.，定義線性變換，則()45．設(shè)A為三階矩陣，有三個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為，令。則的秩=（）46.已知A為三階可對角化方陣為其三個特征值，為A的伴隨矩陣，則行列式（）47．設(shè)A為三階方陣，且存在可逆矩陣，使得，又A的伴隨矩陣有特征值，所對應(yīng)的特征向量為。則=（）48.設(shè)A、B為三階相似矩陣，且為B的兩個特征值，則行列式（）49．設(shè)A為三階矩陣，有三個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為，令。若，行列式=（）50．三、計(jì)算題1、（本題10分，中）設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化.2、（本題10分，中）設(shè)三階方陣A，是線性無關(guān)的三位列向量，且滿足(1)求矩陣(2)求A的特征值；(3)求可逆矩陣P，使位對角矩陣。3、（本題10分，中）在空間中，變換在基下的矩陣。4、（本題10分，中）設(shè)V是數(shù)域P上的3維線性空間，線性變換在V的基下的矩陣為(1)求線性變換在V的基下的矩陣；(2)求線性變換的特征值和特征向量；(3)線性變換可否在V的某組基下矩陣為對角矩陣，為什么？5、（本題10分，難）設(shè)皆為非零向量，且（亦即正交），記求；（2）求的特征值及特征向量.6、（本題10分，中）設(shè)矩陣且又知的伴隨矩陣有特征值，對應(yīng)于的特征向量，求7、（本題10分，中）設(shè)4維線性空間V上的線性變換在基下的矩陣為(1)求在基下的矩陣；(2)求的值域與核；(3)的核中選一組基把它擴(kuò)充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣；(4)的值域中選一組基把它擴(kuò)充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣；8、（本題10分，難）為A的分別屬于特征值的特征向量，滿足，證明：線性無關(guān)。。9、（本題10分，中）在中定義線性變換，求在基下的矩陣。10、（本題10分，難）求的特征值。11、（本題10分，中）在中，定義線性變換，如下:,(1)求在基下的矩陣;(2)設(shè)求在基下的坐標(biāo)；(2)是否可逆，若可逆，則求出；(4)求的值域與維數(shù)。12、（本題10分，中）若相似于對角矩陣B，確定的值并求可逆矩陣P，使得13、（本題10分，基礎(chǔ)）求在基下的矩陣。14、（本題10分，基礎(chǔ)）設(shè)矩陣，求A的特征值與特征向量；.15、（本題10分，中）設(shè)3階矩陣A的特征值為，對應(yīng)的特征向量依次為1、將用線性表示；2、求，其中為自然數(shù)。四、證明題（每題10分）1、（本題10分，基礎(chǔ)）（1）設(shè)是線性變換A的兩個不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是A的特征向量；（2）證明：如果線性空間V的線性變換A以V中每個非零向量作為特征向量，則A是數(shù)乘變換。2、（本題10分，基礎(chǔ)）設(shè)V是維線性空間，證明：如果V上的線性變換在任意一組基下的矩陣相同，則線性變換是數(shù)乘變換。3、（本題10分，難）設(shè)是維線性空間的線性變換，證明：A的零度+A的秩=4、（本題10分，難）設(shè)是有限維線性空間的線性變換，是的子空間，表示由中向量的像組成的子空間。證明：維維維。5、（本題10分，基礎(chǔ)）如果與相似，與相似，證明：與相似。6、（本題10分，基礎(chǔ)）設(shè)是線性空間上的線性變換，如果但，證明：線性無關(guān)。7、（本題10分，難）n階方陣A的n個特征值互異,若A的特征向量總是n階方陣B的特征向量,證明AB=BA。8、（本題10分，基礎(chǔ)）設(shè)A是一個矩陣，，證明A相似于對角矩陣9、（本題10分，基礎(chǔ)）V是數(shù)域P上的一個維線性空間，是線性變換，屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。10、（本題10分，基礎(chǔ)）設(shè)A是數(shù)域P上階方陣，是A的特征多項(xiàng)式，則第八章：——矩陣1．設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，則A與（）相似。【】(A)；(B)；(C)；(D)；2．復(fù)系數(shù)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)行【】(A);(B)(C);(D)3．的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型【】4．的最小多項(xiàng)式【】(A)(B);(C)(D)5．A的初等因子：【】(A)16;(B)0;(C)1;(D)6．A的初等因子：，則與相似的矩陣為【】(A)(B)(C)(D)7．V是數(shù)域P上維線性空間，是V上線性變換，的最小多項(xiàng)式在某組基下的矩陣一定是【】(A)對稱矩陣;(B)上三角矩陣;(C)對角矩陣;(D)可逆矩陣8.判斷下列論段正確是【】(A)生成的子空間S，則S的維數(shù)等于；(B)設(shè)A是方陣，且(C)設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間，是V的子空間，，且是線性變換，如果，則一定是滿射。(D)設(shè)V是復(fù)數(shù)域P上維線性空間，是線性變換，則在V中存在一組基，使在這組基下的矩陣為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，若當(dāng)快的次序除外，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的。9．A的初等因子為B與A相似，則【】(A)4;(B)0;(C)2;(D)110．矩陣的最小多項(xiàng)式【】(A);(B);(C);(D)11．A的初等因子為，則秩【】(A)4;(B)3；(C)2；(D)112.多項(xiàng)式【】(A);(B)(C);(D)13.A的初等因子且，則下列結(jié)論正確的是【】(A)A與B相似；(B);(C);(D)14.A的初等因子為，則A的最小多項(xiàng)式【】(A);(B)(C)(D)15.n階矩陣A的最小多項(xiàng)式，則A【】(A)相似于對角矩陣;(B)可逆;(C)不似于對角矩陣;(D)不可逆16．設(shè)A,B是實(shí)矩陣，等價的,則下列結(jié)論成立的是【】(A)A與B合同;(B);(C);(D)。17．設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，則【】(A)9(B)10；(C)-8；(D)818.4階矩陣A的最小多項(xiàng)式【】(A);(B);(C);(D)。19．設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，則【】(A)0(B)110；(C)216；(D)21520．設(shè)1，2，3是3階方陣A的特征值，則A的最小多項(xiàng)式【】21．的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型【】(A);(B);(C);(D)22.階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是【】(A)它的特征多項(xiàng)式;(B)它的最小多項(xiàng)式;(C)它的特征多項(xiàng)式;(D)23．【】(A)0;(B)8;(C)1;(D)224．是線性無關(guān)的3維列向量，線性變換A滿足最小多項(xiàng)式【】(A)；(B)；(C)；(D)25．初等因子：的特征多項(xiàng)式【】(A)(B)(C)(D)26.A的初等因子：，則與相似的矩陣是【】27.的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型【】(A)(B)(C)(D)028.A的初等因子：則【】(A)1;(B)0;(C)2;(D)329.4階實(shí)對稱矩陣A的不變因子，則【】(A)25;(B)0;(C)4;(D)2030.A的初等因子，等價，則下列結(jié)論正確的是【】(A)A與B相似;(B);(C);(D)31.A的初等因子為，則與B相似的矩陣(),B的最小多項(xiàng)式()【】(A)(B)(C)(D)二、填空題（每題5分）1.設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，，則A與矩陣（）相似。2.設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，則的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型=()3.設(shè)A是實(shí)矩陣，有初等因子，則=（）4．已知矩陣A的特征矩陣經(jīng)初等變換可化為：，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是（）5．復(fù)系數(shù)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（）6．設(shè)A是有限維空間V的線性變換，是A的特征多項(xiàng)式，，其中是一多項(xiàng)式，，則A的最小多項(xiàng)式（）7.設(shè)A為3階方陣，為三維線性無關(guān)列向量組，且有，,則A的最小多項(xiàng)式()8.設(shè)是n階方陣A的最小多項(xiàng)式，是A的特征多項(xiàng)式，則與有關(guān)系()9．的最小多項(xiàng)式()10.矩陣的最小多項(xiàng)式為()11.矩陣的初等因子()12.已知A為三階方陣，且滿足，，,則=()13.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型()14.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型()15．的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（）16．設(shè)A是三階矩陣，已知，則A的最小多項(xiàng)式()17．復(fù)系數(shù)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型三、證明題（本題10分，基礎(chǔ)）第九章：歐幾里得空間1．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則A是【】(A)不可逆的；(B)對稱變換；(C)同構(gòu)映射；(D)正交變換2．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且A是正交變換，則【】(A)線性相關(guān)；(B)；(C)線性無關(guān)但不是正交基；(D)使得3．下面結(jié)論正確的是【】(A)線性變換一定是同構(gòu)映射；(B)設(shè)A,B是實(shí)矩陣且有相同的特征值，則A,B相似；(C)設(shè)A是可逆矩陣且是A屬于特征值的特征向量，則是屬于特征值的特征向量(D)線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。4．設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且線性變換A滿足則A是【】(A)正交變換；(B)對稱變換；(C)線性函數(shù)；(D)以上都不對。5．與對角矩陣相似矩陣【】6．下列矩陣哪一個是正交矩陣【】(A)；；(B)；(C)；(D)7．設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則是【】(A)標(biāo)準(zhǔn)正交基；(B)正交基；(C)不是正交基；(D)不是標(biāo)準(zhǔn)正交基。8．n階方陣A，,則A是【】(A)正交矩陣；(B)對稱矩陣；(C)正定矩陣；(D)A,B,C都不對。9.設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，，則是【】(A)正交基；(B)標(biāo)準(zhǔn)正交基；(C)不是正交基；(D)不是標(biāo)準(zhǔn)正交基。10.設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，，則A是【】(A)正交變換；(B)對稱變換；(C)同構(gòu)映射；(D)A,B,C都不對。11.5階實(shí)對稱矩陣A的特征值為：1，1，1，1，2，則（）（）【】(A)1，5；(B)2，4；(C)3，3；(D)0，112.n階方陣，的行向量組和列向量組均為的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則A是【】(A)正交矩陣；(B)對稱矩陣；(C)正定矩陣；(D)A,B,C都不對。13．設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且則是【】(A)標(biāo)準(zhǔn)正交基；(B)正交基；(C)不是正交基；(D)不是標(biāo)準(zhǔn)正交基。14．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且,且，則A是【】(A)不是同構(gòu)映射；(B)對稱變換；(C)正交變換；(D)A,B,C都不對。15．下面結(jié)論正確的是【】(A)線性變換在不同基底下的矩陣一定合同；(B)設(shè)A,B是實(shí)對稱矩陣，則A,B相似的充分必要條件是它們有相同的特征多項(xiàng)式；(C)設(shè)A是可逆矩陣且是A屬于特征值的特征向量，且A,B相似，則是B屬于特征值的特征向量(D)設(shè)A是實(shí)矩陣，則A一定相似于某個實(shí)若當(dāng)矩陣。16．設(shè)A是n×n實(shí)對稱矩陣,P是n×n可逆矩陣,已知n維列向量α是A的屬于特征值λ的特征向量,則屬于特征值λ的特征向量是【】(A)(B)(C);(D)17．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則A是【】(A)不是同構(gòu)映射；(B)對稱變換；(C)正交變換；(D)A,B,C都不對。18．設(shè)A、B為n階實(shí)對稱矩陣，且有，則【】(A)A與B相似(B)A與B既相似又合同(C)A與B合同(D)A、B均不可對角化19．設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則當(dāng)=()時，A是正交變換【】(A)；(B)3；(C)1；(D)20.已知A、B為三階矩陣，且有相同的特征值1，2，2，則下列命題：①A，B等價；②A，B相似；③若A，B為實(shí)對稱矩陣，則A，B合同；④行列式成立的有【】(A)1個;(B)2個;(C)3個;(D)4個21．在中與正交的單位向量【】(A);(B);(C);(D)22．A是矩陣，C是矩陣，且，則矩陣【】(A)正定矩陣;(B)非可逆矩陣；(C)正交矩陣；(D)與單位矩陣相似23．設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且,,則【】(A)6；(B)0；(C)1；(D)824.設(shè)B為nm實(shí)矩陣，且秩（B）=n，則下列命題中正確的個數(shù)有【】①的行列式的值為零;②必與單位陣等價③必與對角陣相似;④必與單位陣合同(A)1個;(B)2個;(C)3個;(D)4個25.已知三維歐式空間中有一組基,其度量矩陣為,向量的長度【】(A)1;(B)2;(C);(D)026.設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為0，1，1，是A的兩個不同的特征向量，且,則下列結(jié)論正確的是【】(A);(B)A可逆；(C)A不可對角化；(D)以上都不對。27.設(shè)A是歐氏空間中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基且,，,則的夾角是【】(A)；(B)；(C)；(D)。28.3級實(shí)對稱矩陣A的特征值為1的特征向量分別為則使得【】(A)(B)(C)(D)29.設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則是【】(A)標(biāo)準(zhǔn)正交基；(B)線性相關(guān)；(C)線性無關(guān)但非正交向量組；(D)A,B,C都不對。30．在中，之間的夾角=【】(A)0;(B);(C);(D)31．實(shí)數(shù)域R上線性空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基（）,其中,，，【】(A)；(B)；(C)；(D)32．設(shè)是維歐式空間V中的一組向量，是線性無關(guān)【】(A)充分必要條件;(B)必要條件;(C)充分條件;(D)既非充分也非必要。33．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則【】(A)(B)0;(C);(D)34．在中，，，,則【】(A);(B)(C);(D){0}35、設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則，,則【】(A)0；(B)1；(C)2；(D)3；36．的標(biāo)準(zhǔn)正交基()，其中【】(A)；(B)(C)；(D)37．2階實(shí)對稱矩陣A的一個特征向量為，則()也為A的一個特征向量【】(A)(B)為不等于零的任意實(shí)數(shù)；(C)(D)為不同時為零的常數(shù)。38．設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則,則的度量矩陣【】(A)；(B)；(C)；(D)E39.是內(nèi)積，則滿足【】40.設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，，則是【】(A)可逆矩陣；(B)正交變換；(C)線性但不是正交變換；(D)退化的線性變換。41.設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，，則A是【】(A)正交變換；(B)對稱變換；(C)同構(gòu)映射；(D)A,B,C都不對。42.設(shè)A,B是實(shí)對稱矩陣，有相同的行列式因子，則A與B【】(A)相似但不合同；(B)既相似又合同；(C)不相似但合同；(D)既不相似又不合同43.n階方陣A，，則【】(A)A的行向量組和列向量組均為的標(biāo)準(zhǔn)正交基；(B)A的行向量組為的標(biāo)準(zhǔn)正交基，但A的列向量組不是的標(biāo)準(zhǔn)正交基；(C)A的列向量組為的標(biāo)準(zhǔn)正交基，但A的行向量組不是的標(biāo)準(zhǔn)正交基；(D)A的列向量組不是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且A的行向量組也不是的標(biāo)準(zhǔn)正交基；44．在中，中垂直的一對向量是【】45.設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則=【】；(B)3；(C)0；(D)146．齊次線性方程組解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基【】47.下面結(jié)論不正確的是【】(A)從一組基到另一組基的過渡矩陣一定可逆；(B)歐式空間的一組基的度量矩陣一定是正定矩陣；(C)設(shè)矩陣A與B相同的特征多項(xiàng)式，則A與B一定相似；(D)線性變換在兩組不同基下的矩陣是相似的；48.設(shè)是歐式空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基基，，，則的度量矩陣【】49.【】(A);(B);(C);(D)50.設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則【】(A)；(B)；(C)；(D)A,B,C都不對。51.設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量是線性方程組A=0的兩個解,,使得對角矩陣則和對角陣分別為【】(A)(B)(C)(D)52．已知，A的一個特征值為3，則A與()相似且合同【】53．與相似的對角矩陣【】54.如果都是正定的階矩陣,則一定是【】(A)實(shí)對稱矩陣;(B)正交矩陣;(C)正定矩陣;(D)可逆矩陣55.，則其正慣性指數(shù)=【】(A)1;(B)2;(C)3;(D)4;56.設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則【】(A)；(B)；(C)；(D)-57.生成子空間的正交補(bǔ)【】;;;58.A是mn矩陣，B是n階矩陣，C是nm矩陣，如果AB=2A,BC=0,且r(A)=n，則矩陣為【】(A)正定矩陣;(B)非可逆矩陣；(C)正交矩陣；(D)與單位矩陣相似59.設(shè)B為實(shí)矩陣，且秩（B）=n，則下列命題中①的秩小于n;②的秩=;③既相似又合同于對角陣;④是內(nèi)積;正確的個數(shù)【】(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個60.已知A、B為三階實(shí)矩陣，且有相同的特征值1，2，3，則下列命題：①秩（A）=秩（B）;②A，B相似;③A=B;④行列式正確的個數(shù)【】(A)1個;(B)2個;(C)3個;(D)4個61.已知三階矩陣A的特征值為，則下列結(jié)論中不正確【】(A)矩陣A是不可逆的;(B)1和-1所對應(yīng)的特征向量是正交的;(C)矩陣A的主對角元素之和為0;(D)的基礎(chǔ)解系有一個向量組成62.設(shè)A為n階正定陣，B為n階實(shí)對稱陣，則【】(A)存在可逆矩陣P,使得均為對角矩陣；(B)存在可逆矩陣P,使得均為對角矩陣；(C)存在正交矩陣P,使得均為對角矩陣；(D)存在可逆矩陣P,使得均為對角矩陣；63.設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為0，1，1，是A的兩個不同的特征向量，且，則【】(A);方程組的通解;(B);方程組的通解;(C);方程組的通解;(D);方程組的通解;64.設(shè)A是歐氏空間中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且,，,則的距離=【】(A)5；(B)0；(C)；(D)165．設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為0，2，2，是A的兩個不同的特征向量，且,則下列結(jié)論正確的是【】(A);(B)A可逆；(C)A不可對角化；(D)以上都不對。66.設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為1，2，3，，則下列結(jié)論正確的是【】(A)因?yàn)锳不是正交矩陣，關(guān)于上述定義，不能構(gòu)成歐式空間;(B)因?yàn)锳不是正定矩陣，關(guān)于上述定義，不能構(gòu)成歐式空間;(C)關(guān)于上述定義，能構(gòu)成歐式空間，且是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;(D)關(guān)于上述定義，能構(gòu)成歐式空間，且是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。67.已知A為三階實(shí)對稱陣，且，則下列命題成立的是【】(A)且(B)線性無關(guān)但不是正交向量組；(C)且(D)線性相關(guān)但；68．歐式空間上全體對稱變換構(gòu)成的集合V關(guān)于線性變換的加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間的維數(shù)等于【】(A)8;(B)16;(C)12;(D)10二、填空題（每題5分）1.定義內(nèi)積使得為歐幾里德空間，則滿足()2．已知二次曲面方程可經(jīng)正交變換化為橢圓柱面方程則（），（）3.A是3階實(shí)對稱矩陣，A的特征值為：1，5，5，則（）4.，定義內(nèi)積使得為歐幾里得空間，=()5.如果階實(shí)對稱矩陣A的特征值為,則當(dāng)()時,為正定矩陣.6.已知二次型經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，其標(biāo)準(zhǔn)型為()7．()8.通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型則對應(yīng)的正交矩陣為()9．四階方陣A滿足，則伴隨矩陣+A*的一個特征根為()10．設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A有三個不同的特征值，其中所對應(yīng)的特征向量分別為則所對應(yīng)的特征向量=()11．可經(jīng)正交變換化為,則()，b=()12．的標(biāo)準(zhǔn)型為（）13.向量組的秩為2，則=（）14.設(shè)A是正負(fù)慣性指數(shù)均為1的三階實(shí)對稱方陣，且滿足，則行列式()15.二次型的正慣性指數(shù)為()16．設(shè)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型()。17．定義內(nèi)積，則滿足()18．設(shè)A是歐氏空間V中一線性變換，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，則是一組